湖北省武汉市武昌区2022—2023学年上学期八年级期末数学模拟试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区2022—2023学年上学期八年级期末数学模拟试卷，共29页。

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2022-2023学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学模拟试卷
试卷副标题
考试范围：全册；考试时间：120分钟；命题人：熊兵
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠6 B．x≠0 C．x≠﹣ D．x≠﹣6
3．（3分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸一般在30﹣80nm，请将0.000000052m大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为（　　）
A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4+a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5 D．（2ab2）3＝2a3b6
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
6．（3分）化简的结果是（　　）
A．a2 B． C． D．
7．（3分）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
9．（3分）已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是y轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，连接AE并延长交BC延长线于点F，若AD＝AF，下列结论：①AD平分∠BAC；②BA＝BF；③CE∥AB；④CG+CF＝CE，正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④

第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分


二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果分式的值为零，那么x＝　 　．
12．（3分）已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为　 　．
13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为　 　．
14．（3分）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 　 　°．

15．（3分）如果m﹣n﹣3＝0，那么代数式（﹣n）•的值为 　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD，BE是△ABC的高，点P是直线AD上一动点，当PC+PE最小时，则∠BPC为 　 　度．

评卷人
得 分


三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：（x﹣4）（x+2）；
（2）分解因式：a3b﹣ab．



18．（8分）解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2





19．（8分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，且AB＝DE，BE＝CF，_____．求证：∠ACB＝∠DFE．
（1）请从①AB∥DE，②∠A＝∠D，③AC＝DF中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是 　 　．（只需填一个序号即可）；
（2）根据（1）中的选择给出证明．






20．（8分）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．






21．（8分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．




22．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？





23．（12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
（3）△PBE是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．








24．（12分）如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE交AC于点M．
（1）如图1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的长；
（2）如图2，若∠ADB＝45°，点N为ME上一点，MN＝BC，求证：AN＝EN+CD；
（3）如图3，若∠C＝30°，点D为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M，当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时∠CDM的度数．






2022-2023学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠6 B．x≠0 C．x≠﹣ D．x≠﹣6
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式有意义，必须x+6≠0，
解得，x≠﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3．（3分）新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸一般在30﹣80nm，请将0.000000052m大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为（　　）
A．52×10﹣9 B．5.2×10﹣8 C．52×10﹣8 D．5.2×10﹣9
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000052m大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为5.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a4+a4＝a8 B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5 D．（2ab2）3＝2a3b6
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】根据合并同类项运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据同底数幂相乘的运算法则进行计算判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算判断D．
【解答】解：A、a4+a4＝2a4，故此选项不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
D、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．（3分）化简的结果是（　　）
A．a2 B． C． D．
【考点】分式的乘除法．菁优网版权所有
【分析】把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（3分）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有
【分析】根据因式分解的意义对各小题进行分析即可．
【解答】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原题因式分解错误；
②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原题因式分解错误；
③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正确；
④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
所以属于正确的因式分解的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据三角形外角的性质得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD是腰AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴CD＝AC＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，求出∠DAC＝30°是解题的关键．
9．（3分）已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是y轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】根据等腰三角形的判定画出图形即可判断．
【解答】解：如图，满足条件的点B有四种情形，

故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，连接AE并延长交BC延长线于点F，若AD＝AF，下列结论：①AD平分∠BAC；②BA＝BF；③CE∥AB；④CG+CF＝CE，正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【考点】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE＝45°，求得∠BAD＝∠CAE，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠DAC＝22.5°，求得AD平分∠BAC；故①正确；推出∠BAF＝∠F，得到AB＝BF；故②正确；根据等腰三角形的性质得到∠CEF＝∠F＝67.5°，得到∠B＝∠ECF，根据平行线的判定定理得到CE∥AB，故③正确；过E作EH⊥CE交AC于H，推出△HEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定和性质得到HG＝CF，求得CH＝CG+HG＝CG+CF＝CE．故④正确；
【解答】解：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AD＝AF，∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∴∠DAC＝∠FAC＝DAF＝22.5°，
∴∠BAD＝∠DAC＝22.5°，
∴AD平分∠BAC；故①正确；
∴∠BAF＝67.5°，
∵∠F＝90°﹣∠CAF＝67.5°，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF；故②正确；
∵AD＝AF，AC⊥DF，
∴CD＝CF，
∵∠DEF＝180°﹣∠AED＝90°，
∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠F＝67.5°，
∴∠ECF＝180°﹣∠CEF﹣∠F＝45°，
∴∠B＝∠ECF，
∴CE∥AB，故③正确；
过E作EH⊥CE交AC于H，
∵∠ECF＝45°，∠ACF＝90°，
∴∠HCE＝45°，
∴△HEC是等腰直角三角形，
∴∠GHE＝45°，
∵∠HEC＝∠GEF＝90°，
∴∠HEG＝90°﹣∠GEC，∠CEF＝90°﹣∠GEC，
∴∠HEG＝∠CEF，
∴∠HGE＝∠F＝∠HEG＝∠CEF，
∴HG＝HE，
∴HG＝CF，
∴CH＝CG+HG＝CG+CF＝CE．故④正确；
故选：D．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果分式的值为零，那么x＝　3　．
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【分析】直接利用分式的值为零，分子的值为零，同时分母的值不为零，可得，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
即，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为　6　．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝720，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
13．（3分）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为　﹣5　．
【考点】多项式乘多项式．菁优网版权所有
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14．（3分）如图，∠A＝80°，O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BOC的度数是 　160　°．

【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝160°，
故答案为：160°．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）如果m﹣n﹣3＝0，那么代数式（﹣n）•的值为 　3　．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】根据分式的减法以及乘除运算进行化简，然后将m﹣n的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝m﹣n，
当m﹣n＝3时，
原式＝3．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD，BE是△ABC的高，点P是直线AD上一动点，当PC+PE最小时，则∠BPC为 　135　度．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】由题可知B点C点关于直线AD对称，当B、P、E三点共线时，PC+PE的值最小，则AD与BE的交点即为P点．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的高，
∴B点C点关于直线AD对称，
∴PC＝PB，
∵点P是直线AD上一动点，
∴PC+PE＝PB+PE≥BE，
∴当B、P、E三点共线时，PC+PE的值最小，
∴AD与BE的交点即为P点，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝67.5°，∠ABE＝45°，
∴∠PBD＝22.5°，
∵BP＝PC，
∴∠BCP＝22.5°，
∴∠BPC＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
故答案为：135°．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：（x﹣4）（x+2）；
（2）分解因式：a3b﹣ab．
【考点】多项式乘多项式；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）
＝x2+2x﹣4x﹣8
＝x2﹣2x﹣8；
（2）原式＝ab（a2﹣1）
＝ab（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了多项式乘多项式和提公因式法与公式法的综合运用，关键是熟练掌握运算法则．
18．（8分）解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（8分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，且AB＝DE，BE＝CF，_____．求证：∠ACB＝∠DFE．
（1）请从①AB∥DE，②∠A＝∠D，③AC＝DF中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是 　①或③　．（只需填一个序号即可）；
（2）根据（1）中的选择给出证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法可得出结论；
（2）根据SAS和SSS可得出结论．
【解答】解：（1）①或③；
故答案为：①或③；
（2）若选①．
证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE；
若选③．
证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE．
【点评】本题考查了等式的性质和全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等式的性质是解题的关键．
20．（8分）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0，
∴a只能取﹣1，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．（8分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．

【考点】作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）△ABC的面积为：3×2＝3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
所以点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．
22．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设第一次购进冰墩墩x个，由题意：第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每个冰墩墩的标价为a元，由题意：全部销售完后的利润率不低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：＝﹣10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
（2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
（3）△PBE是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）连接PC，证明△DPC≌△EPB（ASA），由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接PC，同（1）得△DPC≌△EPB（ASA），则CD＝BE，进而得出结论；
（3）分BE＝BP，EP＝EB，EP＝PB三种情况，由等腰三角形的性质分别求出∠PEB的度数即可．
【解答】解：（1）PD＝PE，理由如下：

如图②，连接PC，
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC＝AB＝PB，CP⊥AB，∠DCP＝∠ACB＝45°，
∴∠DCP＝∠B，
又∵∠DPC+∠CPE＝90°，∠CPE+∠EPB＝90°，
∴∠DPC＝∠EPB，
在△DPC和△EPB中，
，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD＝PE；
（2）CD+BC＝CE，理由如下：
连接CP，如图③所示：

同（1）得：△DPC≌△EPB（ASA），
∴CD＝BE，
∵BE+BC＝CE，
∴CD+BC＝CE；
（3）△PBE能成为等腰三角形，理由如下：
①当BE＝BP，点E在CB的延长线上时，如图③所示：
则∠E＝∠BPE，
又∵∠E+∠BPE＝∠ABC＝45°，
∴∠PEB＝22.5°．
②当BE＝BP，点E在CB上时，如图④所示：

则∠PEB＝∠BPE＝（180°﹣45°）＝67.5°．
③当EP＝EB时，如图⑤所示：

则∠B＝∠BPE＝45°，
∴∠PEB＝180°﹣∠B﹣∠BPE＝90°；
④当EP＝PB，点E在BC上时，如图⑥所示：

则点E和C重合，
∴∠PEB＝∠B＝45°；
综上所述，△PBE能成为等腰三角形，∠PEB的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE交AC于点M．
（1）如图1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的长；
（2）如图2，若∠ADB＝45°，点N为ME上一点，MN＝BC，求证：AN＝EN+CD；
（3）如图3，若∠C＝30°，点D为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M，当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时∠CDM的度数．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用直角三角形30°角的性质求出BC＝4，BD＝1，可得结论；
（2）如图2中，过点A作AH⊥DE于H，AJ⊥BC于J，AT⊥AN交BC于T．首先证明△AEN≌△ADT（ASA），推出AN＝AT，EN＝DT，证明Rt△AHN≌Rt△AJT（HL），推出∠ANH＝∠ATJ，证明△ANM≌△ATB（ASA），推出NM＝BT，由MN＝BC，推出BT＝BC，可得BT＝CT，推出AT＝CT，即可解决问题；
（3）分四种情形：如图3﹣1中，当点D与B重合时，△ADM是等腰直角三角形，如图3﹣2中，当AD＝DM时，如图3﹣3中，当MA＝MD时，如图3﹣4中，当DA＝DM时，分别利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）解：如图1中，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝4，∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3；

（2）证明：如图2中，过点A作AH⊥DE于H，AJ⊥BC于J，AT⊥AN交BC于T．

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠E＝45°，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵AJ⊥DB，AH⊥DE，
∴AJ＝AH，
∵∠TAN＝∠DAE＝90°，
∴∠EAN＝∠DAT，
在△AEN和△ADT中，
，
∴△AEN≌△ADT（ASA），
∴AN＝AT，EN＝DT，
在Rt△AHN和Rt△ATJ中，
，
∴Rt△AHN≌Rt△AJT（HL），
∴∠ANH＝∠ATJ，
∵∠NAT＝∠CAB＝90°，
∴∠NAM＝∠TAB，
在△ANM和△ATB中，
，
∴△ANM≌△ATB（ASA），
∴NM＝BT，
∵MN＝BC，
∴BT＝BC，
∴BT＝CT，
∴AT＝CT，
∴AN＝CT＝DT+CD＝EN+CD；
解法二：过点A作AT⊥AN交BC于点T．

证明△AEN≌△ADT，推出EN＝DT，AN＝AT，再证明AT＝CT，可得结论．

（3）解：如图3﹣1中，当点D与B重合时，△ADM是等腰直角三角形，此时∠CDM＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°．

如图3﹣2中，当AD＝DM时，

∵∠ADM＝45°，
∴∠AMD＝∠DAM＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠AMD＝∠ACB+∠CDM，
∴∠CDM＝67.5°﹣30°＝37.5°．
如图3﹣3中，当MA＝MD时，∠AMD＝90°，

∴∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝60°．
如图3﹣4中，当DA＝DM时，∠DAM＝∠DMA，

∵∠ADE＝∠DAM+∠DMA＝45°，
∴∠DAM＝∠DMA＝22.5°，
∴∠CDM＝180°﹣∠DCM﹣∠DMC＝180°﹣30°﹣22.5°＝127.5°，
综上所述，满足条件的∠CDM的值为15°或37.5°或60°或127.5°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
9．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
11．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
12．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
13．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
14．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
15．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
16．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
17．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
18．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
21．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
24．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
25．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
26．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
27．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
28．几何变换综合题
几何变换综合题．
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