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2022-2023学年上学期天津初中数学八年级期末典型试卷1
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这是一份2022-2023学年上学期天津初中数学八年级期末典型试卷1，共24页。试卷主要包含了如图，AB⊥CD，且AB＝CD等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期天津初中数学八年级期末典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021•广西一模）多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（ ）
A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2
2．（2021•安徽模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
3．（2020秋•沂南县期末）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．50×10﹣9
4．（2020秋•天津期末）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3•a3＝a9 D．（ab）2＝ab2
5．（2020秋•河东区期末）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．（2020秋•河东区期末）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝ab6
C．（a5）2＝a10 D．（a3）2•a4＝a9
7．（2014•深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
9．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
10．（2019秋•南开区期末）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．140x+140x−21=14 B．280x+280x+21=14
C．140x+140x+21=14 D．10x+10x+21=1
二．填空题（共8小题）
11．（2020•官渡区二模）因式分解：3a3﹣3ab2＝ ．
12．（2020秋•河北区期末）等腰三角形的其中两边长为7cm和15cm，则这个等腰三角形的周长为 cm．
13．（2020•东海县二模）如果代数式x3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 ．
14．（2020秋•天津期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 ．
15．（2021春•嵩县期末）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是 ．
16．（2020秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，CD的长为5，则△ABC的面积为 ．
17．（2019秋•和平区期末）若方程x−5x−6−x−6x−5=kx2−11x+30的解不大于13，则k的取值范围是 ．
18．（2019秋•和平区期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 ．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2019秋•南开区期末）计算
（Ⅰ）（25−7）（25+7）﹣（5−3）2+（﹣2）0；
（Ⅱ）用简便方法计算：20182﹣2018×36+182；
（Ⅲ）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x＝2−2．
20．（2019秋•南开区期末）解方程：4x2−1+x+21−x=−1．
21．（2020秋•河北区期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
22．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
23．（2020秋•天津期末）解分式方程：
（1）2x=3x−2；
（2）34−x+2=1−xx−4．
24．（2020秋•天津期末）高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知某市到天津的路程约为900km，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2h，求该列动车组列车的平均速度．
（1）设特快列车的速度为xkm/h，则用含x的式子把表格补充完整；
路程（km）
速度（km/h）
时间（h）
动车组列车
900
特快列车
900
x
（2）列出方程，完成本题解答．
25．（2020秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），若OC＝2，求点E的坐标；
（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．
（3）若OC＝m＞4，∠BCO＝30°，过O作OG⊥BC于G，CG＝n，则△OCD的面积为 ．
2022-2023学年上学期天津初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•广西一模）多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（ ）
A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2
【考点】公因式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数幂是ab，所以多项式12ab3+8a3b的各项公因式是4ab，
故选：C．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
2．（2021•安徽模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】分别按照同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法法则计算验证即可．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故A错误；
B、（3x）3＝27x3，故B错误；
C、（b3）2＝b6，故C错误；
D、a10÷a2＝a8，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法等整式运算，熟练掌握相关整式运算的法则是解题的关键．
3．（2020秋•沂南县期末）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．50×10﹣9
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2020秋•天津期末）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3•a3＝a9 D．（ab）2＝ab2
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．
【解答】解：A．（a3）4＝a12，因此A正确，符合题意；
B．（﹣2a）2＝4a2，因此B不正确，不符合题意；
C．a3•a3＝a6，因此C不正确，不符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，因此D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．
5．（2020秋•河东区期末）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】据三角形全等知识进行解答，做题时要根据已知条件找准对应角．
【解答】解：△ABC中，∠A＝65°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵两个三角形全等，
又∵∠A＝∠A′＝65°，AB＝A′C′＝5cm
∴点C的对应点是B′，
∴x＝∠B′＝∠C＝60°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，找准对应角是正确解决本题的关键．
6．（2020秋•河东区期末）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝ab6
C．（a5）2＝a10 D．（a3）2•a4＝a9
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．b3•b3＝b6，故本选项不合题意；
B．（ab2）3＝a2b6 ，故本选项不合题意；
C．（a5）2＝a10，故本选项符合题意；
D．（a3）2•a4＝a10，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
7．（2014•深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B=180°−40°2=70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．（2019秋•南开区期末）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．140x+140x−21=14 B．280x+280x+21=14
C．140x+140x+21=14 D．10x+10x+21=1
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【分析】设读前一半时，平均每天读x页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间＝14，据此列方程即可．
【解答】解：读前一半用的时间为：140x，
读后一半用的时间为：140x+21．
由题意得，140x+140x+21=14，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
二．填空题（共8小题）
11．（2020•官渡区二模）因式分解：3a3﹣3ab2＝ 3a（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：3a（a+b）（a﹣b）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2020秋•河北区期末）等腰三角形的其中两边长为7cm和15cm，则这个等腰三角形的周长为 37 cm．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是7cm，7cm，15cm时，②当三角形的三边是7cm，15cm，15cm时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当等腰三角形的腰为7cm时，三角形的三边是7cm，7cm，15cm，
∵7+7＜15，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当等腰三角形的腰为15cm时，三角形的三边是7cm，15cm，15cm时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是7+15+15＝37cm，
故答案为：37．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．
13．（2020•东海县二模）如果代数式x3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据分式有意义得出3﹣x≠0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：要使代数式x3−x在实数范围内有意义，必须3﹣x≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件和解一元一次不等式，能熟记分式有意义的条件的内容是解此题的关键，注意：分式yx中x≠0．
14．（2020秋•天津期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 （﹣7，﹣9） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点P关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣7，9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标为（﹣7，﹣9）．
故答案为：（﹣7，﹣9）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15．（2021春•嵩县期末）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是 21：05 ．
【考点】镜面对称．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．
故答案为：21：05
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
16．（2020秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，CD的长为5，则△ABC的面积为 20 ．
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】利用三角形中线的定义得到BC的长，所以由三角形的面积公式直接求解即可．
【解答】解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，
∴BC＝2CD＝10．
∴S△ABC=12BC•AE=12×10×4=20．
故答案是：20．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
17．（2019秋•和平区期末）若方程x−5x−6−x−6x−5=kx2−11x+30的解不大于13，则k的取值范围是 k≤15且k≠﹣1，k≠1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出分式方程的解为x=k+112，由已知条件得到k+112≤13，k+112≠5，k+112≠6即可求解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣5）（x﹣6），得
（x﹣5）2﹣（x﹣6）2＝k，
化简，得
2x＝k+11，
解得x=k+112，
∵方程的解不大于13，
∴k+112≤13，
∴k≤15，
∵x≠5，x≠6，
∴k+112≠5，k+112≠6，
∴k≠﹣1，k≠1，
∴k≤15且k≠﹣1，k≠1，
故答案为k≤15且k≠﹣1，k≠1．
【点评】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
18．（2019秋•和平区期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 90°、135°、45° ．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为 20°或40° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；
（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．
【解答】解：
（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．
每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．
故答案为：90°、135°、45°．
（3）如下图作△ABC，
①如图1：当AD＝AE时，
∵2x+x＝30+30，
∴x＝20．
②如图2：当AD＝DE时，
∵2x+x+30+30＝180．
∴x＝40．
所以x的所有可能的值为20°或40°．
故答案为20°或40°．
【点评】本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面主要考查了三角形的内角与外角的关系及等腰三角形的知识，是一道有难度的题目．
三．解答题（共7小题）
19．（2019秋•南开区期末）计算
（Ⅰ）（25−7）（25+7）﹣（5−3）2+（﹣2）0；
（Ⅱ）用简便方法计算：20182﹣2018×36+182；
（Ⅲ）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x＝2−2．
【考点】平方差公式；分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【分析】（Ⅰ）根据平方差公式、完全平方公式和零指数幂可以解答本题；
（Ⅱ）根据完全平方公式可以解答本题；
（Ⅲ）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（Ⅰ）（25−7）（25+7）﹣（5−3）2+（﹣2）0
＝（25）2﹣（7）2﹣（5﹣65+9）+1
＝20﹣7﹣14+65+1
＝65；
（Ⅱ）20182﹣2018×36+182
＝（2018﹣18）2
＝20002
＝4000000；
（Ⅲ）x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2
=(x+2)(x−2)(x−2)2⋅x+1x+2−xx−2
=x+1x−2−xx−2
=x+1−xx−2
=1x−2，
当x＝2−2时，原式=12−2−2=−22．
【点评】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（2019秋•南开区期末）解方程：4x2−1+x+21−x=−1．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两边都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4﹣（x+2）（x+1）＝﹣（x+1）（x﹣1），
解得：x=13，
检验：当x=13时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解为x=13．
【点评】本题主要考查分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
21．（2020秋•河北区期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，
根据题意，得6000x×43=8800x+20
解得：x＝200
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少标价296元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
22．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
23．（2020秋•天津期末）解分式方程：
（1）2x=3x−2；
（2）34−x+2=1−xx−4．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣2）＝3x，
去括号得：2x﹣4＝3x，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解；
（2）去分母得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，
去括号得：﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
解得：x＝4，
经检验x＝4是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
24．（2020秋•天津期末）高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知某市到天津的路程约为900km，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2h，求该列动车组列车的平均速度．
（1）设特快列车的速度为xkm/h，则用含x的式子把表格补充完整；
路程（km）
速度（km/h）
时间（h）
动车组列车
900
1.5x
9001.5x
特快列车
900
x
900x
（2）列出方程，完成本题解答．
【考点】列代数式；分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设特快列车的速度为xkm/h，则动车组列车的平均速度为1.5xkm/h，利用时间＝路程÷速度，即可用含x的代数式表示出乘坐特快列车及动车组列车所需时间；
（2）由乘坐动车组列车比乘坐特快列车少用2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）设特快列车的速度为xkm/h，则动车组列车的平均速度为1.5xkm/h，
∴乘坐动车组列车需要9001.5x（h），乘坐特快列车需要900x（h）．
故答案为：1.5x；9001.5x；900x．
（2）依题意得：900x−9001.5x=2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝225．
答：该列动车组列车的平均速度为225km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出乘坐特快列车及动车组列车所需时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
25．（2020秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），若OC＝2，求点E的坐标；
（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．
（3）若OC＝m＞4，∠BCO＝30°，过O作OG⊥BC于G，CG＝n，则△OCD的面积为 18m2+32m ．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△BOC≌△AOE，根据全等三角形的性质得到OE＝OC＝2，得到点E的坐标；
（2）作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，根据全等三角形的对应高相等得到OG＝OH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据题意画出图形，由直角三角形的性质得出CD＝6+m2，OG=m2，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠ADC＝90°，
∴∠BCO+∠DAC＝90°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AEO+∠DAC＝90°，
∴∠BCO＝∠AEO；
∵点A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
在△BOC和△AOE中，
∠BCO=∠AEO∠BOC=∠AOE=90°OB=OA，
∴△BOC≌△AOE（AAS），
∴OE＝OC＝2，
∴点E的坐标为（0，2）；
（2）证明：如图（2），作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，
∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，
∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，
∴DO平分∠ADC；
（3）解：画出图形，如图（3），
∵△BOC≌△AOE，
∴OE＝OC＝m，∠BCO＝∠AEO＝30°，
∵OB＝4，
∴BE＝m﹣4，
∴BD=12BE=m2−2，BG=12OB＝2，
∴BC＝n+2，
∵∠BCO＝30°，
∴OB=12BC，
∴4=12（n+4），
∴n＝6，
在△COG中，∠OCG＝30°，
∴OG=12OC=m2，
∴S△COD=12CD×OG=12(n+m2−2+2)×m2，
=12(6+m2)×m2
=18m2+32m．
故答案为：18m2+32m．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质、角平分线的判定定理是解题的关键
2022-2023学年上学期天津初中数学八年级期末典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021•广西一模）多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（ ）
A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2
2．（2021•安徽模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
3．（2020秋•沂南县期末）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．50×10﹣9
4．（2020秋•天津期末）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3•a3＝a9 D．（ab）2＝ab2
5．（2020秋•河东区期末）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．（2020秋•河东区期末）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝ab6
C．（a5）2＝a10 D．（a3）2•a4＝a9
7．（2014•深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
9．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
10．（2019秋•南开区期末）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．140x+140x−21=14 B．280x+280x+21=14
C．140x+140x+21=14 D．10x+10x+21=1
二．填空题（共8小题）
11．（2020•官渡区二模）因式分解：3a3﹣3ab2＝ ．
12．（2020秋•河北区期末）等腰三角形的其中两边长为7cm和15cm，则这个等腰三角形的周长为 cm．
13．（2020•东海县二模）如果代数式x3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 ．
14．（2020秋•天津期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 ．
15．（2021春•嵩县期末）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是 ．
16．（2020秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，CD的长为5，则△ABC的面积为 ．
17．（2019秋•和平区期末）若方程x−5x−6−x−6x−5=kx2−11x+30的解不大于13，则k的取值范围是 ．
18．（2019秋•和平区期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 ．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2019秋•南开区期末）计算
（Ⅰ）（25−7）（25+7）﹣（5−3）2+（﹣2）0；
（Ⅱ）用简便方法计算：20182﹣2018×36+182；
（Ⅲ）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x＝2−2．
20．（2019秋•南开区期末）解方程：4x2−1+x+21−x=−1．
21．（2020秋•河北区期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
22．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
23．（2020秋•天津期末）解分式方程：
（1）2x=3x−2；
（2）34−x+2=1−xx−4．
24．（2020秋•天津期末）高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知某市到天津的路程约为900km，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2h，求该列动车组列车的平均速度．
（1）设特快列车的速度为xkm/h，则用含x的式子把表格补充完整；
路程（km）
速度（km/h）
时间（h）
动车组列车
900
特快列车
900
x
（2）列出方程，完成本题解答．
25．（2020秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），若OC＝2，求点E的坐标；
（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．
（3）若OC＝m＞4，∠BCO＝30°，过O作OG⊥BC于G，CG＝n，则△OCD的面积为 ．
2022-2023学年上学期天津初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•广西一模）多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（ ）
A．ab B．2ab C．4ab D．4ab2
【考点】公因式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数幂是ab，所以多项式12ab3+8a3b的各项公因式是4ab，
故选：C．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
2．（2021•安徽模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（3x）3＝9x3 C．（b3）2＝b5 D．a10÷a2＝a8
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】分别按照同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法法则计算验证即可．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故A错误；
B、（3x）3＝27x3，故B错误；
C、（b3）2＝b6，故C错误；
D、a10÷a2＝a8，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法等整式运算，熟练掌握相关整式运算的法则是解题的关键．
3．（2020秋•沂南县期末）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．50×10﹣9
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2020秋•天津期末）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3•a3＝a9 D．（ab）2＝ab2
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．
【解答】解：A．（a3）4＝a12，因此A正确，符合题意；
B．（﹣2a）2＝4a2，因此B不正确，不符合题意；
C．a3•a3＝a6，因此C不正确，不符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，因此D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．
5．（2020秋•河东区期末）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】据三角形全等知识进行解答，做题时要根据已知条件找准对应角．
【解答】解：△ABC中，∠A＝65°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵两个三角形全等，
又∵∠A＝∠A′＝65°，AB＝A′C′＝5cm
∴点C的对应点是B′，
∴x＝∠B′＝∠C＝60°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，找准对应角是正确解决本题的关键．
6．（2020秋•河东区期末）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝ab6
C．（a5）2＝a10 D．（a3）2•a4＝a9
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．b3•b3＝b6，故本选项不合题意；
B．（ab2）3＝a2b6 ，故本选项不合题意；
C．（a5）2＝a10，故本选项符合题意；
D．（a3）2•a4＝a10，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
7．（2014•深圳）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B=180°−40°2=70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．（2019秋•南开区期末）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A．140x+140x−21=14 B．280x+280x+21=14
C．140x+140x+21=14 D．10x+10x+21=1
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【分析】设读前一半时，平均每天读x页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间＝14，据此列方程即可．
【解答】解：读前一半用的时间为：140x，
读后一半用的时间为：140x+21．
由题意得，140x+140x+21=14，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
二．填空题（共8小题）
11．（2020•官渡区二模）因式分解：3a3﹣3ab2＝ 3a（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：3a（a+b）（a﹣b）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2020秋•河北区期末）等腰三角形的其中两边长为7cm和15cm，则这个等腰三角形的周长为 37 cm．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是7cm，7cm，15cm时，②当三角形的三边是7cm，15cm，15cm时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当等腰三角形的腰为7cm时，三角形的三边是7cm，7cm，15cm，
∵7+7＜15，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当等腰三角形的腰为15cm时，三角形的三边是7cm，15cm，15cm时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是7+15+15＝37cm，
故答案为：37．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．
13．（2020•东海县二模）如果代数式x3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据分式有意义得出3﹣x≠0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：要使代数式x3−x在实数范围内有意义，必须3﹣x≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件和解一元一次不等式，能熟记分式有意义的条件的内容是解此题的关键，注意：分式yx中x≠0．
14．（2020秋•天津期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣7，9）关于x轴的对称点的坐标为 （﹣7，﹣9） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点P关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣7，9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标为（﹣7，﹣9）．
故答案为：（﹣7，﹣9）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15．（2021春•嵩县期末）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是 21：05 ．
【考点】镜面对称．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．
故答案为：21：05
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
16．（2020秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，CD的长为5，则△ABC的面积为 20 ．
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】利用三角形中线的定义得到BC的长，所以由三角形的面积公式直接求解即可．
【解答】解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，
∴BC＝2CD＝10．
∴S△ABC=12BC•AE=12×10×4=20．
故答案是：20．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
17．（2019秋•和平区期末）若方程x−5x−6−x−6x−5=kx2−11x+30的解不大于13，则k的取值范围是 k≤15且k≠﹣1，k≠1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出分式方程的解为x=k+112，由已知条件得到k+112≤13，k+112≠5，k+112≠6即可求解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣5）（x﹣6），得
（x﹣5）2﹣（x﹣6）2＝k，
化简，得
2x＝k+11，
解得x=k+112，
∵方程的解不大于13，
∴k+112≤13，
∴k≤15，
∵x≠5，x≠6，
∴k+112≠5，k+112≠6，
∴k≠﹣1，k≠1，
∴k≤15且k≠﹣1，k≠1，
故答案为k≤15且k≠﹣1，k≠1．
【点评】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
18．（2019秋•和平区期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 90°、135°、45° ．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为 20°或40° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；
（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．
【解答】解：
（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．
每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．
故答案为：90°、135°、45°．
（3）如下图作△ABC，
①如图1：当AD＝AE时，
∵2x+x＝30+30，
∴x＝20．
②如图2：当AD＝DE时，
∵2x+x+30+30＝180．
∴x＝40．
所以x的所有可能的值为20°或40°．
故答案为20°或40°．
【点评】本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面主要考查了三角形的内角与外角的关系及等腰三角形的知识，是一道有难度的题目．
三．解答题（共7小题）
19．（2019秋•南开区期末）计算
（Ⅰ）（25−7）（25+7）﹣（5−3）2+（﹣2）0；
（Ⅱ）用简便方法计算：20182﹣2018×36+182；
（Ⅲ）先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x＝2−2．
【考点】平方差公式；分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【分析】（Ⅰ）根据平方差公式、完全平方公式和零指数幂可以解答本题；
（Ⅱ）根据完全平方公式可以解答本题；
（Ⅲ）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（Ⅰ）（25−7）（25+7）﹣（5−3）2+（﹣2）0
＝（25）2﹣（7）2﹣（5﹣65+9）+1
＝20﹣7﹣14+65+1
＝65；
（Ⅱ）20182﹣2018×36+182
＝（2018﹣18）2
＝20002
＝4000000；
（Ⅲ）x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2
=(x+2)(x−2)(x−2)2⋅x+1x+2−xx−2
=x+1x−2−xx−2
=x+1−xx−2
=1x−2，
当x＝2−2时，原式=12−2−2=−22．
【点评】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（2019秋•南开区期末）解方程：4x2−1+x+21−x=−1．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两边都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4﹣（x+2）（x+1）＝﹣（x+1）（x﹣1），
解得：x=13，
检验：当x=13时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解为x=13．
【点评】本题主要考查分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
21．（2020秋•河北区期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，
根据题意，得6000x×43=8800x+20
解得：x＝200
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少标价296元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
22．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
23．（2020秋•天津期末）解分式方程：
（1）2x=3x−2；
（2）34−x+2=1−xx−4．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣2）＝3x，
去括号得：2x﹣4＝3x，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解；
（2）去分母得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，
去括号得：﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
解得：x＝4，
经检验x＝4是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
24．（2020秋•天津期末）高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷．已知某市到天津的路程约为900km，一列动车组列车的平均速度是特快列车的1.5倍，运行时间比特快列车少2h，求该列动车组列车的平均速度．
（1）设特快列车的速度为xkm/h，则用含x的式子把表格补充完整；
路程（km）
速度（km/h）
时间（h）
动车组列车
900
1.5x
9001.5x
特快列车
900
x
900x
（2）列出方程，完成本题解答．
【考点】列代数式；分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设特快列车的速度为xkm/h，则动车组列车的平均速度为1.5xkm/h，利用时间＝路程÷速度，即可用含x的代数式表示出乘坐特快列车及动车组列车所需时间；
（2）由乘坐动车组列车比乘坐特快列车少用2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）设特快列车的速度为xkm/h，则动车组列车的平均速度为1.5xkm/h，
∴乘坐动车组列车需要9001.5x（h），乘坐特快列车需要900x（h）．
故答案为：1.5x；9001.5x；900x．
（2）依题意得：900x−9001.5x=2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝225．
答：该列动车组列车的平均速度为225km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出乘坐特快列车及动车组列车所需时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
25．（2020秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，4），点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．
（1）如图（1），若OC＝2，求点E的坐标；
（2）如图（2），若OC＜4，连接DO，求证：DO平分∠ADC．
（3）若OC＝m＞4，∠BCO＝30°，过O作OG⊥BC于G，CG＝n，则△OCD的面积为 18m2+32m ．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△BOC≌△AOE，根据全等三角形的性质得到OE＝OC＝2，得到点E的坐标；
（2）作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，根据全等三角形的对应高相等得到OG＝OH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据题意画出图形，由直角三角形的性质得出CD＝6+m2，OG=m2，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）解：∵∠ADC＝90°，
∴∠BCO+∠DAC＝90°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AEO+∠DAC＝90°，
∴∠BCO＝∠AEO；
∵点A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
在△BOC和△AOE中，
∠BCO=∠AEO∠BOC=∠AOE=90°OB=OA，
∴△BOC≌△AOE（AAS），
∴OE＝OC＝2，
∴点E的坐标为（0，2）；
（2）证明：如图（2），作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，
∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，
∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，
∴DO平分∠ADC；
（3）解：画出图形，如图（3），
∵△BOC≌△AOE，
∴OE＝OC＝m，∠BCO＝∠AEO＝30°，
∵OB＝4，
∴BE＝m﹣4，
∴BD=12BE=m2−2，BG=12OB＝2，
∴BC＝n+2，
∵∠BCO＝30°，
∴OB=12BC，
∴4=12（n+4），
∴n＝6，
在△COG中，∠OCG＝30°，
∴OG=12OC=m2，
∴S△COD=12CD×OG=12(n+m2−2+2)×m2，
=12(6+m2)×m2
=18m2+32m．
故答案为：18m2+32m．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质、角平分线的判定定理是解题的关键
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