备战2023年中考数学一轮复习考点05 分式与分式方程

这是一份备战2023年中考数学一轮复习考点05 分式与分式方程，共50页。试卷主要包含了分式的概念与性质；，分式的运算与化简求值；，分式方程的概念与解分式方程；，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。
考点05 分式与分式方程

分式与分式方程考点主要包括分式的概念、分式的运算、分式方程的概念与解法以及分式方程的应用。在江苏省各地级市的中考中，分式的概念、分式有意义的条件、分式方程的概念等以选择和填空为主要考查形式，分式的运算主要以化简求值为考查形式，分式方程的解法主要以解方程的形式考查，有时也会以选择或填空的形式考查增根问题，分式方程的应用主要以应用题的形式考查。整体难度不大。



一、分式的概念与性质；
二、分式的运算与化简求值；
三、分式方程的概念与解分式方程；
四、分式方程的应用。
考向一：分式的概念与性质
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．


1．下列各式中，分式的个数是（  ）

A．8 B．7 C．6 D．5
2．若要使式子有意义，则x的取值范围是（    ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
3．已知若分式的值为0，则x的值（    ）
A．3 B．3或 C． D．或1
4．已知，则下列各式中不正确的是（   ）
A． B． C． D．
5．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（   ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
考向二：分式的运算与化简求值
1．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
2．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
5．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．

1．化简的结果是（     ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·山东济南·模拟）若，则等于(        )
A． B． C． D．
4．若，则(   )
A． B． C． D．
5．若，则的值是（    ）
A． B． C． D．3
考向三：分式方程的概念与解分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

1．（2022·贵州贵阳·二模）下列关于的方程，是分式方程的是（   ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为(   )
A． B． C． D．
3．方程的解为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）解分式方程：
5．解分式方程：
考向四：分式方程的应用
分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

1．（2022·浙江嘉兴·一模）某文具店分别用400元和600元两次购进同一款笔记本，两次进价相同，而且第二次数量比第一次多50本．若设该文具店第一次购进x本，根据题意，列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·佛山市华英学校三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（   ）
A． B．
C． D．
3．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题．“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·宁夏·银川北塔中学三模）某零售商店第一次用1000元购进一批雪绒绒挂件若干个，第二次用1800购进冰墩墩挂件是购进雪绒绒挂件数量的，而冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的雪绒绒和冰墩墩数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，雪绒绒挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则冰墩墩挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
5．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
(2)计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？

1．（2022·云南·昆明八中模拟）要使有意义，则x的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江温州·一模）若分式的值为0，则x的值为（    ）
A． B． C．0 D．2
3．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东师范大学第二附属中学模拟）下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北唐山·一模）计算的结果是（  ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东济宁·三模）计算的结果是（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·重庆·模拟）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（    ）
A．6 B．8 C．11 D．14
9．（2022·福建省福州屏东中学模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程（    ）
A． B．
C． D．
10．（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有非负整数解的所有m的值的和是（    ）
A．-1 B．2 C．-6 D．0
11．（2022·江苏·射阳县第四中学二模）若分式的值为0，则x的值为____．
12．（2022·四川·成都西川中学三模）分式方程的解为 ___________．
13．（2022·山东济宁·三模）分式方程的解是正数，则m的取值范围为___________
14．（2022·贵州遵义·模拟）已知a为范围的整数，则的值是______．
15．（2022·广西·南宁市三美学校三模）若关于x的分式方程有增根，则m＝_____．
16．已知关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____．
17．计算：．
18．（2022·浙江湖州·一模）化简：
19．（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）化简：
20．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）化简求值：，然后从选一个合适的整数作为的值代入求值
22．（2022·甘肃·平凉市第七中学二模）先化简，再求值：，其中．
23．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．
24．（2022·安徽·合肥市第四十五中学三模）求x的方程的解．
25．（2022·陕西·交大附中分校三模）解方程：．
26．（2022·陕西师大附中模拟）解方程：
27．（2022·重庆八中模拟）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过A、B、C三地．已知A到B的路程为160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸驾车从A到B的平均车速和B到C的平均车速比为8：9，从A到B的时间比从B到C的时间少2小时．
(1)求A到B的平均车速；
(2)从B到C时，若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应满足什么条件？
28．（2022·宁夏·景博中学二模）某校为了鼓励学生增加书籍阅读量，计划从书店购进A，B两种图书各若干本免费赠阅．每本A图书的价格比每本B图书的价格多10元，若在书店购买时每1本A图书和1本B图书可以组成一个套装，每个套装购买时可以享受八折优惠．
(1)若学校购买每个套装的费用不超过120元，那么B图书的最高售价不能超过多少元？
(2)若用1040元购买的套装中B图书的数量与用600元单独购买B图书的数量相同，那么B图书的售价是多少？
29．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指哪种方案学校花钱最少．
30．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)某商家准备用不超过4000元购进猪肉粽和豆沙粽共120盒，那么该商家最多可以购进多少盒猪肉粽？

1．（2022·江苏无锡·中考真题）方程的解是（　　　）．
A． B． C． D．
2．（2022·江苏淮安·中考真题）方程的解是______．
3．（2022·江苏南通·中考真题）分式有意义，则x应满足的条件是___________．
4．（2022·江苏盐城·中考真题）分式方程的解为__________．
5．（2022·江苏苏州·中考真题）化简的结果是______．
6．（2021·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
8．（2022·江苏连云港·中考真题）化简：．
9．（2022·江苏宿迁·中考真题）解方程：．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？

1．（2022·江苏无锡·一模）若关于的方程有增根，则的值为（    ）
A．－5 B．0 C．1 D．2
2．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏南通·二模）要比较与的大小（a是正数），知道的正负就可以判断，则M与N的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏无锡·二模）分式方程的解是______．
6．（2022·江苏泰州·二模）如果，那么代数式的值为______．
7．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟）先化简，再求值： ，其中．
8．（2022·江苏·射阳县第四中学一模）化简求值：，其中x为非负整数，且．
9．（2022·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中a是4的平方根
10．（2022·江苏·南京市花园中学模拟）分式化简：．
11．（2022·江苏连云港·二模）解方程：．
12．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）解方程：
13．（2022·江苏宿迁·二模）解方程：．
14．（2022·江苏苏州·一模）解分式方程：．
15．（2022·江苏宿迁·二模）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元．某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．
规格
A型
B型
C型
单价（元/条）
4
6
9
(1)求三种型号跳绳的长度．
(2)若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量．
16．（2022·江苏·测试学校五一模）鹿鸣路初级中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1250元购进的A类图书与用1000元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
17．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
18．（2022·江苏·射阳县第四中学二模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4∶3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是______（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．

1．下列各式中，分式的个数是（  ）

A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】是分式，不是分式，是分式，是分式，不是分式，不是分式，是分式，是分式．
综上可知分式的个数是5个．
故选D．
2．若要使式子有意义，则x的取值范围是（    ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴且且，
∴且且
故选D
3．已知若分式的值为0，则x的值（    ）
A．3 B．3或 C． D．或1
【答案】A
【分析】直接根据分式的值为零的条件列方程组求解即可．
【详解】解：由题意得，
解①得：
解②得：，
即，
故选：A．
4．已知，则下列各式中不正确的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据x：y=3：2，设x=3a，y=2a，代入选项分别计算判断即可．
【详解】解：∵x：y=3：2，
∴设x=3a，y=2a，
∴，，，，
∴选项A、B、C都正确，选项D错误，
故选：D．
5．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（   ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解： ∵把中的x和y都扩大2倍为：
，
∴把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍，
故选：B．
考向二：分式的运算与化简求值
1．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
2．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
5．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．

1．化简的结果是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=
=
故选：A
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通分，化为同分母的分式相减即可．
【详解】解：；
故选D．
3．（2022·山东济南·模拟）若，则等于(        )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的运算，求解即可．
【详解】解：由可得，
则，
故选D
4．若，则(   )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可．
【详解】∵，
∴设，，
将，，代入中得：
，
故选：A．
5．若，则的值是（    ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由可得a=2b，代入约分化简即可．
【详解】解：∵，
∴a=2b，
∴=，
故选B．
考向三：分式方程的概念与解分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

1．（2022·贵州贵阳·二模）下列关于的方程，是分式方程的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意；
．方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意．
故选：D．
2．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为(   )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据关于的不等式组无解求出数的范围，再根据关于的分式方程的解不小于1求出数的范围，然后再取数的范围的公共部分，从而即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
于x的不等式组无解，
，
；
又解分式方程，得且，
关于y的分式方程的解不小于1，
且，
且；
综上可知：，
满足条件的所有整数a的和为：，
故选：C．
3．方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用解分式方程的一般步骤解分式方程即可求解．
【详解】
解：去分母，得，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故选：D
4．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）解分式方程：
【答案】
【分析】将分式方程去分母，化为整式方程求解，再检验即可．
【详解】解：，
等号两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原分式方程的解，
∴该方程的解为．
5．解分式方程：
【答案】分式方程无解
【分析】根据解分式方程的一般步骤求解即可
【详解】解：
去分母得：，
去括号整理得：，
移项得：，
检验，当时，，
∴分式方程无解．
考向四：分式方程的应用
分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

1．（2022·浙江嘉兴·一模）某文具店分别用400元和600元两次购进同一款笔记本，两次进价相同，而且第二次数量比第一次多50本．若设该文具店第一次购进x本，根据题意，列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“第一次购进的单价=第二次购进的单价”可列方程．
【详解】解：设该文具店第一次购进x本，则第二次购进(x+50)本，
根据题意可列方程：，
故选：C．
2．（2022·广东·佛山市华英学校三模），两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．
故选C．
3．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题．“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为文，再根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列出方程即可．
【详解】解：设这批椽有x株，
由题意得，
故选C．
4．（2022·宁夏·银川北塔中学三模）某零售商店第一次用1000元购进一批雪绒绒挂件若干个，第二次用1800购进冰墩墩挂件是购进雪绒绒挂件数量的，而冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的雪绒绒和冰墩墩数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，雪绒绒挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则冰墩墩挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
【答案】(1)商店购进的雪绒绒数量为200个，购进的冰墩墩数量为300个；
(2)冰墩墩挂件要至少售出268个，才能使这两次的总利润不低于2020元．
【分析】（1）设设商店购进的雪绒绒数量为个，则商店购进的冰墩墩数量为个，根据题意，得： ，解分式方程即可得出结果；
（2）先分别算出冰墩墩挂件和雪绒绒挂件的进货单价，再设冰墩墩挂件要售出个，根据题意列一元一次不等式 ，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）解：设商店购进的雪绒绒数量为个，则商店购进的冰墩墩数量为个，根据题意，得：

解得：，
答：商店购进的雪绒绒数量为200个，购进的冰墩墩数量为300个．
（2）解：冰墩墩挂件的进货单价为：（元），雪绒绒挂件的进货单价为：（元），
设冰墩墩挂件要售出个，根据题意，得：

解得：
为正整数

答：冰墩墩挂件要至少售出268个，才能使这两次的总利润不低于2020元．
5．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
(2)计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
【答案】(1)每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元
(2)最多可购买50件甲种商品
【分析】（1）设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种商品的价格为元，每件乙种商品的价格为元．
（2）设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，
依题意得：，
解得：，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．

1．（2022·云南·昆明八中模拟）要使有意义，则x的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：根据分式有意义即分母不为0，得到，即，故D正确．
故选：D．
2．（2022·浙江温州·一模）若分式的值为0，则x的值为（    ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0
∴x﹣2＝0，x﹣3≠0，
∴x＝2，
故选：D．
3．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：

，
故选：A.
4．（2022·山东师范大学第二附属中学模拟）下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，分式的减法法则计算即可求解．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
5．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：



，
故选：B．
6．（2022·河北唐山·一模）计算的结果是（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，然后将除法变为乘法，再根据分式的乘法法则即可解答本题．
【详解】解：
=
=1.
故选：B．
7．（2022·山东济宁·三模）计算的结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式加减乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式


．
故选：A．
8．（2022·重庆·模拟）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（    ）
A．6 B．8 C．11 D．14
【答案】A
【分析】先解一元一次不等式组并根据不等式组的解集为，得到，再解关于x的分式方程得，根据分式方程有非负整数解，得到且，得到当或1时，是非负整数，即可得到答案．
【详解】解：解不等式组，
得到，
∵该不等式组的解集为，
∴，
解关于x的分式方程，
得．
∵该分式方程有非负整数解，
∴，且，
∴且．
∵当或1时，是非负整数，
∴符合条件的m的所有值的和是6．
故选：A．
9．（2022·福建省福州屏东中学模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，利用人均分得钱数总钱数参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选C．
10．（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有非负整数解的所有m的值的和是（    ）
A．-1 B．2 C．-6 D．0
【答案】C
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于的不等式，求得的解集，再解分式方程得出，根据是非负整数得出所有的的和．
【详解】解：关于的不等式组有解，
由可得：
，
解得，
由解得，
分式方程有非负整数解，
是非负整数，
，
，，
，
故选：．
11．（2022·江苏·射阳县第四中学二模）若分式的值为0，则x的值为____．
【答案】
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：
解得：
故答案为：1
12．（2022·四川·成都西川中学三模）分式方程的解为 ___________．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
或，
检验：把x=3代入，
把代入（舍去），
∴原分式方程的解为：．
故答案为：
13．（2022·山东济宁·三模）分式方程的解是正数，则m的取值范围为___________
【答案】且
【分析】把分式方程化成整式方程求出，由且，得出不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：去分母得：，
∴，
∵且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
14．（2022·贵州遵义·模拟）已知a为范围的整数，则的值是______．
【答案】-1
【分析】根据分式的混合运算法则先将所求分式化简，再根据分式有意义的条件，确定a的值，最后代入求值即可．
【详解】解：





，
根据题意有：，，，
即，，，
∵，且为整数，
∴，
将代入，有原式，
故答案为：-1．
15．（2022·广西·南宁市三美学校三模）若关于x的分式方程有增根，则m＝_____．
【答案】3
【分析】先求出方程的解，根据分式方程有增根，可得到关于m的方程，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
解得：．
故答案为：3
16．已知关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____．
【答案】a＜－1且a≠－2
【分析】先去分母，求得分式方程的解为再检验，再根据分式方程的解为正数，列不等式，从而可得答案．
【详解】解：＝1，
去分母可得：
解得：
由最简公分母不为0，可得：
解得：
关于x的方程＝1的解是正数，


综上：且
故答案为：且
17．计算：．
【答案】1．
【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可．
【详解】解：
=

=1．
18．（2022·浙江湖州·一模）化简：
【答案】3
【分析】首先进行同分母的分式加法运算，再合并同类项、分解因式，最后进行约分运算，即可求得．
【详解】解：




19．（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）化简：
【答案】
【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简
【详解】解：原式


20．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】先按照分式的混合运算法则将代数式化简，再求出a的值，最后将a的值代入求解即可．
【详解】解：原式


当时，
原式．
21．（2022·宁夏·银川外国语实验学校一模）化简求值：，然后从选一个合适的整数作为的值代入求值
【答案】，当取时，原式的值为1．
【分析】先按照分式运算法则化简，再选取合适的x的值代入求值即可．
【详解】





，且为整数，
∴若使分式有意义，只能取﹣2，﹣1，1，
取当时，
原式．
22．（2022·甘肃·平凉市第七中学二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：



，
当时，原式．
23．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．
【答案】
【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论．
【详解】两边同时乘以，得，
去括号，得，
化简，得，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
24．（2022·安徽·合肥市第四十五中学三模）求x的方程的解．
【答案】
【分析】先去分母变为整式方程，然后再解整式方程，得出x的值，最后进行检验即可．
【详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把代入得：，
∴是原方程的解．
25．（2022·陕西·交大附中分校三模）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化简成整式方程，然后解得x的值，检验即可．
【详解】去分母得，1-（x-2）=-3x，
3-x=-3x，
解得，,
检验：当时，分母≠0，
∴是原方程的解．
26．（2022·陕西师大附中模拟）解方程：
【答案】
【分析】方程两边同乘以，将方程化成整式方程，再按照一元一次方程的解法步骤解方程即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，即，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为．
27．（2022·重庆八中模拟）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过A、B、C三地．已知A到B的路程为160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸驾车从A到B的平均车速和B到C的平均车速比为8：9，从A到B的时间比从B到C的时间少2小时．
(1)求A到B的平均车速；
(2)从B到C时，若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应满足什么条件？
【答案】(1)A到B的平均车速为；
(2)平均车速应不小于．
【分析】（1）设A到B的平均车速为，则B到C的平均车速为，根据题意得，列分式方程，解方程求解即可；
（2）设小明的爸爸从B到C的速度为，根据题意列一元一次不等式，解不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：B到C的路程为，
设A到B的平均车速为，则B到C的平均车速为，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则A到B的平均车速为；
（2）解：由（1）可得，B到C的平均车速为，
B到C的时间为：，
设小明的爸爸至少要提前40分钟到达时，平均车速为，
由题意可得：，
解得，
即若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应不小于．
28．（2022·宁夏·景博中学二模）某校为了鼓励学生增加书籍阅读量，计划从书店购进A，B两种图书各若干本免费赠阅．每本A图书的价格比每本B图书的价格多10元，若在书店购买时每1本A图书和1本B图书可以组成一个套装，每个套装购买时可以享受八折优惠．
(1)若学校购买每个套装的费用不超过120元，那么B图书的最高售价不能超过多少元？
(2)若用1040元购买的套装中B图书的数量与用600元单独购买B图书的数量相同，那么B图书的售价是多少？
【答案】(1)B图书的最高售价不能超过70元；
(2)B图书的售价是60元．
【分析】（1）设B图书的售价为x元，则A图书的售价为元，根据每个套装的费用不超过120元列不等式求解即可；
（2）设B图书的售价是a元，根据用1040元购买的套装中B图书的数量与用600元单独购买B图书的数量相同列出分式方程，解方程检验后可得答案．
【详解】（1）解：设B图书的售价为x元，则A图书的售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：B图书的最高售价不能超过70元；
（2）解：设B图书的售价是a元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：B图书的售价是60元．
29．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指哪种方案学校花钱最少．
【答案】(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元
(2)共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少
【分析】（1）根据题意列出分式方程进行计算即可；
（2）设购买跳绳a个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．
【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，解得：，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）解：设购买跳绳a个，则购买毽子个．
依题意，得：，解得：，
∵a为整数，
∴，共三种方案；
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，则，
答：共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
30．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)某商家准备用不超过4000元购进猪肉粽和豆沙粽共120盒，那么该商家最多可以购进多少盒猪肉粽？
【答案】(1)猪肉粽的进价为每盒40元，豆沙粽的进价为每盒30元；
(2)该商家最多可购进40盒猪肉粽．
【分析】（1）设猪肉粽的进价为每盒x元，根据用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商家购进m盒猪肉粽，根据某商家准备用不超过4000元购进猪肉粽和豆沙粽共120盒，列一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设猪肉粽的进价为每盒x元，
根据题意，得，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的根，且符合题意，
40-10=30（元），
答：猪肉粽的进价为每盒40元，豆沙粽的进价为每盒30元；
（2）解：设该商家购进m盒猪肉粽，
根据题意，得40m+30（120-m）≤4000，
解得m≤40，
答：该商家最多可购进40盒猪肉粽．

1．（2022·江苏无锡·中考真题）方程的解是（　　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．
【详解】解：方程两边都乘，得

解这个方程，得

检验：将代入原方程，得
左边，右边，左边=右边．
所以，是原方程的根．
故选：A．
2．（2022·江苏淮安·中考真题）方程的解是______．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故答案为：.
3．（2022·江苏南通·中考真题）分式有意义，则x应满足的条件是___________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．
【详解】解：分式有意义，即，
∴，
故答案为：．
4．（2022·江苏盐城·中考真题）分式方程的解为__________．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以2x-1，然后求出方程的解，最后验根．
【详解】解：方程两边同乘得
解得，
经检验，是原分式方程的根，
故答案为：．
5．（2022·江苏苏州·中考真题）化简的结果是______．
【答案】x
【分析】根据分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝．故答案为：．
6．（2021·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4．
【答案】a＋1，﹣3
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（＋1）÷
＝
＝
＝a＋1，
当a＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
【详解】方程两边同乘以，得．
解方程，得．
经检验，是原方程的解．
8．（2022·江苏连云港·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可．
【详解】解：原式




．
9．（2022·江苏宿迁·中考真题）解方程：．
【答案】x＝﹣1
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【答案】每个小组有学生10名．
【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设每个小组有学生x名，
根据题意，得，
解这个方程，得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
∴每个小组有学生10名．

1．（2022·江苏无锡·一模）若关于的方程有增根，则的值为（    ）
A．－5 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得x=2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
去分母得，m+1+2x=0，
解得：，
∵方程有增根，
∴x=2，
把x=2代入，得，
,
解得．
故选A.
2．（2022·江苏南京·二模）下列代数式的值总不为0的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目给出的整式和分式，列举x的值即可判断．
【详解】解：A．当x=-2时，x+2=0，故本选项不合题意；
B．当x=±时，x2-2=0，故本选项不合题意；
C．在分式中，因为x+2≠0，所以分式≠0，故本选项符合题意；
D．当x=-2时，（x+2）2=0，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．
【详解】要分式有意义，则，
解得：．
故选：B
4．（2022·江苏南通·二模）要比较与的大小（a是正数），知道的正负就可以判断，则M与N的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意计算，然后判断结果的符号即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
是正数，
，
即．
故选A．
5．（2022·江苏无锡·二模）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：3x=x-2，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
故答案为：x=-1．
6．（2022·江苏泰州·二模）如果，那么代数式的值为______．
【答案】6
【分析】将分式进行化简，再代入求值即可．
【详解】
，
，
，
，
，
原式，
故答案为：6．
7．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟）先化简，再求值： ，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内通分，用平方差公式将进行变形，再利用分式乘除法的运算法则进行化简，最后将代入化简后的代数式中进行计算求解．
【详解】解：


，
当a＝﹣4时，原式．
8．（2022·江苏·射阳县第四中学一模）化简求值：，其中x为非负整数，且．
【答案】，取x=1时，原式=（或取x＝2时，＝）
【分析】根据分式的混合运算化简，解不等式求得整数解，根据分式有意义的条件取值，进而代入求值即可．
【详解】解：原式＝
＝    
＝    
解不等式
得    
∴非负整数解有0，1，2，3     
∵，    
当x＝1时＝（或取x＝2时，＝）
9．（2022·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中a是4的平方根
【答案】；a=-2，原式值为0
【分析】先通分计算括号内分式的减法、把除法改成乘法，在约分即可化简，在根据平方根结合分式有意义的条件可求得的值，代入即可求解．
【详解】解：



，
a是4的平方根，
或，
要使分式有意义，，，
∴，
，
原式的值为0．
10．（2022·江苏·南京市花园中学模拟）分式化简：．
【答案】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：原式•
•
．
11．（2022·江苏连云港·二模）解方程：．
【答案】方程无解
【分析】先将分式方程化为整式方程，再解整式方程，然后验根即可求解.
【详解】解：去分母，得：x-2+3x=6，
移项、合并同类项，得：4x=8，
化系数为1，得：x=2，
检验：x-2=0，
∴原分式方程无解.
12．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）解方程：
【答案】无解
【分析】方程两边都乘x-2得出1+3（x-2）=-（1-x），求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边都乘x-2，得
1+3（x-2）=-（1-x），
解得：x=2，
检验：当x=2时x-2=0，
所以x=2是原方程的增根，
即原分式方程无解．
13．（2022·江苏宿迁·二模）解方程：．
【答案】
【分析】根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验．
【详解】解：方程两边同乘，得
则
检验：当时，，
∴原方程的解是．
14．（2022·江苏苏州·一模）解分式方程：．
【答案】
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】解：方程两边乘，得：，
整理，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
15．（2022·江苏宿迁·二模）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元．某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．
规格
A型
B型
C型
单价（元/条）
4
6
9
(1)求三种型号跳绳的长度．
(2)若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量．
【答案】(1)A型跳绳的长度为4米，B型跳绳的长度为8米，C型跳绳的长度为12米
(2)5
【分析】（1）设A型跳绳的长度为x米，则B型跳绳的长度为2x米，C型跳绳的长度是3x米，由题意：用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，购买C型跳绳b条，由题意：购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】(1)设A型跳绳的长度为x米，则B型跳绳的长度为2x米，C型跳绳的长度是3x米，
由题意得：，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
则2x＝8，3x＝12，
答：A型跳绳的长度为4米，B型跳绳的长度为8米，C型跳绳的长度为12米．
(2)设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，购买C型跳绳b条，
由题意可得：，
解得：，
答：购买A型跳绳5条．
16．（2022·江苏·测试学校五一模）鹿鸣路初级中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1250元购进的A类图书与用1000元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
【答案】每本A类图书的价格为25元，每本B类图书的价格为20元
【分析】设每本A类图书的价格为x元，则每本B类图书的价格为元，根据1250元购进的A类图书册数＝用1000元购进的B类图书册数，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每本A类图书的价格为x元，则每本B类图书的价格为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：每本A类图书的价格为25元，每本B类图书的价格为20元．
17．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
【答案】(1)A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元
(2)A种纪念品最多购进120件
【分析】(1)设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为(x+10)元，根据用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同列出方程，再解即可；
(2)设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进 (200-a)件，由题意得不等关系：A种纪念品的总利润+B种纪念品的总利润⩾2400元，根据不等关系列出不等式，再解即可求得．
【详解】（1）解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价(x+10)元
根据题意得：
解得x=40
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意
故x+10=40+10=50
答：A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元
（2）解：设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进 (200-a)件
根据题意得：(50-40)a+(65-50)(200-a) ⩾2400
解得
为整数
最大为120
答：A种纪念品最多购进120件．
18．（2022·江苏·射阳县第四中学二模）冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．小聪在某网店分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．给出如下两个信息：
①A款冰墩墩玩偶的进货价比B款冰墩墩玩偶的进货价多；
②A、B两款冰墩墩玩偶的进货价之比为4∶3；
请从以上两个信息中选择一个作为条件，求A、B两款冰墩墩玩偶的进货价？你选择的条件是______（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．
【答案】A款冰墩墩玩偶的进货价为20元，B款冰墩墩玩偶的进货价为15元；①或②；过程见解析
【分析】选择①，设B款冰墩墩玩偶的进货价为x元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为元，根据“分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．”列出方程，即可求解；选择②，设A款冰墩墩玩偶的进货价为4x元，则B款冰墩墩玩偶的进货价为3x元，根据“分别用30000元购买A，B两款冰墩墩玩偶进行销售，购得A款冰墩墩玩偶数量比B款冰墩墩玩偶少500个．”列出方程，即可求解．
【详解】解：选择①，
设B款冰墩墩玩偶的进货价为x元，则A款冰墩墩玩偶的进货价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A款冰墩墩玩偶的进货价为20元，B款冰墩墩玩偶的进货价为15元；
选择②，
设A款冰墩墩玩偶的进货价为4x元，则B款冰墩墩玩偶的进货价为3x元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A款冰墩墩玩偶的进货价为20元，B款冰墩墩玩偶的进货价为15元；