浙江省杭州市长河高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

浙江省杭州市长河高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．函数 的定义域是（    ）

A． B． C． D．

3．命题“都有实数根”的否定是（    ）

A．都有实数根

B．都没有实数根

C．都有实数根

D．没有实数根

4．设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为

A． B． C． D．

5．设，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

6．若关于x的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）

二、多选题

9．若，，则一定有（    ）

A． B． C． D．

10．下列结论中正确的有（    ）

A．函数单调递增区间为

B．函数为奇函数

C．函数的单调递减区间是和

D．是的必要不充分条件

11．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知偶函数满足：，且当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是（    ）

A．－2≤x≤0时，

B．点（1，0）是f(x)图象的一个对称中心

C．f(x)在区间[－10，10]上有10个零点

D．对任意，都有

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数值集合为______．

14．已知，函数，若__．

15．当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是________．

16．已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________.

四、解答题

17．化简求值

(1)；

(2)．

18．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

19．已知函数

(1)写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；

(2)用单调性定义证明函数在上单调递增；

(3)若定义域为，解不等式

20．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？

21．已知函数.

（1）若，求实数的值；

（2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域；

（3）若函数，求函数在上最大值.

22．已知定义在区间上的函数.

（1）若函数分别在区间，上单调，试求的取值范围；

（2）当时，在区间上是否存在实数、，是的函数在区间上单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案：

1．D

【解析】根据交集的定义写出即可．

【详解】集合，，

则．

故选：.

2．C

【分析】函数定义域满足，求解即可

【详解】由题， 函数定义域满足，解得.

故选：C

3．D

【分析】由全称命题的否定形式即可判断.

【详解】由全称命题的否定形式可知：

命题的否定是“没有实数根”.

故选：D

4．C

【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.

【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，

则，解得，则，

所以，因此.

故选C

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.

5．A

【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.

【详解】因为，

且， 在上递增，

所以，即，

综上：

故选：A

6．B

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.

【详解】由，

当时，不等式的解集为空集，不符合题意；

当时，不等式的解集为：，

要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数，

只需满足，即，

当时，不等式的解集为：，

要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数，

只需满足，即,

综上所述：，

故选：B

7．D

【分析】根据题意可得函数为减函数，再利用分段函数的单调性可得，解不等式即可求解.

【详解】因为对任意，，都有，

则函数为减函数，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查了分段函数的单调性求参数的取值范围，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

8．B

【解析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：时，，根据增函数的定义推得函数在上是增函数，从而求得最大值为，然后将已知不等式先对恒成立，再对恒成立，就可以求出的范围

【详解】解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，

所以将换为，可得，

所以函数在上是增函数，

所以，

所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，

即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，

令，则，即，

解得或，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和单调性，含3个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题，解题的关键是按顺序先对一个变量恒成立，转化为求最值，再对另一个变量恒成立，转化为求最值即可，考查数学转化思想

9．ABD

【分析】利用不等式的基本性质，即可得到答案；

【详解】对A，由，故A正确；

对B，，故B正确；

对D，由，又，故D正确；

故选：ABD

10．AB

【分析】根据复合函数单调性及指数函数和二次函数的单调性即可判断选项A正误;判断之间关系即可得选项B正误;判断的定义域即可得选项C的正误;将解出为,即可得选项D正误.

【详解】解:由题知关于选项A:

单调递减,

在单调递减,在单调递增,

故单调递增区间为,

故选项A正确;

关于选项B:

,

,

,

故为奇函数,

故选项B正确;

的单调递减区间为,,

故选项C错误;

关于选项D:

,,

是的充分不必要条件,

故选项D错误.

故选:AB

11．ABC

【分析】通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.

【详解】由题可知，函数，

若时，则，定义域为：，选项C可能；

若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为 选项B可能；

若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，

故不可能是选项D，

故选：

【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.

12．AC

【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A，由上的解析式判断B，已知条件得是一条对称轴，这样函数是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C，由最值判断D．

【详解】因为是偶函数，所以时，，A正确；

在上，不关于对称，因此不是的一个对称中心，B错；

由得，因此在上，有两个零点，

又，所以是函数图象的一条对称轴，

，所以是周期函数，周期为4，因此在上各有2个零点，在上共有10个零点，C正确；

由周期性知，，，D错．

故选：AC．

【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，解题关键是由两个对称性得出函数具有周期性，因此只要在一个周期内确定函数的零点，从而可得函数的性质可得整个定义域上函数的性质．

13．

【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可.

【详解】因为，故；

则的子集有，，，，

当时，显然有；

当时，；

当，；

当，不存在，

所以实数的集合为；

故答案为．

14．3

【分析】利用分段函数求得的值，可得要求式子的值．

【详解】，函数，

，

(2).

故答案为：3．

15．

【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得.

【详解】因为，x＞0，y＞0，

所以

当且仅当，即时等号成立，

因为恒成立，

所以有恒成立，解得，即k的取值范围为.

故答案为：

16．

【分析】画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可.

【详解】画出函数图象如图所示，

由图象可知要使a>b≥0，

f(a)＝f(b)同时成立，

则≤b<1.

b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)

＝b2＋b＝，

所以≤b·f(a)<2.

故答案为：.

【点睛】本题考查指数函数图象的应用，本题中借助函数图象求得参数范围是重点，属基础题.

17．(1)100

(2)

【分析】（1）由指数幂的运算法则即可求解；

（2）由对数的运算法则即可求解.

【详解】（1）原式

（2）原式

.

18．(1)；

(2).

【分析】（1）当时，解分式不等式化简集合A，解一元二次不等式化简集合B，再利用并集的定义计算作答.

（2）由给定条件可得，再借助集合包含关系列式计算作答.

【详解】（1）由，得，解得，则，

当时，，

所以．

（2）因为“”是“”的必要条件，则，

当，即时，，，不符合题意，

当，即时，，符合题意，

当，即时，，则，解得，

综上得：，

所以实数的取值范围.

19．(1)的定义域为R，为奇函数

(2)证明过程见详解

(3)

【分析】（1）求出的定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式.

【详解】（1）的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕.

（2）任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕.

（3），即

由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为.

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.

【解析】（Ⅰ）根据题意得千件药品销售额为万元，进而得；

（Ⅱ）当时，由二次函数性质得当时，取得最大值万元，当时，由基本不等式得当时，取得最大值1000万元，进而得年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.

【详解】（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，

依题意得：

当时，.

当时，.

所以.

（Ⅱ）当时，.

此时，当时，取得最大值万元.

当时，.

此时，即时，取得最大值1000万元.

由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，

此时可捐赠10万元物资款.

【点睛】关键点点睛：本题考查数学应用题，解决问题的关键是根据题意，建立数学模型，将实际问题数学化，再根据数学二次函数最值与基本不等式的知识求解得答案，最后回归实际应用问题，作答，考查知识迁移应用能力，数学建模能力，是中档题.

21．（1）或；（2）图象答案见解析，值域为；（3）.

【解析】（1）讨论的范围根据分段函数解析式可求解；

（2）根据分段函数解析式即可画出，计算出端点值，结合图象即可得出值域；

（3）可得，讨论和两种情况根据二次函数的性质求解.

【详解】（1）当时，得，

当时，得，

由上知或.

（2）图象如下图：

，

由图象知函数的值域为.

（3）当时，，

配方得,

当，即时，，

当，即时，，

综上，.

【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间的最值的思路；

（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和的大小求解；

（2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在三个区间的范围求解.

22．（1），（2）见解析.

【分析】（1）因为，由对勾函数得，函数在上单调递减，在上单调递增，令，结合题意可得所以，解得的取值范围．

（2）当时，，作出图象，分两种情况当时，当时，的值域，进而求得的取值范围．

【详解】解：（1）时，

，当时取最小值，

且在上单调递减，在上单调递增，

要使函数分别在上单调，

则

即

；

（2）当时，，

作出图象如下：

令

解得或

①当时，

，

由得，即，

由

解得，

由

，

由，

可得

②当时，

，

由得，

整理得：

即，

与矛盾，即实数不存在；

③当时，，

由可得，与矛盾，即实数不存在；

④当时，，

由可得，

再由得

把代入得

且，

可得

综上所述：存在实数，使得函数在区间上单调，且的取值范围为，此时的范围为；或，

使得函数在区间上单调，且的取值范围为，

此时的范围为.

【点睛】本题主要考查双勾函数的图象及性质，考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，综合性较强．