初中28.1 锐角三角函数图片课件ppt

这是一份初中28.1 锐角三角函数图片课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了素养目标，巩固练习，余弦和正切等内容，欢迎下载使用。
美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？
1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.
2. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法.
3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长.
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:

【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：（1）在Rt△ABC中，
（2）在Rt△ABC中，
利用正弦的定义求有关角的正弦值
(1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ）
sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图②， （ ）
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
在Rt△APO中，由勾股定理得
在平面直角坐标系内求锐角的正弦值
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
利用正弦求直角三角形的边长
∴ AB = 3BC =3×3=9.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，AB = c，则
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC=a，则
4.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， ， BC的长是 ．
例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm， ，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
利用方程和正弦求直角三角形中线段
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12.求sinB的值.
解:在Rt △ABC中,设AB=13x，BC=5x,由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2
解得x=1.所以AB=13，BC=5
1.（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=（　　）A． B． C． D．
2.（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是_______．
1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( )
2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ ） A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
∴ AB 2 ＝ BC 2＋AC 2，
∴ ∠ACB＝90°，
如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， ，求 △ABC 的面积.
解：作BD⊥AC于点D，
又∵ △ABC 为等腰三角形，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
　　如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比得到?
若AC=5,CD=3,求sinB的值.
解: ∵∠B =∠ACD
∴sinB = sin∠ACD
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
1. 通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念 .
3. 通过锐角三角函数的学习，培养学生类比学习的能力.
我们来试着证明前面的问题：
从而 sinB = sinE，
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即
从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系： 对于任意锐角α，有 cs α = sin (90°－α),或sin α = cs (90°－α).
1. sinA、csA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sinA、 csA是一个比值（数值）. 3. sinA、 csA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
1．Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么csB的值为（ ）
2. Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么csB的值为_______
证明：∵∠C=∠F=90°， ∠A=∠D， ∴Rt△ABC ∽ Rt△DEF
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA.
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
3．在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果 那么tanB的值为（ ）
4. 在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果 那么tanA的值为_______.
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
脑中有“图”，心中有“式”
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，csA，tanA的值.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．
5．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( )
6．如图：P是∠ α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cs α ______，tan α = ________.
已知一边及一锐角三角函数值求函数值
1.（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=______．
2. （2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）A． B．1 C． D．
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______，csA=______，tanA=____， sinB=______，csB=______，tanB=____.
2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___.
3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 csA csB； (2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B. (3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为： .
∠A +∠B = 90°
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求csB 及 tanB 的值.
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D.
∵ AB = AC，
∴ BD = CD = 3，
在 Rt△ABD 中,
提示：求锐角的三角函数值问题，当图形中没有直角三角形时，可用恰当的方法构造直角三角形.
30°、45°、60°角的三角函数值
1. 理解特殊角的三角函数值的由来.
3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角.
2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值
设两条直角边长为a，则斜边长＝
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
解： （1） cs260°＋sin260°
特殊角的三角函数值的运算
提示：sin260°表示（sin60°）2
含特殊角三角函数值的计算注意事项：（1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；（2）注意运算顺序和法则；（3）注意特殊角三角函数值的准确代入．
1.计算：(1) sin30°+ cs45°；
(2) sin230°+ cs230°－tan45°.
解：在 Rt△ABC中
∴ ∠A = 45°.
利用三角函数值求特殊角
解：在 Rt△ABO中
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数．
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
∴ tanA＝1， ， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
特殊角的三角函数值的应用
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
3. 已知：求∠A，∠B的度数。
1．下列各式中不正确的是（ ） A． B．sin30°+cs30°=1 C．sin35°=cs55° D．tan45°>sin45°2．计算2sin30°-2cs60°+tan45°的结果是（ ） A．2 B． C．-1 D．1
sin260°+cs260°=1
3.求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
∴ ∠α = 60°.
(2) tanα =1，
∴ ∠α = 45°.
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 ， ，则△ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
5. 在 △ABC 中，若 ，则∠C = .
6. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cs30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) ； (4)
已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cs2α － tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cs2α － tan (α+15°) = 2 sin245°+cs245°－ tan60°
如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°， . 求tan∠BCM.
解：过点M作ME⊥BC于点E
∴CD=AD,又∵M是AB的中点
∴BE=DE，AD=2ME.
用计算器求锐角三角函数值
前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值,一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢?
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值.
2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小.
3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.
例如 (1) 用计算器求sin18°的值；
第二步：输入角度值18；
屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994.
利用计算器求三角函数值、角的度数
(2) 用计算器求 tan30°36′ 的值；
第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)；
屏幕显示答案：0.591 398 351.
(3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角∠A的度数.
第二步：输入函数值0. 501 8；
屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行精确).
1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47°； (2) sin12°30′； (3) cs25°18′；(4) sin18°＋cs55°－tan59°.
答案：(1) 0.7314
(2) 0.2164
(4) －0.7817
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A， ∠B的度数 (结果精确到0.1°)： (1) sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2) csA＝0.15，csB＝0.8； (3) tanA＝2.4，tanB＝0.5.
答案：(1) ∠A ≈ 44.4°；∠B ≈ 0.6°. (2) ∠A ≈ 81.4°；∠B ≈ 36.9°. (3) ∠A ≈ 67.4°；∠B ≈ 26.6°.
（1）通过计算 (可用计算器)，比较下列各组数的大小，并提出你的猜想：① sin30°____2sin15°cs15°；② sin38°____2sin19°cs19°；③ sin45°____2sin22.5°cs22.5°；④ sin60°____2sin30°cs30°；⑤ sin84°____2sin42°cs42°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcsα.
利用计算器探索三角函数的性质
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
证明：∵ S△ABC = AB · sin2α · AC = sin2α， S△ABC = ×2ABsinα · ACcsα = sinα · csα， ∴sin2α＝2sinαcsα.
（1）sin35°= ，cs35°= ， sin235°= ，cs235°= ； 猜想： 已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cs2α = .
3.利用计算器求值，并提出你的猜想：
（2）sin20°= ， cs20°= ，
sin220°= ， cs220°= ；
4. 已知：sin254°+ cs2α =1，则锐角 α = .　
5. 用计算器比较大小：20sin87° tan87°.
sin20° cs20°，sin220° cs220°；sin35° cs35°.
（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）A． B．C． D．
1. 下列式子中，不成立的是( ) A．sin35°= cs55° B．sin25°+ sin40°= sin65° C． cs47°= sin43° D．sin218°+ cs218°=1
2. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是 （ ） A． B． C． D．
(1) sin40°≈ (精确到0.0001)；(2) tan63°27′≈ (精确到 0.0001)；(3) cs18°59′27″≈ (精确到 0.0001)；(4) 若sinα = 0.5225，则 α ≈ (精确到 0.1°)；(5) 若csα = 0.3145，则 α ≈ (精确到 0.1°).
3. 利用计算器求值：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证sin2α + cs2α =1的结论.
证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2，
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′， ∠A 的平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001).
解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′， 在 Rt△ACT 中, ， ∴ AC = AT · cs∠CAT = 14.7×cs21°12′ ≈13.705(cm).
用计算器求锐角三角函数值及锐角