上海市市北中学2023届高三上学期10月月考数学试题及答案

这是一份上海市市北中学2023届高三上学期10月月考数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市市北中学2023届高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．已知集合，，则______.2．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.3．的二项展开式中的系数为____________4．已知复数z满足（为虚数单位），则___________.5．已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为__．6．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则__________.7．已知函数的定义域为，对于函数定义变换：，若为做变换后的结果，则不等式的解集为______.8．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.9．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则______.10．已知函数，当时，，则的最大值是________．11．已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______.12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 二、单选题13．在下列各题中，结论正确的是（    ）A．若a＞0，b＜0，则＞0 B．若a＞b，a＜0，则＜0C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，则a﹣b＞014．已知关于的不等式的解集是，则实数取值范围是（    ）A． B． C． D．15．设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.16．设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列选项正确的是（    ）A．若，则为递增数列B．若，则为递增数列C．若为递增数列，则D．若为递增数列，则 三、解答题17．设有底面半径为1的圆柱，为圆柱的母线.(1)若，设为的中点，求直线与圆柱上底面所成角；(2)若过的轴截面为正方形，求圆柱的侧面积和体积.18．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．19．某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．(1)当，时，求的长；（结果精确到米）(2)当时，求面积的最大值及此时的值．20．已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．(1)求椭圆的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．21．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．
参考答案：1．【分析】求出集合B中元素，进而可得.【详解】,故答案为：.2．2【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据的平均数为4∴，即.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．3．【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】解：展开式的通项公式为，故当时，的二项展开式中的项为，其系数为.故答案为：4．【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.【详解】解：由题可得，则.故答案为：.5．##0.375【分析】利用古典概型公式计算即可．【详解】从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，所以其概率为．故答案为：．6．【分析】首先利用向量数量积的坐标运算求出向量的夹角，再根据向量的坐标求出向量的模即可求解.【详解】∵，，∴，∴，∴.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.7．【分析】易得，则，分类讨论去绝对值，解一元二次不等式即可.【详解】由题可知，故等价于，令得，当时，，即，解得或，故；当时，，即，解得，此时.综上所述，的解集为.故答案为：.8．【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积.【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为， ∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，∴在上扫过的面积为.故答案为：.9．1【分析】根据函数最小正周期的范围确定，根据的图象关于点中心对称，可确定b，以及求出，结合，求得，即得函数解析式，可求得答案.【详解】函数 的最小正周期为T，则 由 ，得, ∴ ，的图象关于点中心对称，∴ ，且 ，则 ,∴ ，由可得，而， ，可得， 所以 ，故，故答案为：1.10．##【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.【详解】令，解得：；令，解得：；图象如下图所示，由图象可知：，，.故答案为：.11．【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得到，进而求出的最小值.【详解】因为为奇函数，所以，且，又关于直线对称，所以，所以，则，所以函数是以4为周期的周期函数，作出函数和的图像如图所示：由的正数解依次为、、、、、，则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，所以.所以得任意的，，已知任意的，总存在实数，使得成立，可得，即的最小值为.故答案为：2.12．【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为： 13．D【分析】根据两数的符号或大小判断相应不等式是否成立即可．【详解】A.两数相除，异号得负，故选项错误；B.若a＞b，a＜0，则＞1，故选项错误．C.两数相乘，同号得正，故选项错误；D.大数减小数，一定大于0，故选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于简单题.14．B【分析】根据一元一次不等式的解集列不等式，由此求得的值.【详解】由于不等式的解集是，所以.故选：B15．C【分析】先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案.【详解】为所在平面上一点，且实数x、y、z满足若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾；假设（不为0），可得，，向量和共线，点在的边BC所在直线上；若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线，，“”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件.故选：C.16．D【分析】结合等比数列、数列的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等比数列的公比为，，A选项，若，即，，其中的符号无法判断，所以无法判断的单调性，A选项错误，B选项，若，即，则可能，则，为常数列，B选项错误.C选项，若为递增数列，则，但无法判断的单调性，C选项错误.D选项，若为递增数列，则,,所以，所以，故D选项正确.故选：D17．(1).(2)；. 【分析】（1）找到直线与底面所成的角为，求出，即可得解.（2）求出圆柱的母线长，利用圆柱的侧面积公式和体积公式可求得结果.【详解】（1）因为与圆柱的上底面垂直，在上底面内，故，则直线与底面所成的角为,又，在中， ，故,故直线与圆柱上底面所成角为.（2）若圆柱的轴截面为正方形，则，故圆柱的侧面积为 ，体积为.18．(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 19．(1)米(2)当时，养殖场最大的面积为平方米 【分析】（1）在中，根据余弦定理求解即可；（2）当时，可得，再化简可得，再根据正弦函数的最值分析即可【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的长约为米．（2）连接．由题意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．当，即时，取到最大值，最大值为．因此，当时，养殖场最大的面积为平方米20．(1)(2)(3)存在；点的个数为2 【分析】（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS的方程，表达出点M，N的坐标，利用基本不等式求出线段MN的长度的最小值；（3）先求出的长度，得到到直线的距离等于，利用点到直线距离得到T所在的直线方程，结合根的判别式得到点的个数.【详解】（1），令得：，令得：，所以椭圆C的左顶点为，上顶点为，所以，故椭圆方程为.（2）直线的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为，从而，由，联立得：，设，则，解得：，从而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，故线段MN的长度的最小值为.（3）由第二问得：，此时，故，要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于．其中直线SB：，即，设平行于AB的直线为，则由解得：或，当时，，联立椭圆方程得：，由得：与椭圆方程有两个交点；当时，，联立椭圆方程得：，由，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点的个数为2．21．(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，    所以，令，则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.（3）解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.