重庆市西南大学附属中学2023届高三数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

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2022~2023学年度上期学情调研

高三数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列，，则其前项的和

A． B． C． D．

3．设等比数列满足，，则（    ）

A．8 B．16 C．24 D．48

4．设，b=，c=ln，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b

5．已知正项等比数列的前项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，，中最大项为　　

A． B． C． D．

7．设是所在平面内一点，且，则（　　）

A． B． C． D．

8．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知（    ）

A．虚部为1 B． C． D．

10．已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（    ）

A．数列的通项公式为 B．

C．的取值范围是 D．数列的通项公式

11．下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在单调递增，在单调递增，则在上是单调递增.

C．函数与关于对称.

D．函数是上的增函数，若成立，则

12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（    ）

A． B． C． D．

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．如果复数为实数，则__________.

14．已知数列满足，则______．

15．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________

16．若对任意的正实数，均有恒成立，则是实数的最小值为______.

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知等比数列的前n项和为，且，，等差数列满足：，.

（1）求；

（2）若，求数列的前项和.

18．已知函数，

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，已知为锐角，,,求边的长.

19．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的利润是8元/件；每提高一个档次，利润每件增加2元，每提高一个档次，产量减少3件，在相同时间内，最低档次的产品可生产60件．问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第一档次）

20．已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.

(1)求的解析式；

(2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标.

21．已知数列满足.

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)证明： .

22．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的顶点为，且经过，，椭圆的上顶点满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点满足，点为抛物线上一动点，抛物线在处的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

参考答案

1．D

首先化简集合，然后根据交集运算即可求得结果.

解可得，所以.

所以.

故选：D.

2．C

选C.

3．A

利用等比数列的通项公式即可求解.

设等比数列的公比为，

则，解得

所以.

故选：A

本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.

4．B

利用指数函数、对数函数的单调性求解

,a= ,b>a>0,

c=<ln1=0，∴b>a>c

故选：B.

与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.

5．B

设公比为，由等比数列的定义可得，由此可以算出公比的值．把的值代入中，从而求出首项的值，然后利用等比数列的求和公式求出的值．

设公比为，有，，可得，所以．

故选：B．

6．C

根据所给条件可分析等差数列递减，且，据此可得出前n项和的变化规律，利用不等式性质得解.

因为，，所以 ，且，

所以，

所以，

当 时，

所以，中最大项为，

故选：C．

7．C

由平面向量的线性运算法则求解．

由向量的运算法则可得：，，∵，∴，所以，

故选：C.

8．A

由题得，再利用基本不等式求最值得解.

因为是与的等比中项，

所以.

所以

当且仅当时取等.

故选：A

本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．BCD

根据虚部的定义即可判断A；根据共轭复数及复数的乘法运算即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的加法运算即可判断D.

解：因为，

所以虚部为，故A错误；

，，故B正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

10．BCD

根据已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.

设等比数列的公比为，则，可得，

因为，即，解得，，A错；

，B对；

，D对；

，

，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.

故选：BCD.

11．ACD

对于A，运用三角函数的诱导公式可判断；

对于B，由函数的单调性的定义可判断.

对于C，设函数上任意一点，得出上的对应点为，再得出的对应点为，由两点的位置关系可判断.

对于D，设，则有函数是上的增函数，再得，即有，由此可判断.

解：对于A，，故A正确；

对于B，函数在单调递增，在单调递增，则在上不一定单调递增，故B不正确.

对于C，设函数上任意一点，则将函数向左平移2个单位得函数，此时对应点为，

将函数关于y轴对称得函数，此时对应点为，再将函数的图象向右平移2个单位得，此时对应点为，

而点与有，所以点与关于对称，

所以函数与关于对称，故C正确.

对于D，设，因为函数是上的增函数，所以函数是上的增函数，

因为，所以，即，

所以，

所以，即，故D正确.

故选：ACD.

12．BD

首先根据条件构造函数，，根据得到在上单调递减，从而得到，再化简即可得到答案.

由及，得.

设函数，，

则，

所以在上单调递减，从而，

即，

所以，，，.

故选：BD

13．

利用复数的运算法则有：，

满足题意时，虚部，解方程可得：.

14．33

由递推关系，结合关系式可求.

由题设知，，所以，又，

所以．

故答案为：33.

15．

根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.

不妨设，，

因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，

所以也是的一个虚数根，

从而  ①，

又因为无实根，

所以  ②，

由①②可得，，

因为，所以，

由一元二次函数性质易知，

当时，有最小值5；当时，；当时，，

故当时，，即，

故向量的取值范围为：.

故答案为：.

16．

由题意可得，对原不等式化简，构造函数，求导，讨论函数的单调区间，可得在上单调递增

，进而，利用参变分离的方法，求出参数的取值范围.

由，可知当时，

且

令，，

在单调递减，在单调递增，，

∴在上单调递增

时，，，而

∴，

设，，

当，单调递增

当，单调递减

，所以

故答案为：

本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于难题.

17．（1）；（2）

（1）首先根据已知条件得到，从而得到，再解方程组即可.

（2）首先根据（1）得到，再利用分组求和求解即可.

（1），所以，即.

所以，

所以.

（2），

.

18．（1）；（2）.

（1）化简可得，可得的最小正周期；

（2）由，可得，由正弦定理可得的长.

解：（1）由题意得，

可得，

可得；

（2）由题意：，可得，

，，

由正弦定理得，

可得.

19．9档次的产品．

先探求10个档次的产品的每件利润关系式，以及10个档次的产品相同时间内的产量关系式，可得利润，最后根据二次函数性质求最大值.

10个档次的产品的每件利润构成等差数列：

8，10，12，…，，

10个档次的产品相同时间内的产量构成等差数列：

60，57，54，…， ，

∴在相同时间内，生产第n个档次的产品获得的利润为

．

当时，（元）

∴生产低9档次的产品可获得最大利润．

20．(1)

(2)

（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出，再根据函数图象关于对称，结合，求出，从而求出函数解析式；

（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.

（1）

依题意可得

解得，

则，因为的图象关于直线对称，所以，

又，所以.

故.

（2）

依题意可得，

令，得，

故曲线的对称中心的坐标为.

21．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.

试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.

（2）由（1）知：，所以，

因为当时，，所以，于是=，

所以.

【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.

考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.

22．（1）； （2）.

（1）求得抛物线的顶点，求得F1，可得c=1，再由向量共线的坐标表示，可得b=1，进而得到a，即有椭圆方程；

（2）运用向量共线的坐标表示，求得PQ的斜率，设出PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值．

（1）由抛物线，可得，，

设椭圆的焦距为，则有，

又由可得，

，，

故椭圆的方程为.

（2）设点，

由得，.

直线，

联立消去整理得，，

由，得，设，，

由根与系数关系可得，

，，

，

.

设，由得故.

而点到直线的距离为：.

，

，故当时，.

解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用二次函数的性质求三角形面积最值的.