《三角形》单元综合练习—提高能力测试 2022-2023学年七年级上册数学鲁教版(五四学制）

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第一章 三角形【提高能力测试】题型发散1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内.(1)下列各条件中，不能作出惟一直角三角形的是(    )(A)已知两直角边 (B)已知两锐角  (C)已知一直角边和一锐角(D)已知斜边和一直角边(2)已知AM、AH、AD分别是△ABC的BC边上的中线、高线和∠A的平分线，AB≠AC，那么AM、AH、AD的位置关系为(    )(A)AD在AM和AH之间 (B)AM在AD和AH之间(C)AH在AD和AM之间   (D)不能确定 (3)已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是(    )(A)14    (B)15    (C)16    (D)17(4)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，那么这个三角形是(    )(A)锐角三角形    (B)直角三角形(C)钝角三角形    (D)以上都不对(5)已知线段m，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC，使AB=AC=m，BC=n，再分别以AB、AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，那么(    )(A)BE>CD    (U)BE=CD    (C)BE<CD    (D)BE≤CD(6)在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的中线，则∠DAB与∠DAC的大小关系是(    )(A)∠DAB>∠DAC    (B)∠DAB<∠DAC(C)∠DAB=∠DAC    (D)不能确定2.填空题.(1)在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，则∠C=______________(2)在锐角△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=___   _度.(3)已知△ABC，D在AC上，∠A=，∠DBC=，∠C=，那么∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，则x的取值范围是______________.(5)在△ABC中，如果，b=4n，则c=_______时，∠C=.(6)在Rt△ABC中，AB=2AC，CD、CE分别是斜边上的中线和高，则∠DCE=____________.解法发散1.如图5—75，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使 BD=AB，E为AB的中点，求证：CD=2CE.(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)
2.如图5—77，已知在△ABC中，∠A=，∠C的平分线交对边AB于点E，交斜边上的高AD于O，过点O作OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF.(用两种方法证明)3.如图5—78，已知△ABC中，∠B是锐角，且∠B=2∠C，AD是BC边上的高.求证：AB+BD=DC(用两种方法证明)变换发散1.如图5—79，已知在△ABC中，AB=AC，P是三角形内一点且有∠APB>∠APC.求证：PB<PC.2. 如图5—80，△ABC按逆时针旋转至△的位置，使AC平分.求证：也平分.逆向发散发散题  如图5—81，在△ABC中，已知AB=AC，BD=DC，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：DE=DF.构造发散1.如图5—82，在△ABC中，AD为∠A的平分线，E为BC的中点，过E作EF∥AD交AB于G，交CA的延长线于F，求证：BG=CF.2.如图5—83，已知在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠C的平分线.求证：BC=AC+AD.3.如图5—84，在等边三角形ABC中，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE.求证：CE=DE.变更命题发散1.如图5—85，已知在△ABC中，CF是AB边上的高，BE是AC边上的高，若AB>AC.求证：BE>CF.2.如图5—86，AB=AE，∠B=∠E.BC=ED.F是CD的中点.求证：AF⊥CD.3.如图5—87，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，求证：∠C=∠D.迁移发散1.已知△ABC的周长是12cm，若c+a=2b,c-a=2cm，求a、b、c的长度.
2.如图5—88，已知△ABC中，AB=2CA，且CA为最小边.求证：(AB+BC+CA)<CA<(AB+BC+CA).综合发散1.如图5—89，已知自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD.求证：AD+BC>AB+AC2.如图5—90，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边作等边三角形ACD和CBE，AE交CD于M，BD交CE于N.求证：(1)△CMN是等边三角形；(2)MN∥AB.3.已知D是△ABC中∠BAC平分线AE上一点，AB>AC.求证：AB-AC>BD-DC.
4.在△ABC中，∠C=，AC=BC，过C在△ABC外作直线MN，使AM⊥MN于M，BN⊥MN于N.(1)求证：MN=AM+BN；(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM、BN和MN之间满足关系式AM-BN=MN.并证明之.    5.如图5—91，已知：O是△ABC内一点.求证：(1)∠BOC>∠A；(2)(BC+CA+AB)<OA+OB+OC. 6.如图5—92，在等腰直角三角形ABC中，P为斜边BC的中点，D为BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：PE=PF，PE⊥PF.
参考答案【提高能力测试】题型发散1.(1)(B)  (2)(A)  (3)(C)  (4)(B)  (5)(B)  (6)(B)2.(1)  (2)  (3),△ABC,△ABD,△BCD.  (4)7<x<11.(5).(6).解法发散1.证法1如图5—75，取CD的中点F，连结BF.∵AB=BD，∴BF∥AC，且BF=AC.∴∠2=∠ACB.∵AB=AC，∴∠1=∠ACB.∴∠1=∠2∵BE=AB，∴BE=BF.又∵BC=BC，∴△BCE≌△BCF.∴CE=CF.∴CD=2CE.以下四种证法省略.2.证法1如图5—77，过点E作EK⊥BC，垂足为K.∵E是∠C平分线，∠BAC=，∴EK=EA.又∠1和∠2同是∠ACB的余角，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠3.∴AE=AO=EK，又FO∥BC，∴∠AFO=∠EBK,∠AOF=∠EKB=，∴Rt△AOF≌△EKB.∴AF=EB.故AE=BF.证法2如图过点O作OG∥AB交BC于G，则BGOF是平行四边形.∴BF=GO.∵∠AOE=∠1+∠3，∠AEO=∠B+∠2，又∠BAC=，AD⊥BC，∴∠B=∠1.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠2=∠3.∴∠AOE=∠AEO.∴AE=AO.在△AOC和△GOC中，∵∠CGO=∠B=∠1，∠2=∠3，OC为公共边，∴△AOC≌△GOC，AO=GO=AE=BF，故AE=BF.3.证法1在DC上截取DE=DB，连结AE.∵AD⊥DE，BD=DE.AB=AE.∴∠B=∠AEB.∵∠B=2∠C.∴∠AEB=2∠C.∴∠C=∠EAC.∴AE=EC=AB.∵DC=DE+EC，∴AB+BD=DC.证法2如图，延长CB到F，使BF=AB，连AF.在△AFB中，∵AB=BF.∴∠F=∠BAF.∵∠ABC=∠F+∠BAF，即∠ABC=2∠F，又∠ABC=2∠C，∠F=∠C.∴AC=AF.又AD⊥FC，FD=DC.∵FD=FB+BD，FD=AB+BD，即AB+BD=DC.变换发散1.分析：∵AB=AC，本题以等腰三角形ABC的顶点A为旋转中心，顶角(∠BAC)为旋转角，旋转到，的位置.欲证，连，只须证.∵，又∴.∴.问题得证.证明：以A为顶点，以AC为边，在△ABC外作，在上取，连.∵AB=AC.∴.∴，连∵，∴∴.∴∵.∴PC>PB.2.证法1在△中，∵，AC平分，∴AC是等腰的顶角平分线，即，.又在△AMC和中，∵，，AM=AM，∴.∴.故平分.证法2可通过证明，从而得，可证得，平分.逆向发散提示连结AD，AD是等腰三角形的顶角平分线，本题应用角平分线的两个互逆定理证明.构造发散1.分析：因有∠BGE=∠F，欲证BG=CF可考虑证明其所在的三角形全等，而△GBE和△CFE明显不全等，故须构造含已知角和欲证线段为边的直角三角形，或使夹已知角的另一对边相等，又注意到条件中有BE=CE，若作BP⊥EF，CQ⊥EF，须证BP=CQ，然此易由Rt△BPE≌Rt△CQE得到.证明：过B、C分别作BP⊥EF，CO⊥FE.垂足分别为P、Q，则BP∥CQ阅.∴∠PBE=∠QCE，而BE=CE，∴Rt△QPE≌Rt△CAE.BP=CQ.又EF∥DA，AD平分∠A，∠BGE=∠F.∴Rt△BPG≌Rt△CQF.故BC=CF.2.证明：在CB上截取CE=CA，连DE，构造新三角形△CDE.在△ACD和△ECD中，∵AC=EC，∠1=∠2，CD=CD，∴△ACD≌△ECD.∴AD=DE，∠CED=∠A.∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B.∴∠B=∠EDB.∴DE=EB=AD.∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD.3.分析：延长BD到F，使DF=BC连结EF，则BE=BF，构造△DEF，欲证△BCE≌△FDE.证明：∵∠B=，BE=BF，∴△EFB是等边三角形.∴∠B=∠F.∵BC=DF，BE=FE，∴△BCE≌△FDE.∴CE=DE.变更命题发散1.∵，∴.∵AB>AC，∴BE>CF.2.连结AC、AD.在△ABC和△AED中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED.∴AC=AD.在△ACF和△ADF中，∵AC=AD，AF=AF，CF=DF，∴△ACF≌△ADF.∴∠AFC=∠AFD.∵∠CFD=，∴∠AFC=.∴AF⊥CD.3.连结AC、AD.∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS).∴∠1=∠2，AC=AD(全等三角形的对应角、对应边相等).∴在△ACD中，∠3=∠4.∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BCD=∠EDC.迁移发散1.解：依题意，得方程组：解方程组，得：a=3(cm),b=4(cm)，c=5(cm).2.设AC=a，AB=2a，周长AB+BC+CA=l，则：AB+BC+CA=2a+a+BC.∵BC>a，∴AB+BC+CA>2a+a+a=4a.∴又BC<AB+CA=2a+a=3a，则l=AB+BC+CA<2a+3a+a=6a.∴.综上.∴即(AB+BC+CA)<CA<(AB+BC+CA).综合发散1.分析：在BC上截取BE=AB，作EF⊥AC于F，连结AE，构造Rt△AEF和Rt△ADE，证明这两个直角三角形全等.证明：如图，在BC上截取BE=AB，作EF⊥AC于F，连结AE.∵BA⊥AC，EF⊥AC，∴AB∥EF.∴∠BAE=∠2.又∠BAE=∠1，∴∠1=∠2.在Rt△ADE和Rt△AEF中，∵AE=AE，∠1=∠2，∴Rt△ADE≌Rt△AEF.∴AD=AF.∵BE=AB，EC>FC，∴AD+BE+FC>AF+AB+FC,即AD+BC>AB+AC.2.(1)∵△ACD和△CBE是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB.∵∠ACD=∠ECB=，∴∠BCE=.∴∠ACE=∠DCB.∴△ACE≌△DCB.(SAS).∴∠AEC=∠DBC.在△MCE和△NCB中，∵∠AEC=∠DBC，CE=CB，∠MCE=∠NCB=，∴△MCE≌△NCB.∴MC=NC.又∠MCN=,∴△CMN是等边三角形.(2)∵∠NMC=∠ACM=，∴MN∥AB.3.∵AB>AC，在AB上截取AF=AC，连结DF，则△ADF≌△ADC，∴DF=DC.在△DBF中，BF>DB-DF，∴BF>DB-DC.∵BF=AB-AC.即有AB-AC>DB-DC.4.(1)如图，∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠BNC=.∵∠ACB=.∴∠MCA+∠NCB=.∴∠ACM=∠CBN.又AC=CB，∴△ACM≌△CBN，MC=BN，AM=CN.∴MN=AM+BN.(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN经过等腰直角△ABC的底边AB的中点时，MN、AM、BN之间满足关系式MN=AM-BN.证明略.5.(1)如图延长BO交AC于点D.∵∠BOC是△OCD的外角，∴∠BOC>∠1.同理可证∠1>∠A，∴∠BOC>∠A.(2)连结OA.在△ABO中，∵AB<OA+OB，同理BC<OB+OC，AC<OA+OC.∴BC+CA+AB<2(OA+OB+OC)即(BC+CA+AB)<OA+OB+OC.6.连结AP.∵AP=BP=PC，AF=ED=BE，∠PAF=∠PBE=,∴△PAF≌△PBE.∴∠APF=∠BPE.∴PE=PF.∠APF+∠APE=∠BPE+∠APE.又∠APF+∠APE+∠BPE+∠APE=，∴∠EPA+∠APF=.即PE⊥PF.