初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形示范课ppt课件

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形示范课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了正方形的性质，素养目标，情境一观察体会，正方形，思考1，巩固练习，正方形的判定，平行四边形等内容，欢迎下载使用。
　除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？　　　
　怎样研究这类图形？　想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.
1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的联系和区别.
2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算.
你能给正方形下一个定义吗？
问题1：图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
问题2：当CD移动到CD位置，此时AD ＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
正方形是特殊的矩形
情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?
【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?
发现： 一组邻边相等的矩形叫正方形.
发现： 一个角为直角的菱形叫正方形.
如何来给正方形下定义？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .对称轴：.
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
中心对称图形（对角线的交点）
即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）
有一组邻边相等且有一个角是直角
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
利用正方形的性质求线段相等
1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC. EA = EC吗？说说你的理由.
解： EA = EC .理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠1=∠2=45°，又∵BE=BE∴△ABE≌△CBE∴AE=CE.
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
利用正方形的性质求角度
2.已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：∵CE⊥AF， ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME， ∴∠1＝∠2　 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC　 ∴Rt△CDM≌Rt△ADF　(ASA) ∴DM=DF. ∴∠DMF=∠DFM ∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.
例3 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.
∵四边形ABCD是正方形
又∵四边形DEFG也是正方形
又∵正方形的每个内角为90°
∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，
∴△AED≌△CGD.
3.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
证明：（1）∵ ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF与△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF∴ △ABF≌△ADE（SAS）∴ AE=AF ,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90 °∴∠1+∠2=90 °，∴ EA⊥FA
（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF．
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8.
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
同理可得∠DEC＝15°.
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？
2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
1. 理解并掌握正方形的判定方法 .
做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.
求证：对角线相等的菱形是正方形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
例1 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，∴四边形CFDE有三个直角， 它是矩形又∵CD平分∠ACB∴ DE=DF∴四边形CFDE是正方形
∵ DE⊥AC，DF⊥BC ，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，同理得DG=DF，∴四边形EDFC是正方形.
1.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠COH=∠BOE,∴OE=OH.
例2 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
∴OE=OF=OG=OH.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴△CHO ≌△BEO,
同理可证：OE=OF=OG,
又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.
∴四边形EFGH为正方形.
2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
四边形EFMN是正方形.
AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是_______．
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.下列判断中正确的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N.(1) 求证：ADB=CDB;(2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵∠ADC=90°, 又∵PM⊥AD,PN⊥CD, ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB, ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形.
如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形.（2）∵四边形ADEF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，在△ABF 和△ADE中，AB＝AD ，∠BAF＝∠EAD ，AF＝AE ,∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴∠BAF=∠EAD，
（2）解：当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC，∵AF=AE，又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∴四边形AFBE是平行四边形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．