2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）及答案

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

1．已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．

(1)求二次函数的解析式；

(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．

(1)求的面积；

(2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作交直线于点D，过点P作直线轴交直线于点E，求的最大值及此时P的坐标；

(3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．

3．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；

(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；

(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．

4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线经过B、C两点，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴交于点D，垂足为N，连接交x轴于点E，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，如图3，过点P作交y轴于点F，．点G在抛物线上，连接，，连接，求直线的解析式．

5．如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；

(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线y＝与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝CD．

(1)求b、c的值；

(2)求直线BD的直线解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

7．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0）， B（3，0），C（0，3）．

(1)求抛物线解析式；

(2)抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；

(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求的值．

8．如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；

(1)求k的值；

(2)点C为抛物线上一点，连接BC、AC，作CD⊥x轴于D，当∠BCA＝90°时，设CD长度为d，求d与a的函数关系式；

(3)抛物线顶点为S，作ST垂直AB于T，点Q为第一象限抛物线上一点，连接AQ交ST于点P，过B作x轴的垂线交AQ延长线于点E，连接OE交BQ于点G，过O作OE的垂线交AQ于点F，若OF＝OG，tan∠ABQ＝2时，连接SQ，求证：SQ＝SP．

9．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线．连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m．

(1)求的长度；

(2)连接，当的面积最大时，求点D的坐标；

(3)当m为何值时，与相似．

10．如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，设四边形和的面积分别为和，记，求最大值点的坐标及的最大值；

(3)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线经过点，点，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．

(1)求抛物线的函数解析式．

(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．

(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

12．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．

(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；

(2)连接AB，求∠B的余切值；

(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．

13．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

(1)求点C及顶点M的坐标．

(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值．

(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，抛物线L1：y＝ax2﹣2x＋c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．抛物线L2与L1关于x轴对称．

(1)求抛物线L1与L2的函数表达式；

(2)已知点E是抛物线L2的顶点，点M是抛物线L2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M向其对称轴作垂线交对称轴于P，是否存在这样的点M，使得以P、M、E为顶点的三角形与△BCD相似，若存在请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

15．综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点，的坐标分别为(2，0)，(0，3)，点与点关于轴对称，是直线上方抛物线上一动点，连接、交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；

(2)在点运动的过程中，求：的最大值；

(3)在轴上是不存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为S，求S关于的函数表达式指出自变量的取值范围和S的最大值；

(3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得∠CMN＝90°，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．

17．如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)求该抛物线的解析式与点P的坐标；

(2)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；

(3)连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，

①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；

②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（图（2）、图（3）供画图探究）

18．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

(1)则点A的坐标为_________，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________；

(2)设点，（其中）都在抛物线上，若，请证明：；

(3)已知点M是线段上的动点，点N是线段上方抛物线上的动点，若，且与相似，试求此时点N的坐标．

参考答案：

1．(1)

(2)函数的最大值为5，最小值为

(3)存在，或

2．(1)10；

(2)最大值为，；

(3)N点坐标为或或．

3．(1)，

(2)或

(3)

4．(1)

(2)

(3)

5．(1)

(2)或

(3)存在，

6．(1)

(2)y=

(3)Q1（，0）、Q2（，0）、Q3（，0）、Q4（，0）

7．(1)

(2)存在，

(3)的值为1

8．(1)k＝4

(2)

9．(1)4

(2)（，）

(3)当或时与相似

10．(1)

(2)，最大值为56

(3)存在，，，

11．(1)

(2)

(3)存在，点H的坐标为或

12．(1)；E（2，0）

(2)3

(3)M点的坐标为（5，0）或（7，0）

13．(1)C点坐标为（0，-3），顶点M的坐标为（1，-4）；

(2)

(3)P点的坐标为或（-1，-2）．

14．(1)抛物线L1：，抛物线L2：；

(2)或．

15．(1)，A(-3，0)；

(2)；

(3)存在，M(0，6)或(0，-6)

16．(1)

(2)S关于的函数表达式为，S的最大值是

(3)存在，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣）

17．(1)，顶点坐标为P（2，－1）

(2)

(3)①存在，或；②存在，点M的坐标为（2，2）；（2，－4）；（2，4）

18．(1)（1，0），（4，0），(0，2)；

(3)点N的坐标为（，）或（3，2）．