安徽省宿州二中雪枫中学校区2022-2023学年高二上学期阶段测试（二）数学试题及答案

这是一份安徽省宿州二中雪枫中学校区2022-2023学年高二上学期阶段测试（二）数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省宿州二中雪枫中学校区2022-2023学年高二上学期阶段测试（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知，，则（    ）A． B． C． D．2．设，则（    ）A． B． C． D．3．某校共有学生人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为的样本，其中高一抽取人，高二抽取人，则该校高三学生人数为（     ）A． B． C． D．4．已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ）A．1 B． C． D．5．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ）A． B． C． D．6．已知函数，不等式的解集为（    ）A． B． C． D．7．若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为A． B． C． D．8．已知双曲线C：，，分别是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上一点连接交双曲线左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题9．某人打靶时连续射击两次，设事件“只有一次中靶”，“两次都中靶”，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．“至少一次中靶” D．与互为对立事件10．已知函数则下列判断中错误的是（    ）A．是偶函数 B．的值域是)C．的图象与直线有两个交点 D．在区间上是增函数11．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（    ）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．12．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）A．平面 B．平面截长方体所得截面的面积为C．直线与所成角为60° D．三棱锥的体积为4 三、填空题13．计算：____________．14．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为______．15．已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为______________．16．已知圆及点，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为__________． 四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，求的面积．18．已知为等差数列的前n项和．(1)求；(2)设，为数列的前n项和，求证：．19．已知函数.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）求的值.20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于的概率；(3)从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人评分都在的概率．21．如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.(1)证明：；(2)求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；(3)求点D到平面AMP的距离.22．已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的方程.
参考答案：1．C【分析】化简集合B，根据交集运算求解.【详解】，，故选：C2．B【分析】根据运算之前的模等于运算之后的模可以很快求出答案.【详解】故选：B3．C【分析】先求出抽样比为，以及从高三抽取的人数为30，根据分层抽样，即可求得结果.【详解】设该校高三人数为.由已知可得，抽样比为，从高三抽取的人数为.根据分层抽样可知，，所以.故选：C.4．A【分析】设数列的公差为，根据，3，成等比数列得+可得答案．【详解】设数列的公差为，因为，3，成等比数列，所以，所以+，所以，故选：A.5．C【分析】由空间向量夹角的坐标表示求，再根据点到直线距离为即可求结果.【详解】由题设，则，所以，而，故到l的距离为.故选：C6．A【分析】结合的单调性和奇偶性求得正确答案.【详解】是在上单调递增的奇函数，所以，所以，所以不等式的解集是.故选：A7．D【解析】先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆的直径等于公共弦长为，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.【详解】联立，得，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，所以圆的半径为故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.8．B【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于，的齐次方程，即可求出离心率【详解】设，则，，，，因为，所以，故，在中，由余弦定理可知，整理得，即，所以.故选：B9．BC【分析】根据事件的相互关系确定正确选项.【详解】事件“只有一次中靶”，“两次都中靶”，所以是互斥但不是对立事件，所以A D选项错误，B选项正确.“至少一次中靶”，C选项正确.故选：BC10．AD【分析】根据分段函数的解析式分析函数奇偶性可判断A，由分段函数值域的求法判断B，转化为方程的根的问题可判断C，由指数函数的单调性可判断D.【详解】对A，定义域为，关于原点对称，当时，，，故不是偶函数，故A错误；对于B，当时，，当时，，综上，，故B正确；对C，令，当时，由解得，当时，，解得，综上有2个不同的根，所以的图象与直线有两个交点，故C正确；对D，当时，单调递减，故D错误.故选：AD11．ACD【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确故选：ACD．12．ACD【分析】由，，所以，即可判断选项A；根据可知平面截长方体所得截面为梯形，计算其面积可以判断选项B；取的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中求，即可判断选项C；利用即可计算选项体积，判断选项D.【详解】对于选项A：由，，所以，平面，平面，即可得平面，故选项A正确；对于选项B：因为平面平面，平面截长方体所得截面为平面，由面面平行的性质定理可得：，故四边形为梯形，又因为，，梯形的高为 ，所以梯形面积为，故选项B不正确；对于选项C：取的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中，，所以，故选项C正确；对于选项D：，故选项D正确，故选：ACD【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．13．##0.5【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式求解即可.【详解】.故答案为：14．##【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为，又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为，故体积 故答案为：15．1【分析】根据共起点的三个向量共线的结论得到，再根据基本不等式可求得最小值.【详解】∵A、B、P是直线上三个相异的点，，，，，当且仅当，即时取等号，故答案为：1.16．【分析】求出点关于直线的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．【详解】解：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，所以，又到圆上点的最短距离为，故答案为：．17．（1）； （2）.【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解；（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，因为，则，所以，因为，所以.（2）因为，，由余弦定理可得，整理得，又，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得.（2）根据等比数列前项和公式求得，由此证得不等式成立.【详解】（1）设数列的公差为d，则.（2）由题意，，所以数列是首项为，公比为的等比数列.则.19．（1）；（2）偶函数；（3）-1.【解析】(1)函数的定义域满足解出可得函数定义域.（2）直接求出，可判断奇偶性.(3)直接代入运用对数运算即可.【详解】解：（1）由，得，的定义域为；（2），是偶函数；（3），.【点睛】本题考查函数的定义域，函数求函数值考查对数运算，考查奇偶性的判断，属于基础题.20．(1)；(2)9；(3). 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分低于60的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于60的概率的估计值为；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.【详解】（1）因为，所以．（2）由所给频率分布直方图知，名受访职工评分低于的频率为1．所以该企业职工对该部门评分不低于的概率的估计值为．（3）受访职工中评分在的有：人，记为，，；受访职工中评分在的有：人，记为，，从这名受访职工中随机抽取人，所有可能的结果共有种，它们是，，，，，，，，，．又因为所抽取人的评分都在的结果有种，即，故所求的概率为．21．(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面夹角的大小；（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．【详解】（1）证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）依题意，可得，，，，，，，即，；  （2）解：设为平面PAM的法向量，则，即，取，得，取，显然为平面ABCD的一个法向量，⟨⟩，故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为；（3）解：设点D到平面AMP的距离为d，由可知与平面PAM垂直，则，即点D到平面AMP的距离为22．(1)(2) 【分析】（1）依题可知，，，根据的关系求出，即可写出椭圆的方程；（2）先设出直线，联立可得出中点的坐标，再根据为等腰三角形知，解得中点坐标，即可写出直线方程．【详解】（1）由已知得，而，解得，所以，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由得设、的坐标分别为，，中点为，则，，因为是等腰的底边，所以．所以的斜率为，解得，即，所以直线的方程为，即．