广东省深圳市福田区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广东省深圳市福田区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列四个数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.    下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列各组中的三个数值，分别以它们为边长，能够构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.    如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如果，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    若一个直角三角形的三边长为，，，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D.

10. 观察下列二次根式的化简
    ，
    ，
    ，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 的立方根为______．
12. 点在第二象限，且到轴的距离是个单位长度，到轴的距离是个单位长度，点坐标为______．
13. 已知，则______．
14. 如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程取是______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标是______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
17. 本小题分
    已知，，求的值．
18. 本小题分
    已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．关于轴的对称图形为图中每个小方格边长均为个单位长度
    在图中画出；
    点坐标为______，点坐标为______，点坐标为______；
    的面积为______．

19. 本小题分
    如图，在中，，，点为的中点，于点，
    求的面积；
    求的长．

20. 本小题分
    如图，已知在长方形中，，，把长方形放入直角坐标系中，使、分别落在轴、轴的正半轴上，且将长方形沿着折叠，是折痕，使点与点重合，点与点重合．
    求的长；
    求点的坐标．

21. 本小题分
    阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．
    如图，在中，，所以
    因此，我们得到平面上两点，之间
    的距离公式为根据上面得到的公式，解决下列问题：
    若已知平面两点，，则的距离为______；
    若平面内三点，，，请运用给出的公式，试判断的形状，并说明理由；
    如图，在正方形中，，点在边上，且，直线经过，两点，点是直线上的一个动点，请直接写出的最小值．
22. 本小题分
    阅读下面材料：
    某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：在中，，，，是的中点，
    问题发现：如图，若点、分别在线段、上，且，连接、、、，此时小明发现______， ______填“、、”．
    接下来小明和同学们继续探究，发现一个结论：线段与长的比值是一个固定值，即______．
    变式探究：如图，、分别在线段、的延长线上，且，若，求的长并写出过程．
    拓展应用：如图，，动点在的延长线上，点在直线上，且满足，，请直接写出的长为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点的横坐标大于，纵坐标小于，故点所在的象限是第四象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是，
故选：．
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，
不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，正方形的面积为，
正方形的面积．
故选：．
直接根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，即
的取值范围是，
故选：．
先估算出的范围，即可得出选项．
本题考查了估算无理数的大小，能估算的范围是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故C错误；
故选：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：当是直角边时，，
当是斜边时，，
故选：．
分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
，
由此可知：，
，
．
故选：．
根据题意可归纳出的表达式，从而求出的值．
本题考查数字规律问题，解题的关键是根据题意求出的表达式，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是关键．找到立方等于的数即可．
【解答】
解：因为，
所以的立方根是．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，且到轴的距离是个单位长度，到轴的距离是个单位长度，
点的横坐标是，纵坐标是，
点的坐标是．
故答案为：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
解得，，
．
故答案为：．
根据算术平方根和绝对值的非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

14.【答案】 

【解析】解：将圆柱体的侧面展开得到如图所示的矩形，连接．
圆柱的底面半径为，
．
取，
，
在中，，
．
所以蚂蚁要爬行的最短距离为，
故答案为：．
先求得圆柱体的底面周长，然后将侧面展开，然后连接，最后利用勾股定理求得的长即可．
本题主要考查的是平面展开路径最短问题、化曲为直是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，，，，
，
，

故答案为：
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，，，，，根据这个规律可以求得的坐标．
本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：

；



；


；



． 

【解析】先算乘法，然后开方即可；
先化简分子，然后合并同类二次根式，再约分即可；
先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据完全平方公式将式子展开，然后化简即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：，，
，，
． 

【解析】先计算出和的值，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
 

18.【答案】       

【解析】解：如图，即为所求；

点坐标为，点坐标为，点坐标为；
故答案为：，，；
的面积为．
故答为：．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据点的位置写出坐标即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
 

19.【答案】解：，，点为的中点，
，，
，
的面积；
点为的中点，
，
，
，
． 

【解析】先根据等腰三角形的性质求出，再用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，解本题的关键是同一个三角形的面积用两种不同的算法，求出，
 

20.【答案】解：，
，
将长方形沿着折叠，是折痕，使点与点重合，
，
，
，
解得；
将长方形沿着折叠，是折痕，点与点重合．
，，，
，
，
解得，
点的坐标为． 

【解析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论；
根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，进行的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：点，，
；
故答案为：；
是直角三角形；理由如下：
，，，
，，，
，
故是直角三角形；
，，
，，
四边形是正方形，
，
点关于直线的对称点是，
的最小值为，
．
故DE的最小值为．
根据两点间的距离公式即可得到；
根据两点间的距离公式得到，，，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据两点间的距离公式得到，，根据正方形的性质得到，根据轴对称的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
 

22.【答案】     或 

【解析】解：，，
．
点是斜边的中点，
是边上的中线．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：，，；
，，
．
点是斜边的中点，
是边上的中线．
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形．
，
，
；
当在线段上时，如图，连接，过点作于，

，，
为线段的中垂线，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，，
，
；
当在线段的延长线上时，如图，连接，过点作于，

同理可得，
，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
利用等腰直角三角形的性质得出，进而得出≌，即可得出为等腰直角三角形，则可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出为等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质可得出答案；
分两种情况，当在线段上时，当点在线段的延长线上时，连接，过点作于，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，根据已知得出≌是解题关键．