2022年全国中学生数学奥林匹克（预赛）贵州省初赛试题及答案

2022年全国中学生数学奥林匹克（预赛）贵州省初赛试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．双曲线上格点（横纵坐标均为整数的点）的个数为（    ）

A．0 B．4 C．8 D．12

2．平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

4．如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

5．如图，M，N分别是两直角边上的动点，P是线段MN的中点，则以下结论正确的是（    ）

A．当△AMN的面积为定值时，点P的轨迹为双曲线一支

B．当|MN|为定值时，点P的轨迹为一圆弧

C．当为定值时， 点P的轨迹为不含端点线段

D．当△AMN的周长为定值时，点P的轨迹为抛物线

三、填空题

6．，使得（）恒成立，则所有满足条件的a的和_____．

7．甲烷分子的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于四面体的中心，记四个氢原子分别为，，，，则_____．

8．如图，“爱心”是由曲线和所围成的封闭图形，在区域内任取一点A，则A取自“爱心”内的概率_____．

9．函数的对称中心为，则_____．

四、解答题

10．已知是曲线上的点，C在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交C于，C在处的切线交轴于，过作轴的垂线交C于点，C在处的切线交轴于，过作轴的垂线交C于，重复上述操，依次得到，，……，求．

11．已知半径为1的圆上有2022个点，求证：至少存在一个凸337边形，它的面积小于．（，）

12．函数的图像酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称为“对勾函数”．其图像是双曲线，其渐近线方程为（即轴）与．

(1)求C顶点的坐标与离心率；

(2)求C焦点坐标．

13．正数，满足，求证：．

14．求所有正整数n和素数p满足

15．甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．

参考答案：

1．A

【详解】由，则，

∵，∴与 具有相同的奇偶性，

则为奇数或者能被4整除，这与矛盾，

所以方程无整数解，

故选：A.

2．C

【详解】解法1．取平面与长方体的一个面平行或重合，

则在中有两个为0，四个为，

所以4.

故选：C.

解法2．建立如图的空间坐标系，

取的法向量为，长方体相邻三个面的法向量为，，，

∴

，

∴=6．

故选：C.

3．C

【详解】不妨设，，

∴，代入的方程得：

，

，

化简得．

代入得．

．

化简得．∴，∴，

故选C．

4．BC

【详解】设，最大正方形的边长为1，

小正方形的边长分别为．∵，

，

，

，，

所以C正确；

，

所以，所以B正确，

故选：BC.

5．ABC

【详解】建立如图的直角坐标设，则，，，，

对于A，当Rt△AMN面积为定值时，，

∴轨迹为双曲线一支，所以A正确．

对于B，若，则，是一圆弧，所以B正确．

对于C，当时，

，即为空端点线段，所以C正确．

对于D，当Rt△AMN的周长为定值时，

则，即，

∴，∴，

所以，轨迹为双曲线一支，所以D错误．

故选：ABC.

6．0

【详解】由得，

，

令，，，

，，在同一坐标下的图像如图所示：

由得，，

当时，，

由图对称性知，∴，

∴，∴元素之和为0，

故答案为：0.

7．

【详解】在面的射影为，，

则，∴，

又，∴，

即，∴，

∴，

所以，

故答案为：.

8．

【详解】解法1．区域的面积为，

爱心面积，

∴．

故答案为：.

解法2．在图中的阴影部分面积，

所以爱心面积为，∴．

故答案为：.

9．1

【详解】∵，

设

，

，

∴是奇函数，所以f(x)关于点对称，

∴．

故答案为：1.

10．

【详解】由得，∴，

∴，∴，

由知，∴，

，即，

∴数列是首项，公差为的等差数列，.

11．证明见解析

【详解】由于，

故将2022个点分成6组，则至少有一个组T的点数不小于337个，

将圆周六等分，，将T组的点都放在弧上（有两个点可能是A，B），

则凸337边形的面积小于弓形的面积，

而弓形的面积为，

∴至少存在一个凸337边形，它的面积小于.

12．(1)顶点坐标为，，离心率为；

(2)，.

【详解】（1）由于的两条渐近线为与，则它的中心为，

实轴所在的直线方程为，

由得或，

∴顶点坐标为，．

由于渐近线对实轴的夹角为，

∴离心率，

，∴.

（2）设焦点坐标为，则        ①

由得，，所以        ②

由①②联解得，．

∴焦点坐标为，．

13．证明见解析

【详解】

（柯西不等式），

由均值不等式可得，

令，，其中，

则，所以．

所以．

14．证明见解析

【详解】是唯一解．下面我们证明这个结论．

首先排除．假设．则，

显然地，等式左边不是4的倍数，但右边是4的倍数，矛盾！

因此为奇素数，于是也为奇数，

．由于，，

我们有，，

于是，因此，即，于是．

此时原式转化为，

显然地，若，．于是，当时，

，

此外，矛盾！

经验证得是唯一解．

15．甲没有必胜策略，理由见解析

【详解】将正方体的12条棱分成4组：

，

，．

当甲第一次涂红3条棱后，由抽屈原理知，上述4组棱中总有一组的3条棱均未被涂红．

乙只要将这一组的3条棱涂绿，则正方体的6个面就各有一条绿边．

可见，甲没有必胜策略．