2022-2023学年上学期南京初中数学八年级期末典型试卷1

这是一份2022-2023学年上学期南京初中数学八年级期末典型试卷1，共29页。试卷主要包含了9的平方根是 　 　等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上学期南京初中数学八年级期末典型试卷1
一．选择题（共6小题）
1．（2021春•商河县校级期末）下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020秋•秦淮区期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70° B．110° C．120° D．130°
3．（2021春•柳南区校级期末）如图，在阴影区域的点是（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
4．（2020秋•南京期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
5．（2020秋•鼓楼区期末）一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
6．（2021•金台区一模）如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4
二．填空题（共10小题）
7．（2016•徐州）9的平方根是 　 　．
8．（2019秋•秦淮区期末）在平面直角坐标系中，将点P（1，1）向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为　 　．
9．（2020秋•建邺区期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为　 　．

10．（2020秋•建邺区期末）小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为　 　．

11．（2020秋•秦淮区期末）平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝　 　．
12．（2020秋•秦淮区期末）已知二元一次方程组x−y=−4x+2y=2的解为x=−2y=2，则在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+4与y=−12x+1的图象的交点坐标为　 　．
13．（2020秋•淮安区期末）如图，AB＝AC，BD＝DC，∠BAC＝36°，则∠BAD的度数是　 　°．

14．（2021春•营口期末）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为　 　．

15．（2020秋•鼓楼区期末）在直线y＝﹣2x+5上到x轴的距离等于3的点的坐标是　 　．
16．（2021•西安模拟）如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是　 　．

三．解答题（共10小题）
17．（2019秋•秦淮区期末）计算4+|−2|−38．
18．（2019秋•秦淮区期末）求下列各式中的x．
（1）4x2＝25；
（2）（x+2）3﹣27＝0．
19．（2020秋•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．

20．（2020秋•建邺区期末）如图，用（﹣1，﹣1）表示A点的位置，用（3，0）表示B点的位置．
（1）画出直角坐标系．
（2）点E的坐标为　 　．
（3）△CDE的面积为　 　．

21．（2020秋•秦淮区期末）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．

22．（2020秋•秦淮区期末）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）

23．（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．

24．（2020秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．
（1）用直尺与圆规，求作一点C，使得OA＝CA，且点C到两坐标轴的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：CA∥OB；
（3）直接写出OC与AB的交点坐标．

25．（2020秋•鼓楼区期末）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油30L，沿途的高速公路服务区A离老家200km．轿车到南京的距离S（km）与轿车行驶时间x（h）之间的函数图象如图①．到达高速公路服务区A后立刻加油26L（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以120km/h的速度回到南京．（小明的轿车以100km/h的速度行驶时每100km平均耗油8L，以120km/h的速度行驶时每100km平均耗油10L．）
（1）观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是 　 　km/h；
（2）图象中a＝　 　，b＝　 　；
（3）直接写出轿车的余油量Q（L）与轿车行驶的时间x（h）之间的函数表达式，说明自变量x的取值范围，并在图②中画出Q（L）与x（h）之间的函数图象．

26．（2020秋•鼓楼区期末）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．

（1）请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．

（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是　 　．
（3）如图3，△ABC中，∠C=32∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）


2022-2023学年上学期南京初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021春•商河县校级期末）下列四个常见的手机APP图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2020秋•秦淮区期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（　　）

A．70° B．110° C．120° D．130°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
3．（2021春•柳南区校级期末）如图，在阴影区域的点是（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系．
【分析】根据阴影区域在第二象限，以及第二象限内点到坐标特征解答．
【解答】解：由图可知，阴影区域在第二象限，
所以，各选项点的坐标中，在阴影区域的点是（﹣1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（2020秋•南京期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝7，
∴EF＝7，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．（2020秋•鼓楼区期末）一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，再根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，
根据勾股定理得92+（x﹣3）2＝x2，
解得x＝15．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．（2021•金台区一模）如图，函数y＝kx﹣2b的图象经过点（3，0），则关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0，
所以关于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜3，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3，
即：x＜4，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二．填空题（共10小题）
7．（2016•徐州）9的平方根是 　±3　．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
8．（2019秋•秦淮区期末）在平面直角坐标系中，将点P（1，1）向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为　（0，﹣1）　．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
【解答】解：平移后点Q的坐标为（1﹣1，1﹣2），即（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
9．（2020秋•建邺区期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为　2　．

【考点】图形的剪拼．
【分析】由题意和图示可知，将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大正方形，大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长，根据正方形的性质，利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可．
【解答】解：∵如图是两个面积为1的小正方形，
∴两个小正方形的边长为1，
∴其对角线的长度为2，即大正方形的边长为2．
故答案是：2．
【点评】此题主要考查学生对正方形性质和勾股定理的理解和掌握．属于基础题，难度不大．
10．（2020秋•建邺区期末）小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为　900米　．

【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】先求得小张骑车的速度，然后再求得小张两小时行驶的距离，最后，再用总路程﹣行驶的路程从而可求得文具店与小张家的距离．
【解答】解：小张骑车的速度＝1500÷（6﹣1）＝300米/分钟．
文具店与小张家的距离＝1500﹣300×2＝900米．
故答案为：900米．
【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据函数图象求得小张骑车的速度是解题的关键．
11．（2020秋•秦淮区期末）平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝　3　．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），
∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
12．（2020秋•秦淮区期末）已知二元一次方程组x−y=−4x+2y=2的解为x=−2y=2，则在同一平面直角坐标系中，函数y＝x+4与y=−12x+1的图象的交点坐标为　（﹣2，2）　．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
【解答】解：∵二元一次方程组x−y=−4x+2y=2的解为x=−2y=2，
∴函数y＝x+4与y=−12x+1的图象的交点坐标为（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．（2020秋•淮安区期末）如图，AB＝AC，BD＝DC，∠BAC＝36°，则∠BAD的度数是　18　°．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD即可得到结论．
【解答】解：在△BAD和△CAD中，
AB=ACBD=DCAD=AD
∴△BAD≌△CAD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AC是∠BAD的平分线，
∴∠BAD=12∠BAC＝18°，
故答案为：18．
【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BAD≌△CAD，全等三角形的判定方法有SAS、ASA、AAS．
14．（2021春•营口期末）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为　x＞﹣1　．

【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象都在函数y＝kx﹣1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集．
【解答】解：当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．（2020秋•鼓楼区期末）在直线y＝﹣2x+5上到x轴的距离等于3的点的坐标是　（1，3）和（4，﹣3）　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】令y＝±3，求出x的值即可．
【解答】解：∵当y＝3时，x＝1；当y＝﹣3时，x＝4，
∴直线y＝﹣2x+5上到x轴的距离等于3的点的坐标为（1，3）和（4，﹣3）．
故答案为（1，3）和（4，﹣3）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．（2021•西安模拟）如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是　13　．

【考点】勾股定理；旋转的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由勾股定理可求BE的长，由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD=13．
【解答】解：如图，连接AC，AE，BE，

∵EF＝2，BF＝3，
∴BE=EF2+BF2=4+9=13，
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠DACAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三．解答题（共10小题）
17．（2019秋•秦淮区期末）计算4+|−2|−38．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：4+|−2|−38
＝2+2−2
=2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（2019秋•秦淮区期末）求下列各式中的x．
（1）4x2＝25；
（2）（x+2）3﹣27＝0．
【考点】平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）首先两边同时除以4，再两边直接开平方；
（2）首先两边直接开立方，再解方程．
【解答】解：（1）x2=254．
x＝±52．
（2）（x+2）3＝27．
x+2＝3．
x＝1．
【点评】此题主要考查了平方根和立方根，关键是掌握一个正数有两个平方根．
19．（2020秋•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等边三角形的性质可得出∠CAP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形内角和定理得出∠BHC＝90°，则可得出结论．
【解答】证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BQ⊥CP．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
20．（2020秋•建邺区期末）如图，用（﹣1，﹣1）表示A点的位置，用（3，0）表示B点的位置．
（1）画出直角坐标系．
（2）点E的坐标为　（3，2）　．
（3）△CDE的面积为　3.5　．

【考点】坐标确定位置；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；三角形；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义根据点A为坐标建立即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可；
（4）利用△CDE所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）点E的坐标为（3，2），
故答案为（3，2）；

（3）△CDE的面积＝3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3＝3.5，
故答案为3.5．

【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握网格结构准确作出坐标系是解题的关键．
21．（2020秋•秦淮区期末）用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．

【考点】算术平方根．
【专题】整式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．
【解答】解：不可能，理由如下：
因为正方形的面积400cm2，所以正方形的边长为20cm，
设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得，
3x≤202x≤20，
解得x≤203，
所以S长方形＝3x•2x＝6x2≤6×（203）2=24009＜300，
即：长方形纸片的面积不可能是300cm2．
【点评】本题考查矩形面积的计算方法，不等式组的应用，确定长方形边长及面积的取值范围是得出答案的关键．
22．（2020秋•秦淮区期末）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）

【考点】等腰三角形的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况画出图形即可．
【解答】解：如图，点P1，P2，P3 即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
23．（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．

【考点】全等三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，求出∠OAB＝∠OCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出AC＝BD，根据SAS推出即可．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，
∵∠COD＝∠AOB，∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠OCD+∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC，
即∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD；

（2）∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△ABC和△BAD中，
AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．（2020秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．
（1）用直尺与圆规，求作一点C，使得OA＝CA，且点C到两坐标轴的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：CA∥OB；
（3）直接写出OC与AB的交点坐标．

【考点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）作OC平分∠AOB，以A为圆心，AO为半径作弧交OC于点C，连接AC即可．
（2）证明∠ACO＝∠BOC，可得结论．
（3）设AB交OC于D，过点D作DE⊥OA于E，DF⊥OB于F．首先证明DE＝DF，再利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，点C即为所求作．


（2）∵OA＝CA，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠ACO＝∠BOC，
∴CA∥OB．

（3）设AB交OC于D，过点D作DE⊥OA于E，DF⊥OB于F．
∵OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵S△AOB=12•OA•OB=12•OA•DE+12•OB•DF，
∴DE＝DF=23，
∴D（23，23）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2020秋•鼓楼区期末）小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油30L，沿途的高速公路服务区A离老家200km．轿车到南京的距离S（km）与轿车行驶时间x（h）之间的函数图象如图①．到达高速公路服务区A后立刻加油26L（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以120km/h的速度回到南京．（小明的轿车以100km/h的速度行驶时每100km平均耗油8L，以120km/h的速度行驶时每100km平均耗油10L．）
（1）观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是 　100　km/h；
（2）图象中a＝　2.5　，b＝　256　；
（3）直接写出轿车的余油量Q（L）与轿车行驶的时间x（h）之间的函数表达式，说明自变量x的取值范围，并在图②中画出Q（L）与x（h）之间的函数图象．

【考点】一次函数的应用．
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】（1）根据老家到服务区A所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度；
（2）由题意可知a＝2.5小时；求得服务区A到南京的距离，根据t=Sv即可求得服务区A到南京所用的时间，从而求得b；
（3）求出每段时间所对应的函数解析式，再将图象描点做出即可．
【解答】解：（1）∵服务区A离老家200km，行驶了2小时，
∴前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是100km/h．
故答案为：100．
（2）∵到服务区A后，休息了半个小时，
∴a＝2+0.5＝2.5（h），
∵服务区A到南京的距离为200km，以120km/h的速度回到南京，
∴b＝a+200120=2.5+53=256（h），
故答案为2.5，256；
（3）解：设行驶的路程为y；
当x≤2时，轿车行驶速度为100km/h；即y＝100x；
∴Q＝30﹣8×100x100；即Q＝30﹣8x（x≤2）；
当2＜x≤2.5时，前面两小时耗油量为16L，所以还剩14L；在A服务区加油26L，此时共有14+26＝40L；
∴Q＝40（2＜x≤2.5）；
当2.5＜x≤256时，轿车行驶速度为120km/h；即y＝120（x﹣2.5）；
∴Q＝40﹣10×120(x−2.5)100；即Q＝70﹣12x（2.5＜x≤256）；
∴综上所述，Q=30−8x(x≤2)；40(2＜x≤2.5)；70−12x(2.5＜x≤256)

【点评】本题目重点考查对于分段函数图象的分析能力，要善于抓住题干中的重要信息，对每种情况学会讨论是解题的关键．
26．（2020秋•鼓楼区期末）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．

（1）请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．

（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是　72°或36°或45°或540°7　．
（3）如图3，△ABC中，∠C=32∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）

【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；新定义；几何直观；应用意识．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：（1）如图2，取AB的中点D，则AD＝CD＝BD，
∴△ADC和△BCD是等腰三角形；

如图3，取CD＝BC，则∠CDB＝∠B＝70°，
∵∠A＝35°，
∴∠ACD＝70°﹣35°＝35°，
∴∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝BC，
∴△ADC和△BCD是等腰三角形；
如图4，作AB的垂直平分线DE，交AC于D，交AB于E，连接BD，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝27°，
∴∠CDB＝54°，
∵∠ABC＝81°，
∴∠CBD＝81°﹣27°＝54°＝∠BDC，
∴CD＝BC，
∴△ADB和△BCD是等腰三角形；
（2）①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5，

当AD＝BD，BD＝BC时，
设∠A＝x°，则∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x°+2x°+2x°＝180°，
∴x＝36°，2x＝72°，
∴∠C＝72°，
②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，

当AB＝BD，AD＝CD时，
设∠B＝y°，则∠C＝y°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝y°，
∴∠ADB＝2y°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴y°+2y°+2y°＝180°，
∴y＝36°，
∴∠B＝∠C＝36°，
③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7，

当AB＝BD，AD＝CD时，AD为BC的垂直平分线，
设∠B＝z°，则∠C＝z°，∠BAD＝z°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴z°+z°＝90°，
∴z＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
④设底角为x，可得，x＝3（180°﹣2x），
解得：x=540°7，
故答案为：72°或36°或45°或540°7；
（3）∵要画出使得对∠B取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使∠B等于具体的数值，
∴值需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，

∵∠C=32∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BD＝DE，DE＝AE，AD＝AC的三个等腰三角形时，
则有∠BED＝∠B＝2x°，∠ADC＝∠C＝3x°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝4x°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝x°，
∴∠EAD＝x°，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠EDA＝2：3：1，
即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：

∵∠C=32∠B，
设∠B＝2x°，∠C＝3x°，
当AD、DE将△ABC分成BE＝DE，AD＝AE，AD＝CD的三个等腰三角形时，
则∠EDB＝∠B＝2x°，∠DAC＝∠C＝3x°，
∵∠AED＝∠B+∠BDE＝4x°，
∴∠EDA＝4x°，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠AED＝2：3：4，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立，
综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对∠B取值范围内的任意值都成立．
【点评】本题主要考查三角形综合题和作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质