湖北省武汉市汉阳区二桥中学2022-2023学年九年级上册第一次月考数学测试题+（有答案）

这是一份湖北省武汉市汉阳区二桥中学2022-2023学年九年级上册第一次月考数学测试题+（有答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省武汉市汉阳区二桥中学2022-2023学年九年级数学上册第一次月考测试题（附答案）
一、选择题（30分）
1．将方程3x2+1＝6x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是（　　）
A．﹣6、1 B．6、1 C．6、﹣1 D．﹣6、﹣1
2．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
3．已知方程2x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于（　　）
A．2 B．﹣ C． D．﹣1
4．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
5．抛物线y＝3x2经过平移得抛物线y＝3（x+6）2﹣3，平移正确的是（　　）
A．先左移6个单位，再上移3个单位
B．先左移6个单位，再下移3个单位
C．先右移6个单位，再上移3个单位
D．先右移6个单位，再下移3个单位
6．对于二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标是（1，﹣2） B．当x＜1时y随x的增大而减小
C．与y轴交点是（0，﹣2） D．与x轴有两个交点
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（　　）
A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91
8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则x2﹣x的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣2或6 C．6 D．604
9．已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
10．已知m，n是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则代数式3m3﹣9m2+n2+6n的值是（　　）
A．﹣30 B．﹣24 C．30 D．24

二、填空题（18分）
11．一元二次方程x2＝2x的根是　 　．
12．某种型号的芯片每片的出厂价为200元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为72元．依题意可列方程为 　 　．
13．抛物线在y＝x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是　 　．
14．已知，二次函数y＝﹣x2+8x﹣3，当﹣2＜x＜5时，则y的取值范围是 　 　．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③4a+b2＜4ac；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m≥0）的解为整数，则m的值有3个，其中正确的是 　 　．（填写序号）

16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 　 　．

三、解答题（72分）
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）（公式法）x2+x﹣3＝0．
18．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝4．求m的值．
20．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为12m），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为80m2，已知现有的木栅栏材料总长为26m．
（1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开2m的门，则矩形场地的边长分别为多少m？
（2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为26m2，则修建的小路宽为多少m？

21．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）完成表格，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
　 　
　 　
﹣4
　 　
　 　
…
（2）结合图象回答：
①不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是 　 　；
②当0≤x≤3时，y的取值范围是 　 　；
（3）直接写出不等式x2﹣2x﹣3＞﹣x﹣1的解集是 　 　．


22．如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m．
（1）求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段OB的长）；
（2）距离OA水平距离多远的E点处，放置高为3.5m的景观射灯EF使水流刚好到点F？
（3）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则此时水管OA的高度为多少？

23．在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．
（1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC数量关系与位置关系是 　 　．
②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，连接PQ，若AB＝13，CD＝5，则PQ的最大值是 　 　．

24．抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B（1，0）两点，且经过（2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2+c于点E和F，F在y轴右侧，若△GOF的面积为△GOE面积的2倍，求k值；
（3）如图2，点P是第二象限的动点，分别连接PA、PB，并延长交直线y＝﹣2于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．



参考答案
一、选择题（30分）
1．解：3x2+1＝6x，
3x2﹣6x+1＝0，
一次项系数是﹣6、常数项是1，
故选：A．
2．解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
3．解：∵方程2x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝，
故选：C．
4．解：∵方程无实数解，
∴Δ＝4+4a＜0，
∴a＜﹣1，
故选：A．
5．解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝3（x+6）2﹣3的顶点坐标为（﹣6，﹣3），
而点（0，0）先左移6个单位，再下移3个单位可得到（﹣6，﹣3），
所以抛物线y＝3x2先左移6个单位，再下移3个单位得到抛物线y＝3（x﹣1）2+2．
故选：B．
6．解：∵y＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴抛物线与x轴有两个交点，
故选：D．
7．解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故选：A．
8．解：设t＝x2﹣x，则t2﹣4t﹣12＝0．
整理，得（t﹣6）（t+2）＝0．
所以t﹣6＝0或t+2＝0．
解得t＝6或t＝﹣2．
当t＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，此时Δ＝1﹣8＝﹣7＜0，该方程无解．
综上所述，t＝6．
故选：C．
9．解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而1＜＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
10．解：把x＝m代入方程得：m2﹣3m﹣3＝0，即m2﹣3m＝3，
把x＝n代入方程得：n2﹣3n﹣3＝0，即n2＝3n+3，
由根与系数的关系得：m+n＝3，
则原式＝3m（m2﹣3m）+n2+6n
＝9m+3n+3+6n
＝9（m+n）+3
＝27+3
＝30．
故选：C．
二、填空题（18分）
11．解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．解：根据题意，列方程为200（1﹣x）2＝72．
故答案为：200（1﹣x）2＝72．
13．解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），
∵x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，
∴|x1﹣x2|＝＝＝4，
∴抛物线在y＝x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．
故答案为：4．
14．解：二次函数为y＝﹣x2+8x﹣3＝﹣（x﹣4）2+13，
x＞4时，y随x的增大而减小，
x＜4时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜x＜5，
∴当x＝4时，取得最大值为13，
当x＝﹣2时，取得最小值为﹣23，
∴﹣2＜x＜5时，y的取值范围是﹣23＜y≤13；
故答案为：﹣23＜y≤13．
15．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c，
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，故②错误；
③因为抛物线的顶点在直线y＝1上方，
所以，
所以4ac﹣b2＜4a，
所以4a+b2＞4ac，故③错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），
把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝0，
解得，c＝﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
由图象得当0≤y≤﹣4a时，﹣1≤x≤3，其中x为整数时，x＝﹣1，0，1，2，3，
又∵x＝0与x＝2关于直线x＝1轴对称；
x＝﹣1与x＝3时，m＝0；
当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
∴m值有3个．故④正确；
故答案为：①④．
16．解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．
∵AB＝AC＝5，BC＝4，
∴BM＝CM＝2，
∴△AMB∽△CGB，
∴，
即
∴GB＝8，
设BD＝x，则DG＝8﹣x，
∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，
∴△EDH≌△DCG（AAS），
∴EH＝DG＝8﹣x，
∴S△BDE＝＝＝，
当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．
故答案为8．

三、解答题（72分）
17．解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝±．
x＝2
∴x1＝2，x2＝2﹣；
（2）这里a＝1，b＝1，c＝﹣3．
x＝
＝
＝．
∴x1＝，x2＝．
18．解：设有x家公司参加，依题意，得
x（x﹣1）＝45．
整理得：x2﹣x﹣90＝0．
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）
答：共有10公司参加商品交易会．
19．解：（1）由题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
∴m≤．
故实数m的取值范围为m≤；
（2）依题意有x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，
∵x1x2+x1+x2＝4，
∴m2﹣（2m﹣1）＝4，
解得m1＝﹣1，m2＝3（舍去）．
故m的值是﹣1．
20．解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米，
根据题意得：x（28﹣2x）＝80．
整理得：x2﹣14x+40＝0．
解得x＝4或x＝10，
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）．
当x＝10时，28﹣2x＝8＜12．
答：长为10米，宽为8米；
（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，
a2﹣14a+13＝0，
解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，
答：小路的宽为1米．
21．解：（1）将x＝﹣1，0，2，3分别代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝0，﹣3，﹣3，0，
故答案为：0，﹣3，﹣3，0；
（2）如图，

①∵抛物线开口向上，经过点（﹣1，0），（3，0），
∴x2﹣2x﹣3＜0的解集是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
②由图象可得x＝1时，y＝﹣4为函数最小值，x＝3时，y＝0，
故答案为：﹣4≤y≤0；
（3）如图，

∵直线y＝﹣x﹣1与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，﹣3），
∴x2﹣2x﹣3＞﹣x﹣1的解集是x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
22．解：（1）由题意知，抛物线的顶点为（1，8），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
把A（0，6）代入可得a＝﹣2，
∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，
当y＝0时，x＝3或﹣1（舍去），
答：解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，水流落地点距离O点的距离是3米；
（2）把y＝3.5代入y＝﹣2（x﹣1）2+8得：
﹣2（x﹣1）2+8＝3.5，
解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
答：E点在距离OA水平距离4m处，放置高为3.5m的景观射灯EF使水流刚好到点F；
（3）设抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+k，
把（3.5，0）代入可得k＝12.5，
∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+12.5，
当x＝0时，y＝10.5，
答：水管OA的高度调整为10.5米．
23．解：（1）①延长CM、BA交于R，连接BM，如图：

∵∠ABE＝∠DCE＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCM＝∠R，
∵M是AD中点，
∴DM＝AM，
∵∠DMC＝∠AMR，
∴△DMC≌△AMR（AAS），
∴CM＝RM，CD＝AR，
∵AB＝BE，CD＝CE．
∴AB+AR＝BE+CE，即BR＝BC，
而∠ABE＝90°，
∴△BCR是等腰直角三角形，
∵CM＝RM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∵N为BC中点，
∴MN⊥BC，MN＝BC；
故答案为：MN⊥BC，MN＝BC；
②结论还成立，证明如下：
过A作AF∥CD交CM延长线于F，连接BF，如图：

∵AF∥CD，
∴∠DCM＝∠AFM，
∵M是AD中点，
∴DM＝AM，
又∠DMC＝∠AMF，
∴△DMC≌△AMF（AAS），
∴CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，
∵∠CDM＝∠CDE+∠EDA＝45°+∠EDA，
∴∠FAM＝45°+∠EDA，
∴∠EAF＝∠FAM+∠EAD＝45°+∠EDA+∠EAD＝45°+（180°﹣∠AED）＝225°﹣∠AED，
∴∠BAF＝360°﹣∠EAF﹣∠EAB＝360°﹣（225°﹣∠AED）﹣45°＝90°+∠AED，
又∵∠BEC＝∠BEA+∠AED+∠CED＝45°+∠AED+45°＝90°+∠AED，
∴∠BAF＝∠BEC，
∵AB＝BE，AF＝CD＝CE，
∴△FAB≌△CEB（SAS），
∴BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，
∵∠EBC+∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠FBC＝90°，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∵CM＝FM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∵N是BC中点，
∴MN⊥BC，MN＝BC；
（2）连接CP并延长至T，使PT＝CP，连接AT、BT，如图：

∵Q是AC中点，PT＝CP，
∴AT＝2PQ，
∵P是BC中点，
∴DP＝BP，
∵PT＝CP，∠CPD＝∠TPB，
∴△CPD≌△TPB（SAS），
∴BT＝CE＝CD＝5，
△ABT中，AB+BT＞AT，
∴AT＜13+5，即2PQ＜18，
∴PQ＜9，
当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转至A、B、T共线（不能构成△ABT）时，如图：

此时PQ最大，最大值为（AB+BT）＝9，
故答案为：9．
24．解：（1）根据题意得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣1；

（2）△GOF的面积为△GOE面积的2倍，
设E点横坐标为﹣m（m＞0），F点横坐标为2m（m＞0），
∵直线y＝kx+3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2+c于点E和F，
∴，
∴x2﹣kx﹣4＝0，
∴E点横坐标﹣m（m＞0），F点横坐标2m（m＞0）为此方程的两根，即x1＝﹣m，x2＝2m，
由根与系数的关系可知x1•x2＝﹣2m2＝﹣4，解得m＝或﹣，
∵m＞0，
∴m＝，则有x1＝﹣，x2＝2，
∴x1+x2＝﹣+2＝k＝，
∴k＝；

（3）如图2，过点P作PH⊥MN于点H，交x轴于点G，

∵抛物线y＝x2﹣1交x轴于A、B（1，0）两点，
∴A（﹣1，0）、B（1，0），
∵直线MN∥x轴，
∴△PAQ∽△PMH，
∴，
设P（p，p2﹣1），
∴，
∴m＝，
同理可得n＝，
∴mn＝﹣1．