浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

这是一份浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市余姚中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知有零点，但不能用二分法求出，则c的值是A．9 B．8 C．7 D．63．设为实数，则“”是“” 的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的图象大致为（    ）A． B． C． D．5．若正实数，满足，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C． D．6．已知函数 （，且），若对于任意恒成立，则函数的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%8．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（    ）个A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题9．下列函数中与函数是同一个函数的是（    ）A． B． C． D．10．下列命题是真命题的是（    ）A． B．C． D．11．（多选题）设都是正数，且，那么（       ）A． B．C． D．12．已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（    ）A． B． C． D． 三、填空题13．__________．14．已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________．15．给出下列结论：①；    ②，的值域是；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数的图象过定点；⑤若则的值是．其中正确的序号是_________．16．已知，函数在区间上的最大值为10，则a的取值范围是______． 四、解答题17．函数的定义域为，函数的定义域为，值域为.(1)记，其中为整数集，写出的所有子集；(2)且，求实数的取值范围.18．命题：“，”，命题：“，”.(1)写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围；(2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．19．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.20．已知函数.（1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（2）若在区间上的最大值为，求的值.21．已知函数，.(1)若，求不等式的解集；(2)若函数有唯一的解，求实数的取值范围.22．已知且，是定义在上的一系列函数，满足：（1）求的解析式;（2）若为定义在上的函数，且.①求的解析式;②若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
参考答案：1．B【分析】由题设写出集合B，再由集合交运算求.【详解】由题意，，而，∴，故选：B.2．A【分析】根据二分法的定义，以及二次函数的图象与性质，得△=0，解之可得c.【详解】函数f（x）=x2+6x+c有零点，但不能用二分法求出，说明此二次函数图象与x轴只有一个交点，即△=36-4c=0 解得c=9，故选A【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用；能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反.3．A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】，时一定有，充分性满足，但时有，但，必要性不满足，因此是充分不必要条件．故选：A4．B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.5．B【分析】利用基本不等式求出的最小值，进而可得的最小值.【详解】，可得，，所以，所以的最小值为，故选：B6．D【分析】先根据“对于任意恒成立”求得的取值范围，然后根据复合函数单调性同增异减求得函数的单调递增区间.【详解】对于函数，开口向上，对称轴为，所以当时，，所以，，要使对于任意恒成立，则需在递减，所以，则在上递减.由于在上递减，在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D7．B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了.故选：B.8．B【分析】根据定义可以得到，，，，进而求得各个函数值，然后判定，根据，可以得到，即得的值域，从而判定．【详解】因为，，,，所以，，，，∴，①正确；，②错误；因为，，所以，故③正确；的定义域是R，因为，所以，即，∴值域是，故④错误．综上，正确的命题个数为2个，故选：B．9．BCD【解析】根据两个函数的定义域、对应关系是否都相同，判断它们是否为同一函数即可．【详解】对于，，与的对应关系不同，不是同一函数；对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：BCD．【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．10．ABD【解析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，；当时，.所以，，，A选项正确；对于B选项，取，则，B选项正确对于C选项，取，则，C选项错误；对于D选项，取，则，D选项正确.故选：ABD.11．AC【分析】由指数式与对数式关系化为对数式，再由对数的运算法则判断．【详解】设则，，， ，即，C正确；所以，A正确，B错误；，，，即，D错．故选：AC．12．BCD【解析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.【详解】由于，，，，，即函数的定义域为当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故C正确；当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故D正确；即当时，函数的值域也为，故，故B正确；当时，函数值，故A错误； 故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.13．5【详解】原式.14．【解析】由函数的定义域是，可求的值域，即函数的定义域，再由，即可求得的定义域.【详解】的定义域是，则，即函数的定义域为，令，即，解得则函数的定义域为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：（1）已知的定义域为，求的定义域：求不等式的解x的范围，即为的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域：由确定的取值范围，即为的定义域.（3）已知的定义域，求的定义域：先由的定义域，求得的定义域，再由的定义域，求得的定义域.15．③④⑤【解析】利用根式的运算判断①；求二次函数的值域判断②；利用幂函数的性质判断③；利用指数函数及对数函数的性质判断④；利用对数的运算判断⑤.【详解】对于①，，故①错误；对于②，函数，在单调递减，在上单调递增，故，，所以的值域是，故②错误；对于③，考查了幂函数的性质，因为当x是正数时，其任何次方都不会小于0，故③正确；对于④，由，即时恒等于1，此时，即函数的图象过定点，故④正确；对于⑤，若则，则，故⑤正确；故答案为：③④⑤16．【分析】结合基本不等式及定义域可求得，对分类讨论，结合最大值为10即可由最值求得a的取值范围.【详解】当，由打勾函数性质可知，当时，函数可化为，则由，所以当时恒成立；当时，，即，所以当时，满足最大值为10，解得，即；当时，函数可化为，所以最大值为，解得，（舍）；综上所述，a的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，由基本不等式及定义域确定函数的值域，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.17．(1)，，，.(2) 【分析】（1）计算得到，，再计算交集得到，得到答案.（2）考虑和两种情况，根据端点的位置解得答案.【详解】（1）函数的定义域满足，即，即，，，即，.故集合M的所有子集为，，，.（2），且，当时，，解得；当时，或，解得.综上所述：.18．(1)(2)或 【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化为，当，利用二次函数的性质求解即可；（2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种情况讨论，求解即可【详解】（1）由题意，命题：“，”，根据全称命题的否定形式，：“，”当命题为真时，，当二次函数为开口向上的二次函数，对称轴为故当时，函数取得最小值，即故实数的取值范围是（2）由（1）若为真命题，若为假命题若命题：“，” 为真命题则，解得故若为假命题由题意，和中有且只有一个是真命题，当真和假时，且，故；当假和真时，且，故；综上：实数的取值范围是或19．(1)；(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可.【详解】（1）由题设，当时，令，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴，解得.∴，故时，，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人.（2）由（1）知：，∵时，当且仅当等号成立，∴上，而上，单调递减，则，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.20．（1）（2）【分析】（1）区间应在对称轴右端；（2）分，，三种情况讨论即可.【详解】（1）由题知函数的对称轴方程为， 在区间上单调递减， ，则，解得 ；（2）由（1）知函数的对称轴方程为，当，即时，函数在区间上单调递减， 最大值为，解得，与矛盾；当，即时，函数在区间的最大值为，解得，舍去；当，即时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得，与矛盾。综上，.【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围，分类讨论二次函数的最值问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.21．(1)(2) 【分析】（1）利用函数的单调性解不等式；（2）由对数函数性质转化为方程(*)且，只有一解．分类讨论即可．【详解】（1）由题意为定义域上的增函数，所以原不等式为，解得，解集为；（2）因为是增函数，所以有唯一解，即有唯一解，所以有唯一解，(*)且，若，即，(*)的解为，满足，符合题意，若，，恒成立，时，(*)的解为，满足，符合题意，且时，(*)有两不等实根，，，要使原方程只有一个解，则中只有一个满足， ，解得，或，解得，综上，的取值范围是．22．（1）；（2）①，②【解析】（1）由已知递推式，即可写出的解析式；（2）①由（1）结合已知可列关于的方程组，消元即可得的解析式;②由已知方程可得有且仅有一个实根，令，即有与有且仅有一个交点，根据的区间单调性、极值，结合图象即可知的取值范围.【详解】（1）由题意知：，.（2） ①利用（1）中的结论，用替换两次，分别得到，消去，可得；② 即方程在上有唯一个实根，设函数，当且，单调递增；当时，，所以.∴要使方程有且仅有一个实根，即与有且仅有一个交点，结合图像可知【点睛】关键点点睛：由已知递推关系求函数解析式；将方程有唯一实根转化为两个函数图象有唯一交点求参数范围.