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广东省深圳市南山实验教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)
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这是一份广东省深圳市南山实验教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)，共25页。
广东省深圳市南山实验教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14 B．﹣π C．0 D．
2．（3分）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，2
3．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（3分）如图已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是（2，2），南门的坐标是（0，﹣3），则湖心亭的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
7．（3分）已知点P（m，n）在第四象限，则直线y＝mx+n图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 D．900cm2
10．（3分）勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以Rt△ABC（AB＞AC）的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形BCMN的面积 B．四边形NPAB的面积
C．正方形ACDE的面积 D．Rt△ABC的面积
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若点P（﹣3，a），Q（2，b）在一次函数y＝﹣3x+c的图象上，则a与b的大小关系是
12．（3分）若＝3，则x+1的立方根是 ．
13．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（﹣3，2），并且AB＝4，则B点的坐标为 ．
14．（3分）如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AC上一动点，将△BCD沿直线BD对折，其中点C的对应点为E，连接AE，当△ADE为直角三角形时，线段CD的长为 ．
三．解答题（共7小题，第16题8分第17题8分、第18题6分、第19题8分、第20题8分、第21题8分，、22题9分共55分）
16．（8分）计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）0﹣+（）﹣1
（2）（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．
17．（8分）计算：
（1）．
（2）．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标： ；
（3）△A1B1C1的面积是多少？
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（8分）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
21．（8分）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值是 ，甲的速度是 km/h．
（2）求线段EF所表示的y与x的函数关系式；
（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求点P坐标．
（4）在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
广东省深圳市南山实验教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14 B．﹣π C．0 D．
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【解答】解：﹣π是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，2
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵12+22≠（）2，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
∵（）2+（）2＝（）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵22+22＝（2）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
3．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．
【解答】解：A、4是16的算术平方根，即＝4，故A错误；
B、﹣3是﹣27的立方根，故B错误；
C、＝8，8的立方根是2，故C正确；
D、1的立方根是1，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念，解题的关键是掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根．
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】根据16＜17＜25，先估算的大小，然后确定﹣1的大小．
【解答】解：∵16＜17＜25，
∴4，
∴3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
5．（3分）如图已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：当x＝1时，y＝x+1＝2，即两直线的交点坐标为（1，2），
所以关于x，y的方程组的解为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6．（3分）如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是（2，2），南门的坐标是（0，﹣3），则湖心亭的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
【分析】先根据牡丹园的坐标和南门的坐标建立平面直角坐标系，再结合坐标系可得答案．
【解答】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则湖心亭的坐标为（﹣3，1），
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
7．（3分）已知点P（m，n）在第四象限，则直线y＝mx+n图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点P（m，n）在第四象限，可以得到m、n的正负情况，然后根据一次函数的性质即可得到直线y＝mx+n图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵点P（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴直线y＝mx+n图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是判断出m、n的正负．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【解答】解：由题意得，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
9．（3分）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 D．900cm2
【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴xy＝45×20＝900，
∴每块墙砖的截面面积是900cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以Rt△ABC（AB＞AC）的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形BCMN的面积 B．四边形NPAB的面积
C．正方形ACDE的面积 D．Rt△ABC的面积
【分析】根据正方形的性质得到∠BCM＝∠CAE＝∠M＝90°，根据余角的性质得到∠CBK＝∠PCM，根据全等三角形的性质得到S△BCK＝S△CMP，求得S△ABC＝S阴影，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形BCMN，四边形ACDE是正方形，
∴∠BCM＝∠CAE＝∠M＝90°，
∴∠CBK+∠BCA＝∠BCA+∠PCM＝90°，
∴∠CBK＝∠PCM，
在△BCK与△CMP中，
，
∴△BCK≌△CMP（ASA），
∴S△BCK＝S△CMP，
∴S△BCK﹣S△ACK＝S△CMP﹣S△ACK，
即S△ABC＝S阴影，
故知道图中阴影部分的面积，一定能求出Rt△ABC的面积，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证得△BCK≌△CMP是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若点P（﹣3，a），Q（2，b）在一次函数y＝﹣3x+c的图象上，则a与b的大小关系是 a＞b
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a＝9+c、b＝﹣6+c，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．
【解答】解：∵点P（﹣3，a）、Q（2，b）在一次函数y＝﹣3x+c的图象上，
∴a＝9+c，b＝﹣6+c．
∵9+c＞﹣6+c，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出a、b的值是解题的关键．
12．（3分）若＝3，则x+1的立方根是 2 ．
【分析】利用算术平方根的定义求出x的值，即可确定出x+1的立方根．
【解答】解：∵＝3，
∴x＝7，
则x+1＝8，8的立方根为2，
故答案为：2
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
13．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（﹣3，2），并且AB＝4，则B点的坐标为 （1，2）或（﹣7，2） ．
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为2，
又∵AB＝4，可能右移，横坐标为﹣3+4＝﹣1；可能左移横坐标为﹣3﹣4＝﹣7，
∴B点坐标为（1，2）或（﹣7，2），
故答案为：（1，2）或（﹣7，2）．
【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，解决本题的关键是分类讨论思想．
14．（3分）如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AC上一动点，将△BCD沿直线BD对折，其中点C的对应点为E，连接AE，当△ADE为直角三角形时，线段CD的长为 1.5或3 ．
【分析】当∠AED＝90°时，可知点E落在AB上，设CD＝x，DE＝CD＝x，AD＝4﹣x，在Rt△AED中，利用勾股定理列方程即可；当∠ADE＝90°时，可证明四边形CDEB是正方形，得CD＝BC＝3．
【解答】解：如图，当∠AED＝90°时，
由折叠知，∠BED＝∠C＝90°，
∴∠AED+∠BED＝90°+90°＝180°，
∴E点落在AB上，
AB＝＝＝5，
∴BE＝BC＝3，AE＝AB﹣BE＝2，
设CD＝x，DE＝CD＝x，AD＝4﹣x，
在Rt△AED中，由勾股定理得，
即（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴CD＝，
如图，当∠ADE＝90°时，
∠C＝∠CDE＝∠DEB＝90°，
∴四边形CDEB是矩形，
∵CD＝DE，
∴四边形CDEB是正方形，
∴CD＝BC＝3，
∴CD的长为1.5或3，
故答案为：1.5或3．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
三．解答题（共7小题，第16题8分第17题8分、第18题6分、第19题8分、第20题8分、第21题8分，、22题9分共55分）
16．（8分）计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）0﹣+（）﹣1
（2）（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式，完全平方公式，以及分母有理化计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝3+1﹣4+3＝3；
（2）原式＝4﹣5+4﹣4+2﹣＝5﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2﹣y＝﹣1，
解得：y＝3，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②得：4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+4y＝14，
解得：y＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标： （2，﹣1） ；
（3）△A1B1C1的面积是多少？
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据所作图形可得；
（3）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，点C1的坐标为：（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝AB•BC+AD•AC
＝×2×2+×1×2
＝2+，
∴四边形ABCD的面积为2+．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．（8分）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用租车费用＝每辆小货车的租金×租用小货车的数量+每辆大货车的租金×租用大货车的数量，即可分别求出选择各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，
依题意得：，
解得：．
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b＝3100，
∴a＝．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）选择方案1所需租车费为400×9+500×1＝4100（元）；
选择方案2所需租车费为400×5+500×4＝4000（元）；
选择方案3所需租车费为400×1+500×7＝3900（元）．
∵4100＞4000＞3900，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择各租车方案所需租车费用．
21．（8分）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值是 4.5 ，甲的速度是 60 km/h．
（2）求线段EF所表示的y与x的函数关系式；
（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？
【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时得a＝4.5，甲从A到B共用了（+7）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，解得v＝90（千米/小时），计算出4v＝360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）求出线段CF的解析式，再根据题意列不等式组解答即可．
【解答】解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
∴a＝4+0.5＝4.5（小时），
∴甲车的速度＝＝60（千米/小时）；
故答案为：4.5；60；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，
则4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，
解得v＝90（千米/小时），
∴4v＝360，
∴D（4，360），E（4.5，360），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
把E（4.5，360），F（7，460）代入得：
，
解得，
∴线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）∵60×＝40，
∴C（0，40），
设线段CF的解析式为y＝kx+40，根据题意得：
7k+40＝460，
解得k＝60，
∴线段CF的解析式为y＝60x+40，
∵甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，
由，解得1≤x≤，
由，解得≤x≤7，
∴两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（﹣1）+（7﹣）＝（小时）．
【点评】本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求点P坐标．
（4）在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标；
（3）设P（n，2n+6），则Q（n，﹣n+6），由题意列出关于n的方程，则可得出答案；
（4）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S△ABC＝×9×6＝27，
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG＝S△ABC＝9，
∴×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG＝S△ABC＝18，
∴×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
（3）设P（n，2n+6），则Q（n，﹣n+6），
∴PQ＝|2n+6+n﹣6|＝|3n|，
∵PQ＝OB＝6，
∴|3n|＝6，
∴n＝2或n＝﹣2，
∴P（2，10）或（﹣2，2）．
（4）若△MAC是等腰三角形可分三种情况：
①若CA＝CM，
∵CO⊥AM，
∴OM＝OA＝3，
∴点M（3，0）．
②若AM＝AC，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
∴AC＝＝3，
∴AM＝AC＝3，
∴点M为（3﹣3，0）或（﹣3﹣3，0）．
③若MA＝MC，
设OM＝x，则MC＝MA＝OM+OA＝x+3，
在Rt△MOC中，根据勾股定理可得：x2+62＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴点M为（，0），
综上所述：点M的坐标为（3，0）或（3﹣3，0）或（﹣3﹣3，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
广东省深圳市南山实验教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14 B．﹣π C．0 D．
2．（3分）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，2
3．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（3分）如图已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是（2，2），南门的坐标是（0，﹣3），则湖心亭的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
7．（3分）已知点P（m，n）在第四象限，则直线y＝mx+n图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 D．900cm2
10．（3分）勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以Rt△ABC（AB＞AC）的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形BCMN的面积 B．四边形NPAB的面积
C．正方形ACDE的面积 D．Rt△ABC的面积
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若点P（﹣3，a），Q（2，b）在一次函数y＝﹣3x+c的图象上，则a与b的大小关系是
12．（3分）若＝3，则x+1的立方根是 ．
13．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（﹣3，2），并且AB＝4，则B点的坐标为 ．
14．（3分）如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AC上一动点，将△BCD沿直线BD对折，其中点C的对应点为E，连接AE，当△ADE为直角三角形时，线段CD的长为 ．
三．解答题（共7小题，第16题8分第17题8分、第18题6分、第19题8分、第20题8分、第21题8分，、22题9分共55分）
16．（8分）计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）0﹣+（）﹣1
（2）（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．
17．（8分）计算：
（1）．
（2）．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标： ；
（3）△A1B1C1的面积是多少？
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（8分）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
21．（8分）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值是 ，甲的速度是 km/h．
（2）求线段EF所表示的y与x的函数关系式；
（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求点P坐标．
（4）在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
广东省深圳市南山实验教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14 B．﹣π C．0 D．
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【解答】解：﹣π是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，2
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵12+22≠（）2，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
∵（）2+（）2＝（）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵22+22＝（2）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
3．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．
【解答】解：A、4是16的算术平方根，即＝4，故A错误；
B、﹣3是﹣27的立方根，故B错误；
C、＝8，8的立方根是2，故C正确；
D、1的立方根是1，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念，解题的关键是掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根．
4．（3分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】根据16＜17＜25，先估算的大小，然后确定﹣1的大小．
【解答】解：∵16＜17＜25，
∴4，
∴3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
5．（3分）如图已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用y＝x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：当x＝1时，y＝x+1＝2，即两直线的交点坐标为（1，2），
所以关于x，y的方程组的解为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6．（3分）如图是人民公园的部分平面示意图，为准确表示地理位置，可以建立坐标系用坐标表示地理位置，若牡丹园的坐标是（2，2），南门的坐标是（0，﹣3），则湖心亭的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
【分析】先根据牡丹园的坐标和南门的坐标建立平面直角坐标系，再结合坐标系可得答案．
【解答】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则湖心亭的坐标为（﹣3，1），
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
7．（3分）已知点P（m，n）在第四象限，则直线y＝mx+n图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点P（m，n）在第四象限，可以得到m、n的正负情况，然后根据一次函数的性质即可得到直线y＝mx+n图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵点P（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴直线y＝mx+n图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是判断出m、n的正负．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【解答】解：由题意得，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
9．（3分）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 D．900cm2
【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴xy＝45×20＝900，
∴每块墙砖的截面面积是900cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以Rt△ABC（AB＞AC）的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形BCMN的面积 B．四边形NPAB的面积
C．正方形ACDE的面积 D．Rt△ABC的面积
【分析】根据正方形的性质得到∠BCM＝∠CAE＝∠M＝90°，根据余角的性质得到∠CBK＝∠PCM，根据全等三角形的性质得到S△BCK＝S△CMP，求得S△ABC＝S阴影，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形BCMN，四边形ACDE是正方形，
∴∠BCM＝∠CAE＝∠M＝90°，
∴∠CBK+∠BCA＝∠BCA+∠PCM＝90°，
∴∠CBK＝∠PCM，
在△BCK与△CMP中，
，
∴△BCK≌△CMP（ASA），
∴S△BCK＝S△CMP，
∴S△BCK﹣S△ACK＝S△CMP﹣S△ACK，
即S△ABC＝S阴影，
故知道图中阴影部分的面积，一定能求出Rt△ABC的面积，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证得△BCK≌△CMP是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若点P（﹣3，a），Q（2，b）在一次函数y＝﹣3x+c的图象上，则a与b的大小关系是 a＞b
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a＝9+c、b＝﹣6+c，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．
【解答】解：∵点P（﹣3，a）、Q（2，b）在一次函数y＝﹣3x+c的图象上，
∴a＝9+c，b＝﹣6+c．
∵9+c＞﹣6+c，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出a、b的值是解题的关键．
12．（3分）若＝3，则x+1的立方根是 2 ．
【分析】利用算术平方根的定义求出x的值，即可确定出x+1的立方根．
【解答】解：∵＝3，
∴x＝7，
则x+1＝8，8的立方根为2，
故答案为：2
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
13．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（﹣3，2），并且AB＝4，则B点的坐标为 （1，2）或（﹣7，2） ．
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为2，
又∵AB＝4，可能右移，横坐标为﹣3+4＝﹣1；可能左移横坐标为﹣3﹣4＝﹣7，
∴B点坐标为（1，2）或（﹣7，2），
故答案为：（1，2）或（﹣7，2）．
【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，解决本题的关键是分类讨论思想．
14．（3分）如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AC上一动点，将△BCD沿直线BD对折，其中点C的对应点为E，连接AE，当△ADE为直角三角形时，线段CD的长为 1.5或3 ．
【分析】当∠AED＝90°时，可知点E落在AB上，设CD＝x，DE＝CD＝x，AD＝4﹣x，在Rt△AED中，利用勾股定理列方程即可；当∠ADE＝90°时，可证明四边形CDEB是正方形，得CD＝BC＝3．
【解答】解：如图，当∠AED＝90°时，
由折叠知，∠BED＝∠C＝90°，
∴∠AED+∠BED＝90°+90°＝180°，
∴E点落在AB上，
AB＝＝＝5，
∴BE＝BC＝3，AE＝AB﹣BE＝2，
设CD＝x，DE＝CD＝x，AD＝4﹣x，
在Rt△AED中，由勾股定理得，
即（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴CD＝，
如图，当∠ADE＝90°时，
∠C＝∠CDE＝∠DEB＝90°，
∴四边形CDEB是矩形，
∵CD＝DE，
∴四边形CDEB是正方形，
∴CD＝BC＝3，
∴CD的长为1.5或3，
故答案为：1.5或3．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
三．解答题（共7小题，第16题8分第17题8分、第18题6分、第19题8分、第20题8分、第21题8分，、22题9分共55分）
16．（8分）计算：
（1）|﹣3|+（﹣1）0﹣+（）﹣1
（2）（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式，完全平方公式，以及分母有理化计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝3+1﹣4+3＝3；
（2）原式＝4﹣5+4﹣4+2﹣＝5﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2﹣y＝﹣1，
解得：y＝3，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②得：4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+4y＝14，
解得：y＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标： （2，﹣1） ；
（3）△A1B1C1的面积是多少？
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据所作图形可得；
（3）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，点C1的坐标为：（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝AB•BC+AD•AC
＝×2×2+×1×2
＝2+，
∴四边形ABCD的面积为2+．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．（8分）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用租车费用＝每辆小货车的租金×租用小货车的数量+每辆大货车的租金×租用大货车的数量，即可分别求出选择各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，
依题意得：，
解得：．
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b＝3100，
∴a＝．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）选择方案1所需租车费为400×9+500×1＝4100（元）；
选择方案2所需租车费为400×5+500×4＝4000（元）；
选择方案3所需租车费为400×1+500×7＝3900（元）．
∵4100＞4000＞3900，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择各租车方案所需租车费用．
21．（8分）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值是 4.5 ，甲的速度是 60 km/h．
（2）求线段EF所表示的y与x的函数关系式；
（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？
【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时得a＝4.5，甲从A到B共用了（+7）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，解得v＝90（千米/小时），计算出4v＝360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）求出线段CF的解析式，再根据题意列不等式组解答即可．
【解答】解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
∴a＝4+0.5＝4.5（小时），
∴甲车的速度＝＝60（千米/小时）；
故答案为：4.5；60；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，
则4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，
解得v＝90（千米/小时），
∴4v＝360，
∴D（4，360），E（4.5，360），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
把E（4.5，360），F（7，460）代入得：
，
解得，
∴线段EF所表示的y与x的函数关系式为y＝40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）∵60×＝40，
∴C（0，40），
设线段CF的解析式为y＝kx+40，根据题意得：
7k+40＝460，
解得k＝60，
∴线段CF的解析式为y＝60x+40，
∵甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，
由，解得1≤x≤，
由，解得≤x≤7，
∴两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（﹣1）+（7﹣）＝（小时）．
【点评】本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ＝OB时，求点P坐标．
（4）在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标；
（3）设P（n，2n+6），则Q（n，﹣n+6），由题意列出关于n的方程，则可得出答案；
（4）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S△ABC＝×9×6＝27，
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG＝S△ABC＝9，
∴×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG＝S△ABC＝18，
∴×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
（3）设P（n，2n+6），则Q（n，﹣n+6），
∴PQ＝|2n+6+n﹣6|＝|3n|，
∵PQ＝OB＝6，
∴|3n|＝6，
∴n＝2或n＝﹣2，
∴P（2，10）或（﹣2，2）．
（4）若△MAC是等腰三角形可分三种情况：
①若CA＝CM，
∵CO⊥AM，
∴OM＝OA＝3，
∴点M（3，0）．
②若AM＝AC，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
∴AC＝＝3，
∴AM＝AC＝3，
∴点M为（3﹣3，0）或（﹣3﹣3，0）．
③若MA＝MC，
设OM＝x，则MC＝MA＝OM+OA＝x+3，
在Rt△MOC中，根据勾股定理可得：x2+62＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴点M为（，0），
综上所述：点M的坐标为（3，0）或（3﹣3，0）或（﹣3﹣3，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
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