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人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定评课课件ppt
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这是一份人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定评课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了素养目标，巩固练习，三角形的中位线，DE是△ABC的，中位线，61°等内容，欢迎下载使用。
利用平行四边形的定义、边、角、对角线判定平行四边形
昨天初一的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想明天星期六回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)
1. 经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，逐步掌握说理的基本方法.
2. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
3. 在探索过程中发展我们的合理推理意识、主动探究的习惯.
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理1
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证： 四边形ABCD是平行四边形.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四边形PONM是平行四边形．
利用两组对边分别相等识别平行四边形
1.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形．
一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
平行四边形的判定定理2
观看上面的图形，李明想使∠B=∠D，∠A=∠C即可，你觉得可以吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2:
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，又∵∠D＝∠B＝55°，
利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
∴四边形ABCD是平行四边形．
2.判断下列四边形是否为平行四边形：
3.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
如图，将两根木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
∴△ADO ≌△CBO
求证：四边形ABCD是平行四边形.
在△ADO 和△CBO中，
∵OA=OC OB=OD
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3:
例3 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
利用平行四边形的判定定理3判断平行四边形
4.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是( )A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
1.（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）A．BE=DF B．AE=CFC．AF∥CED．∠BAE=∠DCF
2.（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC，如图所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A. AB∥CD，AD∥BC B. OA＝OC，OB＝ODC. AD＝BC，AB∥CD D. AB＝CD，AD＝BC
2.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm， CD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AO=10cm，BO=18cm，那么当AC=___ cm， BD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形．
3.如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
∵AC∥DE，AC＝DE，∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB.∴△ABC≌△DBE.∴AB＝DB，CB＝EB.∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，∴BG＝BF.∴四边形AGDF是平行四边形.
4.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），∴GH=EF，∴四边形EFGH是平行四边形．
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形的每个内角的度数是 AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形．
如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△DBF≌△ABC(SAS)，∴AC＝DF.又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形．
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
利用一组对边判定平行四边形
取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
2. 会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.
1. 掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法 .
以小组讨论的形式探讨这一问题.
我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？
平行四边形的判定定理4
问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是请给出证明，如果不是请举出反例说明. xk
小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形.
问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.
问题3：如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形.
请你猜想，这个命题成立吗？
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.
已知：如图 ，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：方法1：如图， 连接 AC.
∵AB //CD ，∴∠1=∠2．又 ∵AB =CD ， AC =CA ，∴△ABC≌△CDA．∴BC =DA ．∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB //CD ，∴∠1=∠2 ．又 ∵AB =CD ， AC =CA ，∴△ABC≌△CDA ．∴∠BCA=∠DAC ．∴AD //BC ．∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定定理4：
在四边形ABCD中，∵AB//CD，AB =CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
提示：同一组对边平行且相等.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB =CD，EB //FD．又 ∵EB = AB ，FD = CD，∴EB =FD ．∴四边形EBFD是平行四边形．
例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC.∴AD∥ BC，AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
1.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,∴△ACE≌△DBF(SAS)，∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．
平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形
2. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.在△ADC与△CEB中， AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．
例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
平行四边形的性质和判定的综合题目
解：BF＝CE．理由如下：∵DF∥BC，EF∥AC，∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE，∴FD=CE.∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD，∴∠FBD=∠FDB.∴BF=FD.∴BF＝CE.
3.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴AE=BF=DE=FC， ∴四边形ADFE是平行四边形， 四边形EFCB是平行四边形， 四边形BEDF是平行四边形.
（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中， ∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∠AFD= ∠EFC ，
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选项是（ ）A．AB∥CD，AB=CDB．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC=AD D．AB=CD，BC=AD
2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （ ）A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE.∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE．∴四边形ABED是平行四边形．
如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴CE∥D′B，CE=D′B，∴四边形BCED′是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示： AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________；
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t=15-2t，解得t=5s．∴t=5s时四边形APQB是平行四边形；
解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，∵AD∥BC，∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即12-t=2t，解得t=4s，∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
平行四边形的性质与判定的综合运用
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！
【想一想】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.
2. 掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.
3. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
1.什么叫三角形的中线？有几条？
2.三角形的中线有哪些性质？
连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.
①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.②三角形的中线相交于同一点.……
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2：三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
一条线段是另一条线段的一半
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
问题4：如何证明你的猜想？
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴ DE∥BC， ．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
如图，D、E、F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE、DF、EF都是△ABC的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
∵DE是△ABC的中位线，
（ ∵AD=BD, AE=CE )
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1. 三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和12cm ，连接各边中点所成三角形的周长是________.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离.
分别找出AC和BC的中点M、N.
若MN=36 m，则AB=
2. 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
例2 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E.求证：四边形DGFE是平行四边形.
∴四边形DGFE是平行四边形
利用三角形的中位线判断平行四边形
在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE
在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF
3.已知: 如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：连接AC.∵ E、F是AB、BC边中点∴EF∥AC且EF＝ AC同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC∴EF ∥ HG且EF ＝ HG∴四边形EFGH为平行四边形.
例3 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
利用三角形的中位线求角度
∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°．
5.如图， △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED= .
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°则∠AMN = .
1.（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（ ）A．50° B．40° C．30° D．20°
2.（2019•铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）A．12 B．14 C．24 D．21
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （ ）A.8 B.10 C.12 D.16
2.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B= ；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8， 则△ DEF的周长为 .
3.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD， ∴OE= BC， ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15.
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.
如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，∴
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理的应用
利用平行四边形的定义、边、角、对角线判定平行四边形
昨天初一的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想明天星期六回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)
1. 经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，逐步掌握说理的基本方法.
2. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
3. 在探索过程中发展我们的合理推理意识、主动探究的习惯.
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理1
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证： 四边形ABCD是平行四边形.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四边形PONM是平行四边形．
利用两组对边分别相等识别平行四边形
1.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形．
一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
平行四边形的判定定理2
观看上面的图形，李明想使∠B=∠D，∠A=∠C即可，你觉得可以吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2:
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，又∵∠D＝∠B＝55°，
利用平行四边形的判定定理2判定平行四边形
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
∴四边形ABCD是平行四边形．
2.判断下列四边形是否为平行四边形：
3.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
如图，将两根木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
∴△ADO ≌△CBO
求证：四边形ABCD是平行四边形.
在△ADO 和△CBO中，
∵OA=OC OB=OD
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3:
例3 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
利用平行四边形的判定定理3判断平行四边形
4.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是( )A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
1.（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）A．BE=DF B．AE=CFC．AF∥CED．∠BAE=∠DCF
2.（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC，如图所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A. AB∥CD，AD∥BC B. OA＝OC，OB＝ODC. AD＝BC，AB∥CD D. AB＝CD，AD＝BC
2.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm， CD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AO=10cm，BO=18cm，那么当AC=___ cm， BD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形．
3.如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
∵AC∥DE，AC＝DE，∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB.∴△ABC≌△DBE.∴AB＝DB，CB＝EB.∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，∴BG＝BF.∴四边形AGDF是平行四边形.
4.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），∴GH=EF，∴四边形EFGH是平行四边形．
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形的每个内角的度数是 AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形．
如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△DBF≌△ABC(SAS)，∴AC＝DF.又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形．
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
利用一组对边判定平行四边形
取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
2. 会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.
1. 掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法 .
以小组讨论的形式探讨这一问题.
我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？
平行四边形的判定定理4
问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是请给出证明，如果不是请举出反例说明. xk
小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形.
问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.
问题3：如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如图2，等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形.
请你猜想，这个命题成立吗？
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.
已知：如图 ，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：方法1：如图， 连接 AC.
∵AB //CD ，∴∠1=∠2．又 ∵AB =CD ， AC =CA ，∴△ABC≌△CDA．∴BC =DA ．∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB //CD ，∴∠1=∠2 ．又 ∵AB =CD ， AC =CA ，∴△ABC≌△CDA ．∴∠BCA=∠DAC ．∴AD //BC ．∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定定理4：
在四边形ABCD中，∵AB//CD，AB =CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
提示：同一组对边平行且相等.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB =CD，EB //FD．又 ∵EB = AB ，FD = CD，∴EB =FD ．∴四边形EBFD是平行四边形．
例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
直接利用平行四边形的判定定理4判定平行四边形
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC.∴AD∥ BC，AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
1.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,∴△ACE≌△DBF(SAS)，∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．
平行四边形的判定定理4和全等三角形判定平行四边形
2. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.在△ADC与△CEB中， AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．
例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
平行四边形的性质和判定的综合题目
解：BF＝CE．理由如下：∵DF∥BC，EF∥AC，∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE，∴FD=CE.∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD，∴∠FBD=∠FDB.∴BF=FD.∴BF＝CE.
3.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴AE=BF=DE=FC， ∴四边形ADFE是平行四边形， 四边形EFCB是平行四边形， 四边形BEDF是平行四边形.
（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中， ∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∠AFD= ∠EFC ，
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选项是（ ）A．AB∥CD，AB=CDB．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC=AD D．AB=CD，BC=AD
2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （ ）A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE.∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE．∴四边形ABED是平行四边形．
如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴CE∥D′B，CE=D′B，∴四边形BCED′是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示： AP=_____； DP=________； BQ=________；CQ=________；
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t=15-2t，解得t=5s．∴t=5s时四边形APQB是平行四边形；
解：由PD=(12-t)cm，CQ=2tcm，∵AD∥BC，∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即12-t=2t，解得t=4s，∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
平行四边形的性质与判定的综合运用
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！
【想一想】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.
2. 掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.
3. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
1.什么叫三角形的中线？有几条？
2.三角形的中线有哪些性质？
连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.
①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.②三角形的中线相交于同一点.……
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2：三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
一条线段是另一条线段的一半
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
问题4：如何证明你的猜想？
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴ DE∥BC， ．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
如图，D、E、F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE、DF、EF都是△ABC的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
∵DE是△ABC的中位线，
（ ∵AD=BD, AE=CE )
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1. 三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和12cm ，连接各边中点所成三角形的周长是________.
测出MN的长，就可知A、B两点的距离.
分别找出AC和BC的中点M、N.
若MN=36 m，则AB=
2. 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
例2 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E.求证：四边形DGFE是平行四边形.
∴四边形DGFE是平行四边形
利用三角形的中位线判断平行四边形
在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE
在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF
3.已知: 如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：连接AC.∵ E、F是AB、BC边中点∴EF∥AC且EF＝ AC同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC∴EF ∥ HG且EF ＝ HG∴四边形EFGH为平行四边形.
例3 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
利用三角形的中位线求角度
∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°．
5.如图， △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED= .
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°则∠AMN = .
1.（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（ ）A．50° B．40° C．30° D．20°
2.（2019•铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）A．12 B．14 C．24 D．21
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （ ）A.8 B.10 C.12 D.16
2.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B= ；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8， 则△ DEF的周长为 .
3.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD， ∴OE= BC， ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15.
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.
如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，∴
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理的应用
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