新高考高一上册数学期末模拟卷4（解析版）

这是一份新高考高一上册数学期末模拟卷4（解析版），共15页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知，则，已知的解集为，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高一上册数学期末模拟卷(4)本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用并集定义直接求解.【详解】 集合，.故选：A.2．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正弦的二倍角公式得，再将代入化简即可【详解】因为，所以，故选：D3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A：函数是偶函数，故不符合题意；对于选项B：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；对于选项C：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；对于选项D：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意； 故选：B4．已知的解集为（），则的值为（       ）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】依题意可得为方程的根，代入计算可得；【详解】解：因为的解集为（），所以为的根，所以.故选：B5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的天顶距分别为和，若第一次“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（       ）倍A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选：B6．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据不等式恒成立求出命题为真命题时的范围，再选择其真子集即可求解.【详解】若“为真命题，得对于恒成立，只需，所以是命题“为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.7．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，则恒成立，所以函数在上单调递减.当时，在上单调递减，符合题意；当时，要使在上单调递减，则解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.8．已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（       ）A． B．m≥1 C． D．m≤1【答案】C【解析】【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.【详解】令，当时，方程为，即，作出函数及的图象，由图象可知方程的根为或，即或，作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；当时，方程为，即，由图象可知方程的根，即，结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列四组函数中，表示同一函数的是(       )A．， B．，C．， D．，【答案】AC【解析】【分析】两函数定义域相同，对应关系相同，则它们是同一函数，据此逐项分析即可.【详解】A：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；B：定义域为R，的定义域为，故两函数不为同一函数；C：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；D：定义域满足，即[1，＋∞)；定义域满足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故两函数不为同一函数.故选：AC.10．已知函数，则下列说法正确的是（       ）A．为奇函数 B．为减函数C．有且只有一个零点 D．的值域为【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的定义判断A，根据指数函数的性质判断B、D，令，解方程，即可判断C.【详解】解：函数，，，为奇函数．故A正确．．在上单调递增，所以在上为增函数．故B错误．令，则，得到，所以有且只有一个零点．故C正确．在上为增函数，令，则，所以，所以，即，解得，．故D错误．故选：AC．11．已知，（m是常数），则下列结论正确的是（       ）A．若的最小值为，则B．若的最大值为4，则C．若的最大值为m，则D．若，则的最小值为2【答案】BC【解析】【分析】根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可.【详解】由已知得，，解得，当时取等号，故A错误； ，，当时取等号，故B正确； ，，当时取等号，故C正确；对于D，，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误，故选：BC.12．已知函数，下列说法中正确的有（       ）A．若，则在上是单调增函数B．若，则正整数的最小值为2C．若，把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数D．若在上有且仅有3个零点，则【答案】ABD【解析】【分析】化简函数f(x)的表达式，根据正弦函数的性质与图像再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答.【详解】依题意，，对于A，，，当时，有，则在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；对于B，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得，而，即有，，故B正确；对于C，，，依题意，函数，这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确；对于D，当时，，依题意，，解得，故D正确.故选：ABD三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知为奇函数，当时，，则当时，___________【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质即可求解.【详解】解：因为函数为奇函数，所以当时，，，所以.故答案为：14．已知角的终边上的一点，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义可得，原式可化简为可求解.【详解】因为角的终边上的一点，所以，所以.故答案为：.15．函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______【答案】【解析】【分析】分析可得在上递增，再将原问题转换为分析即可【详解】二次函数在区间上递增，反比例函数在上增函数，指数函数在上递增，综上函数在上递增，又原问题等价于：，所以，因为函数在上递增，所以，故，所以．所以，的取值范围是．故答案为：16．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则___________．【答案】【解析】【分析】先判断出的奇偶性，再根据其对称性计算即可得到答案．【详解】解：因为定义域为的函数满足，所以函数的图象关于点对称，因为定义域为，且，所以为奇函数，即函数关于点对称，则函数与图象的交点关于对称，不妨设关于点对称的点的坐标为，，，，则，，则，，同理可得，，，，，所以．故答案为：．四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知，且在第三象限，(1)和(2).【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可.（2）利用同角三角函数关系和诱导公式求解即可.(1)已知，且在第三象限，所以，(2)原式18．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.(1)当时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】(1)(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．【解析】【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．(1)宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，，，故海报面积为．(2)直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．19．已知函数，(1)当时，求函数在的值域(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；(1)解：∵，，令，∵，∴，∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，∴的值域是.(2)解：方程有解，即有解，即有解，∴有解，令，则，∴.20．设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足.(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由，化简命题p，命题q，再根据为真命题，则p真且q真求解； （2）化简两个命题，，根据p是q的必要不充分条件，由求解.(1)解：当时，若命题p为真命题，则不等式为，解得；若命题q为真命题，则由，解得.∵为真命题，则p真且q真，∴实数x的取值范围是.(2)由，解得，又，∴.设，，∵p是q的必要不充分条件，∴，∴，解得.∴实数a的取值范围是.21．已知函数满足，当时，成立，且．(1)求，并证明函数的奇偶性；(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明；（2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解.(1)解：令，可得，令，则，所以，所以，所以为奇函数；(2)解：，即，所以，又当时，成立，所以为增函数，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以当时，，所以，即.22．已知函数，，．(1)当，时，①求的单调递增区间②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.【答案】(1)①；②(2)【解析】【分析】（1）①利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；②由①求出函数在上的单调区间，解方程可得或，再根据正弦函数的性质即可得出答案；（2）根据正弦函数的对称性与正弦函数的零点，列出方程组，再结合正弦函数的单调性及周期性求得的范围，再根据正弦函数的单调性检验即可得出答案.(1)解：①，令，，解得，，故的单调递增区间为；当时，在上单调递增，在上单调递减，，，，令，故当时，有个不同的实数根，由，可得或，因为有个不同的实数根，所以有个不同的实数根，且，故的取值范围为；(2)解：由题意可得，，因为为的零点，直线为图象的对称轴，所以，，，，得，，所以，因为，，所以，即为正奇数，因为在上单调，则，即，解得，当时，，，因为，所以，此时，当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，即在上不单调，不满足题意；当时，，，因为，所以，此时，当时，，此时在上单调递减，符合题意．故的最大值为．【点睛】本题考查正弦函数的单调性问题，三角函数的零点问题，三角函数对称性的应用，以及与三角恒等变换的综合应用，属于拔高题．