甘肃省平凉市庄浪县阳川中学等联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省平凉市庄浪县阳川中学等联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省平凉市庄浪县阳川中学等联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内.
1．下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
3．抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，4） C．（﹣1，3） D．（1，4）
4．将一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
5．已知二次函数，y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
6．如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′＝（　　）

A．60° B．105° C．120° D．135
7．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣2）2+3 D．y＝﹣2（x+3）2+2
8．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2﹣k和y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法，①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＞0；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．一元二次方程x（x+3）＝0的根是 　 　．
12．若点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，则a＝　 　，b＝　 　．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点（﹣2，0）和（4，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
15．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　 　．
16．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　．
17．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　 　m．

18．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝　 　cm．

三、解答题（一）：（共38分）
19．解方程
（1）x2﹣8x+15＝0；
（2）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．
20．如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．
（1）①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（2）点C1的坐标是 　 　，点C2的坐标是 　 　．

21．已知二次函数的图象顶点是（2，﹣1），且经过（0，1），求这个二次函数的解析式．
22．学校要把校园内一块长20米，宽12米的长方形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积为180平方米，求草坪的宽度．

四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤。
23．已知等腰三角形底边长8，腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，求这个等腰三角形的周长．
24．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）求△PBQ的面积的最大值．

25．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
①写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
③求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
27．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内.
1．下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+＝2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，4） C．（﹣1，3） D．（1，4）
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标是（1，4）．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．
4．将一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝2+1，
∴（x﹣1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．已知二次函数，y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】根据二次函数的性质求解可得．
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，
则当x＞2时，y随x的增大而减小，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是能够根据函数解析式得出顶点坐标，对称轴，开口方向以及二次函数的增减性．
6．如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′＝（　　）

A．60° B．105° C．120° D．135
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC＝45°，再根据旋转的性质求出对应边的夹角∠CAC′＝60°，然后根据∠BAC′＝∠BAC+∠CAC′代入数据进行计算即可得解．
解：在等腰直角△ABC中，∠BAC＝45°，
∵旋转角为60°，
∴∠CAC′＝60°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠CAC′＝45°+60°＝105°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，根据旋转角求出∠CAC′＝60°是解题的关键．
7．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣2）2+3 D．y＝﹣2（x+3）2+2
【分析】先利用顶点式得到抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点利用的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新的抛物线解析式是y＝﹣2（x+2）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2﹣k和y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数y＝kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y＝kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y＝kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y＝kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；
C、由一次函数y＝kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法，①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＞0；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；把x＝﹣1代入函数解析式，结合对称轴方程对④进行判断．
解：∵抛物线开口向上，则a＞0．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0．故②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0．故①正确；

∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0．故③错误；

根据抛物线的对称性知，当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0．
故④正确；
根据抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．一元二次方程x（x+3）＝0的根是 　x1＝0，x2＝﹣3　．
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程x（x+3）＝0，
可得x＝0或x+3＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．若点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，则a＝　1　，b＝　﹣2　．
【分析】关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数．
解：∵点A（a，2）与点Q（﹣1，b）关于原点对称，
∴a＝1，b＝﹣2．
故答案为：1，﹣2．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点（﹣2，0）和（4，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为 　x1＝﹣2，x2＝4　．
【分析】根据抛物线与x轴的交点的意义得到当x＝﹣2或x＝4时，y＝0，即可得到方程ax2+bx+c＝0的解．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣2，0）和（4，0），
∴当x＝﹣2或x＝4时，y＝0，
即方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．
【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c＝0的解为交点的横坐标．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　2　．
【分析】分别利用一元二次方程根与系数的关系求x1+x2和x1x2，即可求出答案．
解：∵x1+x2＝﹣＝1，x1x2＝＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
15．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　x＝3或x＝﹣7　．
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2＝a，5＝b，代入所给公式得：（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
【点评】此题将规定的一种新运算引入题目中，题型独特、新颖，难易程度适中．
16．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＜y3＜y1　．
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可分别求得y1、y2、y3的值，比较可求得答案．
解：
∵y＝2x2﹣4x+c，
∴当x＝﹣3时，y1＝2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）+c＝30+c，
当x＝2时，y2＝2×22﹣4×2+c＝c，
当x＝3时，y3＝2×32﹣4×3+c＝6+c，
∵c＜6+c＜30+c，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
17．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　（2﹣4）　m．

【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
18．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝　2+　cm．

【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出DE的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．
解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM＝EC＝1cm，
∴DE＝EM＝cm．
由旋转的性质可知：CF＝CE＝1cm，
∴BF＝BC+CF＝CE+DE+CF＝1++1＝2+cm．
故答案为：2+．

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段BC以及CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．
三、解答题（一）：（共38分）
19．解方程
（1）x2﹣8x+15＝0；
（2）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可；
（2）移项，提取公因式（x﹣3），进而分解因式解方程即可．
解：（1）x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5；

（2）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3），
（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，
故x﹣3＝0或﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的简便的方法是解题的关键．
20．如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．
（1）①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（2）点C1的坐标是 　（1，4）　，点C2的坐标是 　（1，﹣4）　．

【分析】（1）①利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
②利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】（1）解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求；
②如图，△A2B2C2即为所求；
（2）点C1的坐标是（1，4）；点C2的坐标是（1，﹣4）．


【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．已知二次函数的图象顶点是（2，﹣1），且经过（0，1），求这个二次函数的解析式．
【分析】根据已知条件可以设为顶点式，较为简便．
解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，1）代入，得4a＝2，即a＝，
∴该二次函数的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1．
【点评】此题根据已知条件设为顶点式较为简便．
22．学校要把校园内一块长20米，宽12米的长方形空地进行绿化，计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积为180平方米，求草坪的宽度．

【分析】设草坪的宽度为x米（0＜x＜6），则花坛的长为（20﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合花坛面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设草坪的宽度为x米（0＜x＜6），则花坛的长为（20﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，
根据题意得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝180，
解得：x1＝1，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：草坪的宽度为1m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式结合花坛面积为180平方米，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤。
23．已知等腰三角形底边长8，腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，求这个等腰三角形的周长．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，
解得：x＝4（舍去）或x＝5
这个等腰三角形的周长为18
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．
（1）填空：BQ＝　2xcm　，PB＝　（5﹣x）cm　（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）求△PBQ的面积的最大值．

【分析】（1）规划局路程，速度，时间的关系解决问题即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）利用二次函数的性质求出最大值即可．
解：（1）2xcm；（5﹣x）cm．
故答案为：2xcm，（5﹣x）cm；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴y＝•PB•BQ＝×（5﹣2x）×x＝﹣x2+x（0＜x≤4）；

（3）∵y＝﹣（x﹣）2+，﹣1＜0，
∴x＝时，y的值最大，最大值为．
∴△PBQ的面积的最大值为．
【点评】本题考查矩形的性质，四边形的面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
25．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x＝﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．
【解答】证明：（1）∵a＝2，b＝k，c＝﹣1
∴Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8，
∵无论k取何值，k2≥0，
∴k2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程2x2+kx﹣1＝0有两个不相等的实数根．

解：（2）把x＝﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1＝0
∴k＝1
∴原方程化为2x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝，即另一个根为．
【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．
26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
①写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
②若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
③求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】①根据销量＝250﹣10（x﹣25），再利用销量×每件利润＝总利润，列出函数关系式即可；
②根据①式列出方程，进而求出即可；
③直接利用二次函数最值求法得出答案．
解：①w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000（ 25≤x≤50 ）；

②当w＝2000时，得﹣10x2+700x﹣10000＝2000
解得：x1＝30，x2＝40，
所以，商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；

③w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，wmax＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
27．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，代入三点即求得方程式；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，代入BC两点而求得；
（3）由△ABC的底边AB上的高为3，设△PAB的高为h，则|h|＝3，则点P的纵坐标为3或﹣3，分两种情况求得．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线与y轴交于点C的坐标（0，3），
∴y＝ax2+bx+3，
又∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，
∴抛物线的解析式为；

（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
所以直线BC的函数解析式为y＝x+3；

（3）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，
∵△ABC的底边AB上的高为3，
设△PAB的高为h，则|h|＝3，则点P的纵坐标为3或﹣3，
∴，
∴点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C点重合，故舍去．，
∴点P的坐标为，，
∴点P的坐标为：P1（3，3），P2，P3．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，包括了三点确定二次函数式，两点确定一次函数解析式，一次函数与二次函数结合的综合考查，第三问问的很好．