2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛试题及答案

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合中的最大元素与最小元素分别为M，N，则___________．

2．已知，则不等式的解集为___________．

3．甲、乙、丙三人从1楼乘电梯去商场的3到7楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有___________种．

4．设z为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率___________．

5．已知椭圆的左右焦点为，点P在直线上，当取最大值时，的值为___________．

6．设，且，若，则的值___________．

7．已知二面角的平面角为，A，D为直线l上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于___________．

8．设a，b都是正整数，且，则的个位数字是___________．

二、解答题

9．直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边上，且，求的最小值．

10．如图，己知内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点．求证：

(1)边所在直线与抛物线M相切；

(2)A，C，B，F四点共圆．

11．（1）若实数x，y，z满足，证明：；

（2）若2023个实数满足，求的最大值．

参考答案：

1．

【详解】由知，，

当时，得最大元素，

又，当时，得最小元素，

因此，．

故答案为：.

2．

【详解】令，易得为奇函数且单调递增．

原不等式等价于．

所以．

故答案为：.

3．

【详解】由排列组合公式可得下电梯的方法有种．

故答案为：120.

4．

【详解】令，则．

由复数的几何意义知．

所以由前两式知，即，

故．因此z的轨迹是实轴长为、焦距为6的双曲线，

所以双曲线的离心率为．

故答案为：.

5．

【详解】由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于点P，

设直线l交x轴于点，则，即，则，

又由圆幂定理得，

而，所以，

代入前面两式，得．

故答案为：.

6．

【详解】因为，

所以原等式的左边．

则，故，

从而可得．

则，且的值为6，9，18，

解得，故．

故答案为：20.

7．

【详解】在平面中，过点A作的垂线，交射线于点B，交射线于点C，

设，则，

则是二面角的平面角；

在中，利用余弦定理得，

同理在中，，

所以.

故答案为：.

8．2

【详解】因为，所以由二项式定理得，

由以上二式得，．

故．

设，则．

由于与是方程的两个根，故，

利用此递推式可得的个位数字为2，8，0，2，8，0，2，8，…，

因此，综上，的个位数字为2．

故答案为：2.

9．

【详解】设，则，

设．

在中，，则，

在中，，则，

所以，

所以，

当时，的最小值为．

10．(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【详解】（1）设，

的直线方程为，

即代入整理得，

∴，即     ①

同理直线与抛物线相切可得     ②

∴为方程的两根，则，

同理直线方程与抛物线联立可得，

∴，

∴直线与抛物线M相切，得证．

（2）由（1）得当或时，方程①无解．

已知，则，

则，

由（1）同理可得，

∴，其中，

，

所以，

当时，可得，

得．

．

所以，A，F，B，C四点共圆．得证．

11．（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）不妨设，

则

.

（2）因为2023为奇数，则中必存在（令）同号，

不妨设同号，则：

．

不妨设，则，所以：

．

当且仅当

或时等号成立．

因此的最大值为．