还剩24页未读，
继续阅读
2022-2023学年上学期重庆初中数学八年级期末典型试卷1
展开
这是一份2022-2023学年上学期重庆初中数学八年级期末典型试卷1，共27页。
2022-2023学年上学期重庆初中数学八年级期末典型试卷1
一．选择题（共12小题）
1．（2020秋•渝中区期末）三角形的三个外角的和是（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
2．（2020秋•渝中区期末）若（x﹣1）0＝1，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞1
3．（2021春•历下区期末）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2020秋•沙坪坝区期末）下列计算正确的是（ ）
A．2⋅3=6 B．2+3=5 C．4116=214 D．3−2=1
5．（2016•济南一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
6．（2020秋•梁平区期末）有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（ ）
A．0.25 B．0.30 C．0.15 D．0.20
7．（2020秋•綦江区期末）已知xm＝2，xn＝3，x2m+n＝（ ）
A．12 B．108 C．18 D．36
8．（2021•贵池区模拟）下列各选项中，因式分解正确的是（ ）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
9．（2019秋•巴南区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AC、BC上，∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，若DE垂直平分BC，则∠BDE＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．（2019秋•巴南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
11．（2020秋•渝中区期末）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程y+4ay−3+5a3−y=2的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．7
12．（2020秋•渝中区期末）现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）
A．李刚比王勇低(m−n)22mn元/升
B．王勇比李刚低2mn(m−n)2元/升
C．王勇比李刚低(m−n)22mn元/升
D．李刚与王勇的平均单价都是m+n2元/升
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•沙坪坝区期末）计算：（﹣2a3b）2＝ ．
14．（2020秋•沙坪坝区期末）为提高服务质量，学校食堂对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序：①绘制扇形统计图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．请按正确的调查统计顺序重新排序（只填番号）： ．
15．（2020秋•梁平区期末）一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为 ．
16．（2020秋•梁平区期末）如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是 ．
17．（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，
（1）左转了 次；
（2）一共走了 米．
18．（2020秋•綦江区期末）金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•巴南区期末）计算：
（1）（a﹣2b）2+2b（2a﹣b）
（2）(3a−1−a−1)÷(1−1a−1)．
20．（2019秋•巴南区期末）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD交于点O．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积．
21．（2020秋•渝中区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E．
求证：（1）△ADC≌△BEC；
（2）∠DAB＝∠EBA．
22．（2020秋•渝中区期末）尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，如图所示．
（1）求作这个等腰三角形；
（2）求作这个等腰三角形的一个底角的平分线．
要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．
23．（2020秋•沙坪坝区期末）对于一个各个数位上的数字均不为0且互不相同的三位自然数M，将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数abc=100a+10b+c（含原数）（a、b、c均为1至9之间的整数），当满足|2a+c﹣b|最大时，称此时的abc为自然数M的“希望数”，并规定：K（M）＝（a2﹣b2）（a2+c2）．例：M＝123，将各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数：123，213，321，132．因为|2×1+3﹣2|＝3，|2×2+3﹣1|＝6，|2×3+1﹣2|＝5，|2×1+2﹣3|＝1，6＞5＞3＞1，所以213是原三位数123的“希望数”，此时K（M）＝（22﹣12）（22+32）＝39．
（1）直接写出符合条件的最大的三位自然数M： ．并直接写出将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到的4个新三位数是： 、 、 、 ．
（2）求：K（168）．
24．（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
25．（2020秋•梁平区期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
26．（2020秋•梁平区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AB＝AD，点E为AC上的一点，△CDE为等边三角形，过点D作DF⊥CE于点F．
（1）若AB＝6，CD＝2，求AE的长；
（2）点G为AE上的一点，连接BG、BE，若BE＝BG，求证：AG＝EF+3DF．
2022-2023学年上学期重庆初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2020秋•渝中区期末）三角形的三个外角的和是（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】可以根据三角形外角的性质直接选择．
【解答】解：根据三角形外角的性质，可得三角形的三个外角的和是360°．
故选：D．
【点评】掌握三角形内角和180°之外，也要注意对外角和的应用．
2．（2020秋•渝中区期末）若（x﹣1）0＝1，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞1
【考点】零指数幂．
【专题】实数；数感．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）0＝1，
∴x的取值范围是：x≠1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握定义是解题关键．
3．（2021春•历下区期末）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
【解答】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键．
4．（2020秋•沙坪坝区期末）下列计算正确的是（ ）
A．2⋅3=6 B．2+3=5 C．4116=214 D．3−2=1
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的加减法对B、D进行判断．
【解答】解：A、原式=2×3=6，所以A选项正确；
B、3与2不能合并，所以B选项错误；
C、原式=6516=654，所以C选项错误；
D、3与2不能合并，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（2016•济南一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．
【解答】解：（1）在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；
（2）在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；
（3）在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；
（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，常用判定三角形全等方法有SSS，SAS，ASA，AAS，本题中对各选项进行验证是解题的关键．
6．（2020秋•梁平区期末）有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（ ）
A．0.25 B．0.30 C．0.15 D．0.20
【考点】频数与频率．
【专题】计算题．
【分析】有40个数据，第5组的频率为0.10；故可以求得第5组的频数，根据各组的频数的和是40，即可求得第6组的频数，利用频数除以频率即可求解．
【解答】解：∵第5组的频率为0.10，
∴第5组的频数为40×0.1＝4，
∴第6组的频数为40﹣（10+5+7+6+4）＝8，
故第6组的频率为840=0.2．
故选：D．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系频率=频数数据总和．
7．（2020秋•綦江区期末）已知xm＝2，xn＝3，x2m+n＝（ ）
A．12 B．108 C．18 D．36
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方以及积的乘方即可求出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴x2m+n＝x2m•xn＝（xm）2•xn＝4×3＝12
故选：A．
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用幂的乘方以及积的乘方，本题属于基础题型．
8．（2021•贵池区模拟）下列各选项中，因式分解正确的是（ ）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（m﹣2）2，符合题意；
D、原式＝﹣2y（y﹣3），不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2019秋•巴南区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AC、BC上，∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，若DE垂直平分BC，则∠BDE＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】设∠ABD＝2k，∠A＝6k，∠C＝5k，由DE垂直平分BC，得到∠DBC＝∠C＝5k，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，
∴设∠ABD＝2k，∠A＝6k，∠C＝5k，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝5k，
∴∠ABC＝7k，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴6k+7k+5k＝180°，
∴k＝10°，
∴∠DBE＝50°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（2019秋•巴南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和判定求出DE＝EC，根据角平分线的性质求出AD＝DE，根据勾股定理求出DC=2DE，根据△CDE的周长为6求出DE，再求出AC和AB，即可求出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴DE＝EC，
∵BD平分∠BAC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
设DE＝AD＝CE＝x，
由勾股定理得：DC=2x，
∵△CDE的周长为6，
∴DE+EC+DC＝6，
即x+x+2x＝6，
解得：x＝6﹣32，
即AB＝AC＝AD+DC＝6﹣32+（6﹣32）2=32，
∴△ABC的面积为12×AB×AC=12×32×32=9，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质和判定，能得出关于x的方程是解此题的关键．
11．（2020秋•渝中区期末）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程y+4ay−3+5a3−y=2的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．7
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．
【解答】解：∵一个三角形三边的长分别为5，7，a．
∴7﹣5＜a＜7+5．即：2＜a＜12．
∵y+4ay−3+5a3−y=2．
∴y＝6﹣a．
∵解是非负数．且y≠3．
∴6﹣a≥0，且6﹣a≠3．
∴a≤6且a≠3．
∴2＜a≤6且a≠3．
∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．
∴符合条件的所有整数a的和为：4+5+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．
12．（2020秋•渝中区期末）现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）
A．李刚比王勇低(m−n)22mn元/升
B．王勇比李刚低2mn(m−n)2元/升
C．王勇比李刚低(m−n)22mn元/升
D．李刚与王勇的平均单价都是m+n2元/升
【考点】列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【分析】先求解李刚两次加油每次加300元的平均单价为每升：2mnm+n元，再求解王勇每次加油30升的平均单价为每升：m+n2元，再利用作差法比较两个代数式的值，从而可得答案．
【解答】解：李刚两次加油每次加300元，则两次加油的平均单价为每升：
600300m+300n=2mnm+n（元），
王勇每次加油30升，则两次加油的平均单价为每升：
30m+30n60=m+n2（元），
∴m+n2−2mnm+n=(m+n)22(m+n)−4mn2(m+n)=(m−n)22(m+n)，
由题意得：m≠n，
∴(m−n)22(m+n)＞0，
∴m+n2＞2mnm+n，
故A 符合题意，B，C，D都不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，代数式的值的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•沙坪坝区期末）计算：（﹣2a3b）2＝ 4a6b2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣2a3b）2＝（﹣2）2•（a3）2•b2＝4a6b2，
故答案为：4a6b2．
【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
14．（2020秋•沙坪坝区期末）为提高服务质量，学校食堂对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序：①绘制扇形统计图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．请按正确的调查统计顺序重新排序（只填番号）： ②④①③ ．
【考点】调查收集数据的过程与方法；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据收据的收集、整理及扇形统计图的制作步骤求解可得．
【解答】解：正确的调查统计顺序为：②收集最受学生欢迎菜品的数据；④整理所收集的数据；①绘制扇形统计图；③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；
故答案为：②④①③．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
15．（2020秋•梁平区期末）一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为 4x﹣1 ．
【考点】列代数式；整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用长方形面积求法以及整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，
∴它的长为：（12x2﹣3x）÷3x＝4x﹣1．
故答案为：4x﹣1．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（2020秋•梁平区期末）如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是 5 ．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB＝CD，进而求出答案．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，DA＝10，CB＝2，
∴AB＝CD=AD−BC2=12−22=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB＝DC是解题关键．
17．（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，
（1）左转了 11 次；
（2）一共走了 120 米．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12﹣1＝11次才会回到原来的起点，即一共走了12×10＝120米．
故答案为11，120．
【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
18．（2020秋•綦江区期末）金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是 4125元 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】设无人机组有x人，则航海组有（2x﹣3）人，航空组有（21﹣3x）人，根据航空组的同学不少于5人但不超过9人，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出x的值，根据总价＝单价×数量结合购买这三种模型共需花费6939元，可分别求出当x＝4或x＝5时购买无人机模型的费用，利用数量＝总价÷单价可求出购买无人机模型的数量，结合该值为整数即可得出结论．
【解答】解：设无人机组有x人，则航海组有（2x﹣3）人，航空组有（21﹣3x）人，
依题意得：21−3x≥521−3x≤9，
解得：4≤x≤163，
又∵x为正整数，
∴x可以为4或5．
当x＝4时，2x﹣3＝5，买航海模型的费用为5×2×75＝750（元）；21﹣3x＝9，买航空模型的费用为9×3×98＝2646（元），
∴购买无人机模型的费用为6939﹣750﹣2646＝3543（元），
∴购买无人机模型的数量为3543÷165＝212655（个），
∵购买无人机模型的数量为整数，
∴x＝4不符合题意，舍去；
当x＝5时，2x﹣3＝7，买航海模型的费用为7×2×75＝1050（元）；21﹣3x＝6，买航空模型的费用为6×3×98＝1764（元），
∴购买无人机模型的费用为6939﹣1050﹣1764＝4125（元），
∴购买无人机模型的数量为4125÷165＝25（个），符合题意．
故答案为：4125元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•巴南区期末）计算：
（1）（a﹣2b）2+2b（2a﹣b）
（2）(3a−1−a−1)÷(1−1a−1)．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算．
【专题】整式；分式；运算能力．
【分析】（1）先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的减法，再把除法变成乘法，再算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2+4ab﹣2b2
＝a2+2b2；
（2）原式＝（3a−1−a+11）÷a−1−1a−1
=3−(a+1)(a−1)a−1÷a−2a−1
=−(a+2)(a−2)a−1•a−1a−2
＝﹣（a+2）
＝﹣a﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（2019秋•巴南区期末）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD交于点O．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABO≌△ADO，可得OB＝OD；
（2）由三角形面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
AB=ADAC=ACBC=CD
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC，
∵在△ABO和△ADO中，
AB=AD∠BAO=∠DAOAO=AO
∴△ABO≌△ADO（SAS）
∴OB＝OD；
（2）∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵BD＝6，
∴BO＝DO＝3，
∴△ABC的面积=12×AC×OB=12×8×3＝12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
21．（2020秋•渝中区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E．
求证：（1）△ADC≌△BEC；
（2）∠DAB＝∠EBA．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，由等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA，即可得结论．
【解答】证明：（1）在△ADC和△BEC中，
∠C=∠C∠ADC=∠BEC=90°AC=BC，
∴△ADC≌△BEC（AAS）；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠DAB＝∠EBA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
22．（2020秋•渝中区期末）尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，如图所示．
（1）求作这个等腰三角形；
（2）求作这个等腰三角形的一个底角的平分线．
要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目条件画出图形即可．
（2）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）如图，射线BE即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2020秋•沙坪坝区期末）对于一个各个数位上的数字均不为0且互不相同的三位自然数M，将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数abc=100a+10b+c（含原数）（a、b、c均为1至9之间的整数），当满足|2a+c﹣b|最大时，称此时的abc为自然数M的“希望数”，并规定：K（M）＝（a2﹣b2）（a2+c2）．例：M＝123，将各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数：123，213，321，132．因为|2×1+3﹣2|＝3，|2×2+3﹣1|＝6，|2×3+1﹣2|＝5，|2×1+2﹣3|＝1，6＞5＞3＞1，所以213是原三位数123的“希望数”，此时K（M）＝（22﹣12）（22+32）＝39．
（1）直接写出符合条件的最大的三位自然数M： 987 ．并直接写出将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到的4个新三位数是： 987 、 897 、 789 、 978 ．
（2）求：K（168）．
【考点】因式分解的应用；数的十进制．
【专题】数字问题；应用意识．
【分析】（1）最大的三位自然数M是987，根据“将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数”填空．
（2）根据题意写出符合条件的4个数：168，618，861，186；然后由“希望数”的概念和K（M）＝（a2﹣b2）（a2+c2）解答．
【解答】解：（1）符合条件的最大的三位自然数M：987．将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到的4个新三位数是：987，897，789，978．
故答案是：987； 987，897，789，978．
（2）将自然数168各数位上的数字两两交换后得到的4个数分别是：168，618，861，186．
∵|2×1+8﹣6|＝4，|2×6+8﹣1|＝19，|2×8+1﹣6|＝11，|2×1+6﹣8|＝0，且19＞11＞4＞0，
∴168的“希望数”是618．
∴K（168）＝（62﹣12）（62+82）＝3500．
【点评】本题考查了数的十进制和因式分解的应用，主要是考查对数字拆分组合的能力，这类题目多需要根据题设进行讨论求解．
24．（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：不正确；
理由：如答图，延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（2020秋•梁平区期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；
（2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4+3﹣4
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2
＝（x2﹣2xy+y2）﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
【点评】本题考查了分解因式，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
26．（2020秋•梁平区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AB＝AD，点E为AC上的一点，△CDE为等边三角形，过点D作DF⊥CE于点F．
（1）若AB＝6，CD＝2，求AE的长；
（2）点G为AE上的一点，连接BG、BE，若BE＝BG，求证：AG＝EF+3DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝EF＝1，∠EDF＝30°，由勾股定理可求AF的长，即可求解；
（2）在AG上截取GN＝EC，连接BN，由“SAS”可证△BGN≌△BEC，可得BC＝BN，∠C＝∠BNG＝60°，由“AAS”可证△ABN≌△DAE，可得AN＝DE，由等边三角形的性质可得EF=12EC，DF=3EF=32EC，即可求解．
【解答】解：（1）∵△CDE为等边三角形，DF⊥CE，
∴CF＝EF＝1，∠EDF＝30°，
∴DF=3EF=3，
∴AF=AD2−DF2=36−3=33，
∴AE=33−1；
（2）如图，在AG上截取GN＝EC，连接BN，
∵BE＝BG，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴∠BGN＝∠BEC，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝DC，∠C＝∠DEC＝∠EDC＝60°，
在△BGN和△BEC中，
BG=BE∠BGN=∠BECGN=EC，
∴△BGN≌△BEC（SAS），
∴BC＝BN，∠C＝∠BNG＝60°，
∴∠NBC＝∠C＝60°，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABN+∠NBC＝∠C+∠DAC，
∴∠ABN＝∠DAC，
∵∠BNC＝∠DEC＝60°，
∴∠ANB＝∠AED＝120°，
在△ABN和△DAE中，
∠ANB=∠BED∠ABN=∠DAEAB=AD，
∴△ABN≌△DAE（AAS），
∴AN＝DE，
∴AG＝AN+NG＝DE+EC＝2EC，
∵△DEC是等边三角形，DF⊥CE，
∴EF=12EC，DF=3EF=32EC，
∴EF+3DF=12EC+32EC＝2EC，
∴AG＝EF+3DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键
2022-2023学年上学期重庆初中数学八年级期末典型试卷1
一．选择题（共12小题）
1．（2020秋•渝中区期末）三角形的三个外角的和是（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
2．（2020秋•渝中区期末）若（x﹣1）0＝1，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞1
3．（2021春•历下区期末）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2020秋•沙坪坝区期末）下列计算正确的是（ ）
A．2⋅3=6 B．2+3=5 C．4116=214 D．3−2=1
5．（2016•济南一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
6．（2020秋•梁平区期末）有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（ ）
A．0.25 B．0.30 C．0.15 D．0.20
7．（2020秋•綦江区期末）已知xm＝2，xn＝3，x2m+n＝（ ）
A．12 B．108 C．18 D．36
8．（2021•贵池区模拟）下列各选项中，因式分解正确的是（ ）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
9．（2019秋•巴南区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AC、BC上，∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，若DE垂直平分BC，则∠BDE＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．（2019秋•巴南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
11．（2020秋•渝中区期末）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程y+4ay−3+5a3−y=2的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．7
12．（2020秋•渝中区期末）现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）
A．李刚比王勇低(m−n)22mn元/升
B．王勇比李刚低2mn(m−n)2元/升
C．王勇比李刚低(m−n)22mn元/升
D．李刚与王勇的平均单价都是m+n2元/升
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•沙坪坝区期末）计算：（﹣2a3b）2＝ ．
14．（2020秋•沙坪坝区期末）为提高服务质量，学校食堂对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序：①绘制扇形统计图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．请按正确的调查统计顺序重新排序（只填番号）： ．
15．（2020秋•梁平区期末）一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为 ．
16．（2020秋•梁平区期末）如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是 ．
17．（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，
（1）左转了 次；
（2）一共走了 米．
18．（2020秋•綦江区期末）金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•巴南区期末）计算：
（1）（a﹣2b）2+2b（2a﹣b）
（2）(3a−1−a−1)÷(1−1a−1)．
20．（2019秋•巴南区期末）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD交于点O．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积．
21．（2020秋•渝中区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E．
求证：（1）△ADC≌△BEC；
（2）∠DAB＝∠EBA．
22．（2020秋•渝中区期末）尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，如图所示．
（1）求作这个等腰三角形；
（2）求作这个等腰三角形的一个底角的平分线．
要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．
23．（2020秋•沙坪坝区期末）对于一个各个数位上的数字均不为0且互不相同的三位自然数M，将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数abc=100a+10b+c（含原数）（a、b、c均为1至9之间的整数），当满足|2a+c﹣b|最大时，称此时的abc为自然数M的“希望数”，并规定：K（M）＝（a2﹣b2）（a2+c2）．例：M＝123，将各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数：123，213，321，132．因为|2×1+3﹣2|＝3，|2×2+3﹣1|＝6，|2×3+1﹣2|＝5，|2×1+2﹣3|＝1，6＞5＞3＞1，所以213是原三位数123的“希望数”，此时K（M）＝（22﹣12）（22+32）＝39．
（1）直接写出符合条件的最大的三位自然数M： ．并直接写出将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到的4个新三位数是： 、 、 、 ．
（2）求：K（168）．
24．（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
25．（2020秋•梁平区期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
26．（2020秋•梁平区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AB＝AD，点E为AC上的一点，△CDE为等边三角形，过点D作DF⊥CE于点F．
（1）若AB＝6，CD＝2，求AE的长；
（2）点G为AE上的一点，连接BG、BE，若BE＝BG，求证：AG＝EF+3DF．
2022-2023学年上学期重庆初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2020秋•渝中区期末）三角形的三个外角的和是（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】可以根据三角形外角的性质直接选择．
【解答】解：根据三角形外角的性质，可得三角形的三个外角的和是360°．
故选：D．
【点评】掌握三角形内角和180°之外，也要注意对外角和的应用．
2．（2020秋•渝中区期末）若（x﹣1）0＝1，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞1
【考点】零指数幂．
【专题】实数；数感．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）0＝1，
∴x的取值范围是：x≠1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握定义是解题关键．
3．（2021春•历下区期末）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
【解答】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键．
4．（2020秋•沙坪坝区期末）下列计算正确的是（ ）
A．2⋅3=6 B．2+3=5 C．4116=214 D．3−2=1
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的加减法对B、D进行判断．
【解答】解：A、原式=2×3=6，所以A选项正确；
B、3与2不能合并，所以B选项错误；
C、原式=6516=654，所以C选项错误；
D、3与2不能合并，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（2016•济南一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．
【解答】解：（1）在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；
（2）在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；
（3）在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；
（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，常用判定三角形全等方法有SSS，SAS，ASA，AAS，本题中对各选项进行验证是解题的关键．
6．（2020秋•梁平区期末）有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（ ）
A．0.25 B．0.30 C．0.15 D．0.20
【考点】频数与频率．
【专题】计算题．
【分析】有40个数据，第5组的频率为0.10；故可以求得第5组的频数，根据各组的频数的和是40，即可求得第6组的频数，利用频数除以频率即可求解．
【解答】解：∵第5组的频率为0.10，
∴第5组的频数为40×0.1＝4，
∴第6组的频数为40﹣（10+5+7+6+4）＝8，
故第6组的频率为840=0.2．
故选：D．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系频率=频数数据总和．
7．（2020秋•綦江区期末）已知xm＝2，xn＝3，x2m+n＝（ ）
A．12 B．108 C．18 D．36
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方以及积的乘方即可求出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴x2m+n＝x2m•xn＝（xm）2•xn＝4×3＝12
故选：A．
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用幂的乘方以及积的乘方，本题属于基础题型．
8．（2021•贵池区模拟）下列各选项中，因式分解正确的是（ ）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（m﹣2）2，符合题意；
D、原式＝﹣2y（y﹣3），不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2019秋•巴南区期末）如图，点D，E分别在△ABC的边AC、BC上，∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，若DE垂直平分BC，则∠BDE＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】设∠ABD＝2k，∠A＝6k，∠C＝5k，由DE垂直平分BC，得到∠DBC＝∠C＝5k，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，
∴设∠ABD＝2k，∠A＝6k，∠C＝5k，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝5k，
∴∠ABC＝7k，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴6k+7k+5k＝180°，
∴k＝10°，
∴∠DBE＝50°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（2019秋•巴南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和判定求出DE＝EC，根据角平分线的性质求出AD＝DE，根据勾股定理求出DC=2DE，根据△CDE的周长为6求出DE，再求出AC和AB，即可求出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴DE＝EC，
∵BD平分∠BAC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
设DE＝AD＝CE＝x，
由勾股定理得：DC=2x，
∵△CDE的周长为6，
∴DE+EC+DC＝6，
即x+x+2x＝6，
解得：x＝6﹣32，
即AB＝AC＝AD+DC＝6﹣32+（6﹣32）2=32，
∴△ABC的面积为12×AB×AC=12×32×32=9，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质和判定，能得出关于x的方程是解此题的关键．
11．（2020秋•渝中区期末）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程y+4ay−3+5a3−y=2的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．15 C．12 D．7
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．
【解答】解：∵一个三角形三边的长分别为5，7，a．
∴7﹣5＜a＜7+5．即：2＜a＜12．
∵y+4ay−3+5a3−y=2．
∴y＝6﹣a．
∵解是非负数．且y≠3．
∴6﹣a≥0，且6﹣a≠3．
∴a≤6且a≠3．
∴2＜a≤6且a≠3．
∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．
∴符合条件的所有整数a的和为：4+5+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．
12．（2020秋•渝中区期末）现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）
A．李刚比王勇低(m−n)22mn元/升
B．王勇比李刚低2mn(m−n)2元/升
C．王勇比李刚低(m−n)22mn元/升
D．李刚与王勇的平均单价都是m+n2元/升
【考点】列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【分析】先求解李刚两次加油每次加300元的平均单价为每升：2mnm+n元，再求解王勇每次加油30升的平均单价为每升：m+n2元，再利用作差法比较两个代数式的值，从而可得答案．
【解答】解：李刚两次加油每次加300元，则两次加油的平均单价为每升：
600300m+300n=2mnm+n（元），
王勇每次加油30升，则两次加油的平均单价为每升：
30m+30n60=m+n2（元），
∴m+n2−2mnm+n=(m+n)22(m+n)−4mn2(m+n)=(m−n)22(m+n)，
由题意得：m≠n，
∴(m−n)22(m+n)＞0，
∴m+n2＞2mnm+n，
故A 符合题意，B，C，D都不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，代数式的值的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•沙坪坝区期末）计算：（﹣2a3b）2＝ 4a6b2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣2a3b）2＝（﹣2）2•（a3）2•b2＝4a6b2，
故答案为：4a6b2．
【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
14．（2020秋•沙坪坝区期末）为提高服务质量，学校食堂对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序：①绘制扇形统计图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．请按正确的调查统计顺序重新排序（只填番号）： ②④①③ ．
【考点】调查收集数据的过程与方法；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据收据的收集、整理及扇形统计图的制作步骤求解可得．
【解答】解：正确的调查统计顺序为：②收集最受学生欢迎菜品的数据；④整理所收集的数据；①绘制扇形统计图；③利用扇形统计图分析出最受学生欢迎的菜品；
故答案为：②④①③．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
15．（2020秋•梁平区期末）一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为 4x﹣1 ．
【考点】列代数式；整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用长方形面积求法以及整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，
∴它的长为：（12x2﹣3x）÷3x＝4x﹣1．
故答案为：4x﹣1．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（2020秋•梁平区期末）如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是 5 ．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB＝CD，进而求出答案．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，DA＝10，CB＝2，
∴AB＝CD=AD−BC2=12−22=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AB＝DC是解题关键．
17．（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，
（1）左转了 11 次；
（2）一共走了 120 米．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12﹣1＝11次才会回到原来的起点，即一共走了12×10＝120米．
故答案为11，120．
【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
18．（2020秋•綦江区期末）金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是 4125元 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】设无人机组有x人，则航海组有（2x﹣3）人，航空组有（21﹣3x）人，根据航空组的同学不少于5人但不超过9人，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出x的值，根据总价＝单价×数量结合购买这三种模型共需花费6939元，可分别求出当x＝4或x＝5时购买无人机模型的费用，利用数量＝总价÷单价可求出购买无人机模型的数量，结合该值为整数即可得出结论．
【解答】解：设无人机组有x人，则航海组有（2x﹣3）人，航空组有（21﹣3x）人，
依题意得：21−3x≥521−3x≤9，
解得：4≤x≤163，
又∵x为正整数，
∴x可以为4或5．
当x＝4时，2x﹣3＝5，买航海模型的费用为5×2×75＝750（元）；21﹣3x＝9，买航空模型的费用为9×3×98＝2646（元），
∴购买无人机模型的费用为6939﹣750﹣2646＝3543（元），
∴购买无人机模型的数量为3543÷165＝212655（个），
∵购买无人机模型的数量为整数，
∴x＝4不符合题意，舍去；
当x＝5时，2x﹣3＝7，买航海模型的费用为7×2×75＝1050（元）；21﹣3x＝6，买航空模型的费用为6×3×98＝1764（元），
∴购买无人机模型的费用为6939﹣1050﹣1764＝4125（元），
∴购买无人机模型的数量为4125÷165＝25（个），符合题意．
故答案为：4125元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•巴南区期末）计算：
（1）（a﹣2b）2+2b（2a﹣b）
（2）(3a−1−a−1)÷(1−1a−1)．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算．
【专题】整式；分式；运算能力．
【分析】（1）先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项即可；
（2）先算括号内的减法，再把除法变成乘法，再算乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2+4ab﹣2b2
＝a2+2b2；
（2）原式＝（3a−1−a+11）÷a−1−1a−1
=3−(a+1)(a−1)a−1÷a−2a−1
=−(a+2)(a−2)a−1•a−1a−2
＝﹣（a+2）
＝﹣a﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（2019秋•巴南区期末）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD交于点O．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABO≌△ADO，可得OB＝OD；
（2）由三角形面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
AB=ADAC=ACBC=CD
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC，
∵在△ABO和△ADO中，
AB=AD∠BAO=∠DAOAO=AO
∴△ABO≌△ADO（SAS）
∴OB＝OD；
（2）∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵BD＝6，
∴BO＝DO＝3，
∴△ABC的面积=12×AC×OB=12×8×3＝12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
21．（2020秋•渝中区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E．
求证：（1）△ADC≌△BEC；
（2）∠DAB＝∠EBA．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，由等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA，即可得结论．
【解答】证明：（1）在△ADC和△BEC中，
∠C=∠C∠ADC=∠BEC=90°AC=BC，
∴△ADC≌△BEC（AAS）；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠DAB＝∠EBA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
22．（2020秋•渝中区期末）尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，如图所示．
（1）求作这个等腰三角形；
（2）求作这个等腰三角形的一个底角的平分线．
要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目条件画出图形即可．
（2）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）如图，射线BE即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2020秋•沙坪坝区期末）对于一个各个数位上的数字均不为0且互不相同的三位自然数M，将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数abc=100a+10b+c（含原数）（a、b、c均为1至9之间的整数），当满足|2a+c﹣b|最大时，称此时的abc为自然数M的“希望数”，并规定：K（M）＝（a2﹣b2）（a2+c2）．例：M＝123，将各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数：123，213，321，132．因为|2×1+3﹣2|＝3，|2×2+3﹣1|＝6，|2×3+1﹣2|＝5，|2×1+2﹣3|＝1，6＞5＞3＞1，所以213是原三位数123的“希望数”，此时K（M）＝（22﹣12）（22+32）＝39．
（1）直接写出符合条件的最大的三位自然数M： 987 ．并直接写出将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到的4个新三位数是： 987 、 897 、 789 、 978 ．
（2）求：K（168）．
【考点】因式分解的应用；数的十进制．
【专题】数字问题；应用意识．
【分析】（1）最大的三位自然数M是987，根据“将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到4个新的三位数”填空．
（2）根据题意写出符合条件的4个数：168，618，861，186；然后由“希望数”的概念和K（M）＝（a2﹣b2）（a2+c2）解答．
【解答】解：（1）符合条件的最大的三位自然数M：987．将该自然数各个数位上的数字两两交换后，得到的4个新三位数是：987，897，789，978．
故答案是：987； 987，897，789，978．
（2）将自然数168各数位上的数字两两交换后得到的4个数分别是：168，618，861，186．
∵|2×1+8﹣6|＝4，|2×6+8﹣1|＝19，|2×8+1﹣6|＝11，|2×1+6﹣8|＝0，且19＞11＞4＞0，
∴168的“希望数”是618．
∴K（168）＝（62﹣12）（62+82）＝3500．
【点评】本题考查了数的十进制和因式分解的应用，主要是考查对数字拆分组合的能力，这类题目多需要根据题设进行讨论求解．
24．（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：不正确；
理由：如答图，延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（2020秋•梁平区期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；
（2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4+3﹣4
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2
＝（x2﹣2xy+y2）﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
【点评】本题考查了分解因式，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
26．（2020秋•梁平区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AB＝AD，点E为AC上的一点，△CDE为等边三角形，过点D作DF⊥CE于点F．
（1）若AB＝6，CD＝2，求AE的长；
（2）点G为AE上的一点，连接BG、BE，若BE＝BG，求证：AG＝EF+3DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝EF＝1，∠EDF＝30°，由勾股定理可求AF的长，即可求解；
（2）在AG上截取GN＝EC，连接BN，由“SAS”可证△BGN≌△BEC，可得BC＝BN，∠C＝∠BNG＝60°，由“AAS”可证△ABN≌△DAE，可得AN＝DE，由等边三角形的性质可得EF=12EC，DF=3EF=32EC，即可求解．
【解答】解：（1）∵△CDE为等边三角形，DF⊥CE，
∴CF＝EF＝1，∠EDF＝30°，
∴DF=3EF=3，
∴AF=AD2−DF2=36−3=33，
∴AE=33−1；
（2）如图，在AG上截取GN＝EC，连接BN，
∵BE＝BG，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴∠BGN＝∠BEC，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝DC，∠C＝∠DEC＝∠EDC＝60°，
在△BGN和△BEC中，
BG=BE∠BGN=∠BECGN=EC，
∴△BGN≌△BEC（SAS），
∴BC＝BN，∠C＝∠BNG＝60°，
∴∠NBC＝∠C＝60°，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABN+∠NBC＝∠C+∠DAC，
∴∠ABN＝∠DAC，
∵∠BNC＝∠DEC＝60°，
∴∠ANB＝∠AED＝120°，
在△ABN和△DAE中，
∠ANB=∠BED∠ABN=∠DAEAB=AD，
∴△ABN≌△DAE（AAS），
∴AN＝DE，
∴AG＝AN+NG＝DE+EC＝2EC，
∵△DEC是等边三角形，DF⊥CE，
∴EF=12EC，DF=3EF=32EC，
∴EF+3DF=12EC+32EC＝2EC，
∴AG＝EF+3DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键
相关试卷
2022-2023学年上学期深圳市初中数学八年级期末典型试卷1： 这是一份2022-2023学年上学期深圳市初中数学八年级期末典型试卷1，共25页。
2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1： 这是一份2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期武汉初中数学八年级期末典型试卷1： 这是一份2022-2023学年上学期武汉初中数学八年级期末典型试卷1，共25页。
