四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第三次月考理科数学试题（解析版）

内江六中2022—2023学年（上）高2023第三次月考

理科数学试题

考试时间：120分钟        满分：150分

命题人：田显国  兰婷    审题人：李世和  兰婷

第Ⅰ卷  选择题（满分60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1. 已知集合，，，，则等于　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出与中函数的值域确定出与，求出两集合的交集即可．

【详解】解：由中的函数，，得到，即，

由中的函数，，得到，即，，

则．

故选：．

2. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】，

因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.

3. 数列中，，，若，则（    ）

A. 10 B. 9 C. 11 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】根据递推关系求得，由此列方程求得.

【详解】，

令，则，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，

由得.

故选：B

4. 割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为，

所以，半径为的圆的内接正十二边形的面积为，

因此，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

5. 函数在处的切线如图所示，则（    ）

A. 0 B.  C.  D. -

【答案】A

【解析】

【分析】根据切线过和，利用斜率公式求得，写出切线方程，再令，求得即可.

【详解】因为切线过和，所以，

所以切线方程为，

令，则，

所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

6. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

7. 在中，若，则一定是（    ）

A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形

C. 直角三角形 D. 等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用化简可得，即可判断.

【详解】，

，即，

，，即，

所以一定是等腰三角形.

故选：B.

8. 已知函数，若.且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

画出的图象，数形结合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案

【详解】的图象如下：

因为.且

所以且

所以，所以

所以

当且仅当，即时等号成立

故选：B

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题.

9. 设函数，=（    ）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数解析式、对数运算求得正确答案.

【详解】，

，

，

所以.

故选：C

10. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由题可得存在满足

,

令,

因为函数和在定义域内都是单调递增的,

所以函数在定义域内是单调递增的,

又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),

所以,

故选：B.

考点：指对数函数 方程 单调性

11. 已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为

A. （-∞，1-e] B. （-∞，-3] C. （-∞，-2] D. （-∞，2- e2]

【答案】B

【解析】

【分析】

化简得到，根据化简得到答案.

【详解】根据题意：.

设，则，

则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.

根据，，故.

故选：.

【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.

12. 已知为定义在上的奇函数，且满足，已知时，，若，，，则的大小关系为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．

【详解】为定义在R上奇函数，且满足，

，

则，

即，则函数的周期是4，

时，，增函数，则在上为增函数，

，

，

，

，

即，

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．

第Ⅱ卷  非选择题（满分90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 在二项式的展开式中，含的项的系数是________．

【答案】10

【解析】

【详解】分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数，再确定对应项系数.

详解： ，

所以令得 ，即含的项的系数是

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

14. 设，向量，且，则_______________________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据求出的值，再求得解.

【详解】因为，

所以,

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

15. 已知函数有两个零点，a的取值范围是_____；

【答案】

【解析】

【分析】首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．

【详解】解：因为

所以．

（i）设，则，只有一个零点．

（ii）设，则当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

又，，取满足且，则

，故存两个零点．

（iii）设，由得或．

若，则，故当时，，

因此在上单调递增．又当时，，

所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；

当时，．因此在上单调递减，

在上单调递增．又当时，，

所以不存在两个零点．综上可得的取值范围为．

故答案为：

16. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点

③在单调递增④的取值范围是

其中所有正确结论的编号是______.

【答案】①③④

【解析】

【分析】对①②可以通过作图判别，对于④令，根据题意得到不等式，解出范围即可，对于③证明出当时,即可.

【详解】已知在有且仅有5个零点，如图，

其图象的右端点的横坐标在上,此时在有且仅有3个极大值点,但在可能有2或3个极小值点,所以①正确, ②不正确;

令,

且,

在上有且仅有5个零点,

在上有且仅有5个零点,

,故④正确.

当时,,

又,

,

在上单调递增.

在上单调递增,故③正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点睛：令,利用整体思想将原函数转化为来研究.

(2)当时,的图象可由的图象经过平移、伸缩变换得到,的增、减区间可通过讨论的增、减区间得到.

三、解答题（共70分）

（一）必考题（共60分）

17. 已知函数f(x)＝x3－x2＋x.

（1）求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；

（2）当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.

【答案】（1）y＝x与y＝x－；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）对f(x)求导，求出曲线y＝f(x)的斜率为1时切线方程所经过的切点，从而求出答案;

（2）构造g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4]，利用导函数求出g(x)的最值，从而得出结论.

【详解】（1）由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.

令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.

又f(0)＝0，

所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与，

即y＝x与y＝x－.

（2）证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4]．

由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.

令g′(x)＝0得x＝0或x＝.

g′(x)，g(x)的情况如下：

所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.

故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.

【点睛】本题考查求曲线某点的切线方程以及利用导函数求函数的最值，属于基础题.

18. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨．为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的．

（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？

（2）现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记使用过政府消费券的人数为X，求随机变量X的概率分布列与期望．

附：，其中．

【答案】（1）表格见解析，有90%的把握   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此做出判断.

（2）结合超几何分布的知识计算出分布列并求得数学期望.

【小问1详解】

由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，

没使用过政府消费券的人数为人，

完成表格如下：

由列联表可知，

因为3.571＞2.706，所以有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关.

【小问2详解】

由题意可知，从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人

∵X是使用过政府消费券的人数，

∴X＝1，2，3，

，，，

故随机变量X的概率分布列为：

其期望为.

19. 已知数列满足.

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)证明： .

【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.

试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.

（2）由（1）知：，所以，

因为当时，，所以，于是=，

所以.

易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.

考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.

20. 已知函数.

（1）求的最小正周期和单调增区间；

（2）在中，角的对边分别为.若，，求的面积的取值范围.

【答案】（1），单调递增区间是，.（2）

【解析】

【分析】（1）由二倍角公式可得，结合正弦函数的性质可得的周期以及单调递增区间；

（2）由可得，所以，，结合，进一步可得，即可得到答案.

【详解】（1）

∴的周期，

由，得

所以的单调递增区间是，.

（2）∵，即，又，

∴，由正弦定理有

∴

∵，∴

∴.

【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数以及解三角形中的应用，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

21. 函数，．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当，时，恒成立，求正整数m的最大值．

【答案】（1）答案见解析   

（2）3

【解析】

【分析】（1）先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）由分离常数，然后通过构造函数法，结合导数求得的取值范围，进而求得正整数的最大值.

【小问1详解】

函数定义域是，，

①当时，，当时，，

即函数的减区间为，无递增区间；

②当时，，令有；

又∵  ∴，，

此时函数的减区间为和，

增区间为，

综上所述，①当时，函数的减区间为，无递减区间；

②当时，函数的减区间为和，增区间为.

【小问2详解】

∵，时，恒成立，

∴在恒成立，

令，，

∴，

∵ ，∴.

令，则，∴在为增函数，

∵在上是连续曲线且，，

∴使得，即，，

当时，，即，

即函数在单调递减；

当时，，即，

即函数在单调递增，

∴

，

∵函数在上单调递减，

∴，

∴当时，不等式在恒成立，

故满足条件的正整数的最大值是3.

【点睛】本题有两个关键点，一个是含有参数的函数讨论函数的单调区间，另一个是多次求导来求得函数的单调区间.前者分类讨论要做到不重不漏，后者要注意原函数和导函数之间的对应关系.

（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.

试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知

|OP|=，=.

由|OP|=16得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为.

（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积

当时， S取得最大值.

所以△OAB面积的最大值为.

点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

23. 已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．

（1）求证：

（2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，m∈[－2，2].

【解析】

【分析】（1）利用“”的代换的方法化简，利用基本不等式证得不等式成立.

（2）首先利用基本不等式求得的最小值，然后根据一元二次不等式恒成立列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】(1)因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，

所以＋＋

＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

＝

≥(3＋2＋2＋2)＝，

当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，

所以＋＋≥得证．

(2)因为a＋b＋c＝3，

所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，

因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，

所以(a2＋b2＋c2)min＝3，

由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，

即得x2－mx＋1≥0恒成立，

因此＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.

故存在实数m∈[－2，2]使不等式成立．

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式，考查利用基本不等式求最值，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.