数学27.2.1 相似三角形的判定集体备课课件ppt

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平行线分线段成比例定理 及其推论
1.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， ， 那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
1. 理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.
2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系.
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与DE：EF相等吗？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗？
平行线分线段成比例定理
事实上，当l3 //l4 // l5时，都可以得到 ， 还可以得到 ， ， 等.

通过探究，你得到了什么规律呢？
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
若a∥b∥ c ，则 ， ，
1. 如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D.
如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
平行线分线段成比例定理的推论
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
【思考】如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
解：∵l1∥l2∥l3， ∴ . 又∵ ，DE＝6， ∴ ， 解得EF＝4. ∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
解：∵AC=4，EC=1，
利用平行线分线段成比例定理及推论求线段
3. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，　BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽ △ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
证明:在△ADE与△ABC中，
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F,
∵四边形DBFE是平行四边形
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB ， AC于点D、E． 求证：△ADE∽△ABC .
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
符号语言：∵ DE//BC∴△ADE∽△ABC．
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？
【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．
4. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（　　）A． B． C． D．
1. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC = 4 cm，EF 长（ ）
A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm
2.如图，DE∥BC， ， ；FG∥BC， ，则 .
3.如图，在△ABC中， EF∥BC.（ 1 ）如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC． 求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4－x ）cm，
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
2. 会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理 .
1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.
如何判断两个三角形是否相似?
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三边对应成比例的两三角形相似
还有没有其他简单的判断方法呢？
是否有△ABC∽△A′B′C′？
通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定理证明该结论.
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC
∴△ADE≌△A′B′C′
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？
【方法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
例1 已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， A′B′ =12 cm ， B′C′=18 cm ， A′C′=24 cm ，试说明△ABC∽△ A′B′C′.
∴ △ABC∽△ A′B′C′ ＇
利用三边成比例判断三角形相似
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应.
1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是_________________．
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
试说明∠BAD=∠CAE.
∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE
利用三角形相似求角相等
解：相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.理由如下：在 △ABC 和 △ADE 中，∵ AB : AD = BC : DE = AC : AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B= ∠ADE ，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
4. 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
（2018•临安）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D．
1．下列各组三角形一定相似的是（ ）A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（ ） A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
4. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
∴ △DEF ∽ △ABC.
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
解：设另外两条边长分别为x , y
如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴ △ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.
三边成比例两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
两边成比例且夹角相等的两个 三角形相似
1. 两个三角形全等有哪些判定方法？2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）(2)平行于三角形一边的直线(3)三边对应成比例
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理并且会运用.
2. 会运用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理.
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.
改变k的值具有相同的结论
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论．
△ABC ∽ △A'B'C'
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A' =∠A，A'B'：AB = A'C'：AC
求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
∴ △ADE ∽ △ABC
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似.

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，并说明理由.
∴ △ABC∽△A'B'C'
利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似
△ABC∽△A'B'C ' .
1. 已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
∴△ABC∽△A'B'C'
△ABC∽△A'B'C' .
解：∵ AE=1.5，AC=2，
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
利用三角形相似求线段的长度
提示：解题时要找准对应边.
2.如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,求CD 的长．
解：（1）CD :CB＝BC :AC （2）设CD＝x,则CA＝x＋2．当△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,有CD:CB＝BC:AC，即 ,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合题意,应舍去．所以CD＝1．
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
3.如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC．试问:DE 与AB 垂直吗? 为什么?
证明：DE⊥AB．理由如下: ∵　AE：AD＝AB：AC, ∴ 　 ． 又　∠A＝∠A, ∴　△ABC∽△AED． ∴　∠ADE＝∠C＝90°． ∴　DE 与AB 垂直．
1.（2017•同仁）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40． ∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．
∴ ， ，
∴ ，
1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ） A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
3. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5， ，求 AD 的长．
解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ，
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ∴这两个三角形不相似.你同意他的判断吗？请说明理由.
解：他的判断是错误的. ∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3. ∵ ， ， ∴ ． 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB ．
利用两边及夹角判定三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
1. 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.
2. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.
满足：∠C = ∠C'
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？
△ABC和△A'B'C'相似
你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽△A'B'C'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'
又∵∠A=∠A ' ，AD=A'B'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
例1 如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°，
∴　△ABC∽△A′B′C′
利用两角相等判断三角形相似
例2 弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD
∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角
即PA·PB=PC·PD
利用三角形相似求等积式
2. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = .
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
两直角三角形相似的判定
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
△ABC∽△A1B1C1.
你能证明吗？可要仔细哟！
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1，
证明：设 ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由 ，得 ∴ . ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.
判定两直角三角形相似的定理
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2， ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1） 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 ，解得 AB=3；
（2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 ，解得 ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
3. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ，BC= .
1.（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8
2.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m
1. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
2. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
3. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°， ∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°. ∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
证明：∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD （对顶角相等） ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：
解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
2.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC 的高， 求证：AC · BC = BE · CD.
证明： 连接CE，又∵BE是△ABC的外接圆O的直径， ∴∠BCE= 90°=∠ADC，
∴△ACD∽△EBC.
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
利用两角判定三角形相似