2022-2023学年陕西省延安市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省延安市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省延安市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（    ）A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项【答案】B【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程即可求出结果.【详解】由题意可知，被开方数是首项为1，公差为2的等差数列，所以该数列的通项公式为，令，解得，故选：B.2．一元二次不等式的解集为（    ）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】二次方程根是和1，故一元二次不等式的解集是.故选：C.3．在等比数列中，，则等于（    ）A．3 B．9 C．±3 D．±9【答案】B【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为，所以，又由等比数列的性质可知与同号，所以.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质及应用，较简单. 若数列为等比数列，则当时，有.4．设实数、满足，，则的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】由已知得，，，故，故选：B.5．记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．6．若，，则下列各是正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判断，再根据不等式的性质判断选项.【详解】，，，有可能是正数，负数，0，，故A正确；，，故B不正确；,当时，，故C不正确；当时，不正确，故D不正确.故选：．7．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A．15 B． C．6 D．3【答案】C【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d， 解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=．故选C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．A．10层 B．11层 C．12层 D．13层【答案】C【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层，即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，则．该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，则有，又，则有，即，解得或（舍去），则．故选：C．9．若数列满足，，则的值为A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，，，∴，，，…，故该数列周期为3，∴，故选B10．设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（    ）A．11 B．1 C．约等于1 D．2【答案】B【分析】首先求数列的通项公式，再根据的意义，求的值.【详解】，解得：，所以，，所以.故选：B11．数列满足，且对于任意的都有，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得：，则：，以上各式相加可得：，则：，.本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12．数列满足，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．大小关系不确定【答案】C【分析】对分奇数、偶数，结合特殊角的三角函数值将递推关系式化简，进一步考察数列中的关系规律，再进行求解比较.【详解】当为偶数时，，偶数项构成以为公差的等差数列，，当为奇数时，，奇数项构成以为公比的等比数列，，所以.故选：C 二、填空题13．在等比数列中，，则________.【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.【详解】设公比为，由， 得，所以.故答案为：414．不等式的解为                        ．【答案】或【详解】由，可得 即 所以不等式的解为或 15．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则________.【答案】【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】解：，分别为等差数列、的前项和，且，，故答案为：．16．等差数列中， 是它的前 项之和，且 ， ，则：①数列的公差； ②一定小于 ； ③ 是各项中最大的一项；④ 一定是 中的最大值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．【答案】①②④【分析】试题分析：根据， ,可知,则等差数列是递减数列,所以 并且等差数列从第8项起为负数．所以①④正确,③错误;因为,所以②正确． 【解析】等差数列性质． 三、解答题17．如图所示，某学校要在长为8，宽为6的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x，中间植草坪.（1）若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是多少？（2）为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）先用表示出中间草坪的长，宽，中间草坪的面积，矩形土地的面积，再由题意建立限制条件求解出花卉带的宽度x即可；（2）先用表示出中间草坪的长，宽，中间草坪的面积，矩形土地的面积，再由题意建立不等式组求解出花卉带的宽度x的取值范围即可.【详解】解：由题意：中间草坪的长为，宽为，且中间草坪的面积为，矩形土地的面积，（1）因为中间草坪面积为矩形土地面积的一半，所以解得：，所以若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是1（2）因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半，所以，解得： 所以草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是.【点睛】本题考查一元二次不等式的实际应用、求解一元二次不等式，是基础题.18．已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，所以令数列的公比为，，，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，．(2)因为，所以，，，所以数列是首项为、公差为的等差数列，．【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．19．已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值；（2）由题意得或，从而可求出的取值范围【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以，且和时关于的方程的两个实数根，则，解得.（2）因为关于的不等式恒成立，所以或，即或，则实数的取值范围为.20．在等比数列中，已知，公比，等差数列满足，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）【分析】（1）由题意得，解方程组得到d，q，再利用等差等比数列的通项公式计算即可；（2）由（1）可得，再利用分组求和法即可得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由已知，，又，解得，所以，.（2）由（1）可得，【点睛】本题考查求等差等比数列的通项，以及分组求和法求数列的前n项和的问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.21．已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求证：是等差数列；（2）求表达式；【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由数列与的关系可得转化条件为，结合等差数列的定义即可得证；（2）由数列与的关系运算即可得解.【详解】（1）证明：由题意，，∴，，∴，又，∴是以2为首项，公差为2的等差数列；（2）由（1），∴，当时，，当时，，∴.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用数列与的关系转化条件及构造新数列求数列通项.22．数列中，，，设．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和；(3)若，为数列的前n项和，求不超过的最大的整数．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)2022 【分析】（1）将两边都加，证明是常数即可；（2）求出的通项，利用错位相减法求解即可；（3）先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解【详解】（1）将两边都加2n，得，所以，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，所以，所以，①，②①－②得，整理得；（3）由（2）及题目条件，得，所以，所以,，所以不超过的最大的整数是2022