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    广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案

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    这是一份广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.若,则    A B C D2.若向量,则    A B4 C5 D3.双曲线的渐近线方程是(    A B C D4.椭圆的左顶点到右焦点的距离为(  )A2 B3 C4 D65.记等差数列的前项和为,若,则    A24 B36 C48 D646已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9=a12+6a2=4,则数列{}的前20项的和为(  )A B C D7已知是椭圆的两个焦点,上的一点,若,且,则的离心率为A B C D8.阿基米德(公元前287年~公元前212)是古希腊伟大的物理学家,数学家和天文学家,并享有数学之神的称号.他研究抛物线的求积法,得出了著名的阿基米德定理.在该定理中,抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.若抛物线上任意两点处的切线交于点,则阿基米德三角形,且当线段经过抛物线的焦点时,具有以下特征:(1点必在抛物线的准线上;(2;(3.若经过抛物线的焦点的一条弦为阿基米德三角形,且点在直线上,则直线的方程为(     A BC D 二、多选题9.下列关于抛物线的说法正确的是(    A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可能为10.已知曲线,下列说法正确的是(    A.若,则是两条直线B.若,则是圆,其半径为C.若,则是椭圆,其焦点在轴上D.若,则是双曲线,其渐近线方程为11.已知直线与圆,点,则下列说法正确的是(    A.若点在圆上,则直线与圆相切B.若点在圆内,则直线与圆相交C.若点在圆外,则直线与圆相离D.若点在直线上,则直线与圆相切12.对于数列,定义优值”.现已知数列优值,记数列的前项和为,则下列说法正确的是(    A BC D的最小值为 三、填空题13.已知,若,则________.14.记为数列的前项和,若,则_____________15是双曲线的两个焦点,点是双曲线上一点,且,则的面积为_____.16.已知椭圆C的上顶点为A,两个焦点为,离心率为.过且垂直于的直线与C交于DE两点,,则的周长是________________ 四、解答题17.(1)已知椭圆的焦点坐标分别为;求椭圆的标准方程.2)已知双曲线经过两点,求此双曲线的标准方程.18.已知是等差数列的前n项和.1)证明是等差数列;2)设为数列的前n项和,若,求19.如图,在四棱雉中,底面满足底面,且.(1)求证:平面平面(2)求平面与平面的夹角余弦值.20.已知直线与椭圆相交于两点,且线段的中点(1)求直线的方程;(2)的面积.21.新能源汽车的发展有着诸多的作用,不仅能够帮助国家减少对石油的依赖,同时还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数(2)若该市计划7年内完成全部更换,求a的最小值.22.已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为(1)C的方程;(2)F的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点,点C上,且.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:M上;注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    参考答案:1A【分析】应用空间向量减法运算律计算即可.【详解】解析:故选:.2D【分析】由空间向量坐标的加减运算,和模长公式计算即可.【详解】解析:由题意,得.故选:D.3D【分析】依据双曲线性质,即可求出.【详解】由双曲线得, ,即所以双曲线的渐近线方程是故选:D【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程,一般地双曲线的渐近线方程是;双曲线的渐近线方程是4D【分析】利用椭圆的方程得到左顶点和右焦点的坐标,即可得到答案【详解】由可得所以椭圆的左顶点到右焦点的距离为故选:D.5C【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可.【详解】因为,所以所以.故选:C6B【分析】 及等差数列通项公式得a1+5d=12,又a2=4=a1+d,解得a1d,可得Sn.再利用裂项求和方法即可得出.【详解】及等差数列通项公式得a1+5d=12,又a2=4=a1+d∴a1=2=d 数列{}的前20项的和为故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7D【详解】分析:设,则根据平面几何知识可求,再结合椭圆定义可求离心率.详解:在中,,则又由椭圆定义可知则离心率故选D.点睛:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;焦点三角形是椭圆问题中的常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义.8A【分析】首先根据题意可得到点在抛物线的准线上,又在直线上,从而可求出点的坐标;根据,即可求出直线的斜率,从而可求出直线的方程.【详解】根据题意,可知点在抛物线的准线上,又点在直线上,所以,又,所以因为,所以,所以直线的方程为,即.故选:A.9BD【分析】根据抛物线的焦点、抛物线的定义等知识确定正确选项.【详解】抛物线的焦点在x轴上,B正确,A错误;上的一点,则,所以C错误;由于抛物线的焦点为,过该焦点的直线方程为,若由原点向该直线作垂线,垂足为时,则,此时存在符合题意的垂线,所以D正确.故选:BD10AD【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程,然后逐一分析,即可求解.【详解】因为曲线,则,即表示两条直线,所以A选项正确;,则,即是以为圆心,半径为的圆,所以B选项错误;,即,则,即是焦点在轴上的椭圆,所以C选项错误;,则,即是渐近线方程为的双曲线,所以D选项正确.故选:AD.11AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可.【详解】解:圆心到直线的距离若点在圆上,所以则直线与圆相切,故A正确;若点在圆内,则所以则直线与圆相离,故B错误;若点在圆外,则所以则直线与圆相交,故C错误;若点在直线上,则所以直线与圆相切,故D正确.故选:AD12ACD【分析】根据所给,可得当时,,利用作差的方法求出判断A,再由等差数列求和公式求出判断B,由分析数列的项的符号变化情况判断C,求出判断D.【详解】由题意可知,,则时,时,①-②得,,解得,当时也成立,A正确;B错误;,当时,即,且,故当9时,的前项和取最小值,最小值为CD正确.故选:ACD.13【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.【详解】因为,所以.所以,,解得,所以.故答案为:14【分析】首先根据题中所给的,类比着写出,两式相减,整理得到,从而确定出数列为等比数列,再令,结合的关系,求得,之后应用等比数列的求和公式求得的值.【详解】根据,可得两式相减得,即时,,解得所以数列是以-1为首项,以2为公比的等比数列,所以,故答案是.点睛:该题考查的是有关数列的求和问题,在求解的过程中,需要先利用题中的条件,类比着往后写一个式子,之后两式相减,得到相邻两项之间的关系,从而确定出该数列是等比数列,之后令,求得数列的首项,最后应用等比数列的求和公式求解即可,只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.15【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出,设,根据双曲线定义和余弦定理解焦点三角形,列出两个方程,解得,利用面积公式可求得答案。【详解】是双曲线的两个焦点,是双曲线上一点,且,解得的面积故答案为:.1613【分析】利用离心率得到椭圆的方程为,根据离心率得到直线的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率,写出直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,利用弦长公式求得,得,根据对称性将的周长转化为的周长,利用椭圆的定义得到周长为.【详解】椭圆的离心率为椭圆的方程为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,为正三角形,且垂直于的直线与C交于DE两点,为线段的垂直平分线,直线的斜率为,斜率倒数为, 直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:判别式, 得为线段的垂直平分线,根据对称性,的周长等于的周长,利用椭圆的定义得到周长为.故答案为:13. 17.(1;(2【分析】(1)根据椭圆的焦点位置及,求出,得椭圆方程;2)设双曲线的方程为,代入点求出得解.【详解】(1)由焦点坐标分别为,则椭圆焦点在轴上,因为,所以所以椭圆方程为:.2)设双曲线的方程为将点的坐标代入双曲线方程可得解得因此,双曲线的标准方程为.18.(1)证明见解析;(2【分析】(1)写出,求出,化简,最终得出结论;2)求出,求出公差,进一步求出,根据求和公式得出.【详解】(1是等差数列; 2公差.19(1)证明见解析(2) 【分析】(1)由线面垂直得,即可进一步证平面,最后证平面平面2)由线面垂直证,即可以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,由向量法求平面与平面的夹角余弦值.【详解】(1底面平面.平面平面平面平面平面2底面平面以点A为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设平面的法向量是,则,即,令,则,于是由(1)知平面,故可取平面的法向量为设平面与平面的夹角为锐角.平面与平面的夹角的余弦值为.20(1)(2) 【分析】(1)由题意利用点差法确定直线的斜率,然后求解直线方程即可;(2)首先求得弦长,然后求得三角形的高,最后计算其面积即可.【详解】(1)由斜率公式可知,设 代入椭圆方程得到: 化简得到 所以直线方程为所以直线的方程为2)将直线方程与椭圆方程联立,可得 由弦长公式得到再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线的距离所以的面积21(1)(2)147. 【分析】(1)根据给定条件可得每年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依次排成一列分别构成等比数列、等差数列,求出它们的前n项和即可.(2)利用(1)的结论列出不等式,解此不等式并求出最小值即可作答.【详解】(1)设分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列是首项为128,公比为的等比数列,是首项为400,公差为a的等差数列,于是得的前n项和的前n项和所以经过n年,该市被更换的公交车总数为.2)若计划7年内完成全部更换,则于是得,即,解得,于是得a的最小值为147所以a的最小值147.22(1)(2)见解析 【分析】(1)利用焦点坐标求得的值,利用渐近线方程求得的关系,进而利用的平方关系求得的值,得到双曲线的方程;2)先分析得到直线的斜率存在且不为零,设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),③|AM|=|BM|等价分析得到;由直线的斜率得到直线方程,结合双曲线的方程,两点间距离公式得到直线PQ的斜率,由等价转化为,由在直线上等价于,然后选择两个作为已知条件一个作为结论,进行证明即可.【详解】(1)右焦点为,∵渐近线方程为∴C的方程为:2)由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,若选由①②或选由②③:由成立可知直线的斜率存在且不为零;若选①③,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知轴上,即为焦点,此时由对称性可知关于轴对称,与从而,已知不符;总之,直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件上,等价于两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得:,线段中点为,,,则条件等价于,移项并利用平方差公式整理得:,,由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,,,所以直线的斜率,直线,,代入双曲线的方程,中,得:,解得的横坐标:,同理:,条件等价于综上所述:条件上,等价于条件等价于条件等价于①②③:①②解得:,∴③成立;①③①③解得:∴②成立;②③②③解得:∴①成立.  

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