广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案
展开
这是一份广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
广东省茂名市电白区2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.若,,则( )A. B. C. D.2.若向量,,则( )A. B.4 C.5 D.3.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.4.椭圆的左顶点到右焦点的距离为( )A.2 B.3 C.4 D.65.记等差数列的前项和为,若,则( )A.24 B.36 C.48 D.646.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9=a12+6,a2=4,则数列{}的前20项的和为( )A. B. C. D.7.已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为A. B. C. D.8.阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的物理学家,数学家和天文学家,并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法,得出了著名的阿基米德定理.在该定理中,抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.若抛物线上任意两点处的切线交于点,则为“阿基米德三角形”,且当线段经过抛物线的焦点时,具有以下特征:(1)点必在抛物线的准线上;(2);(3).若经过抛物线的焦点的一条弦为,“阿基米德三角形”为,且点在直线上,则直线的方程为( )A. B.C. D. 二、多选题9.下列关于抛物线的说法正确的是( )A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可能为10.已知曲线,下列说法正确的是( )A.若,,则是两条直线B.若,则是圆,其半径为C.若,则是椭圆,其焦点在轴上D.若,则是双曲线,其渐近线方程为11.已知直线与圆,点,则下列说法正确的是( )A.若点在圆上,则直线与圆相切B.若点在圆内,则直线与圆相交C.若点在圆外,则直线与圆相离D.若点在直线上,则直线与圆相切12.对于数列,定义为的“优值”.现已知数列的“优值”,记数列的前项和为,则下列说法正确的是( )A. B.C. D.的最小值为 三、填空题13.已知,,若,则________.14.记为数列的前项和,若,则_____________.15.,是双曲线的两个焦点,点是双曲线上一点,且,则的面积为_____.16.已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________________. 四、解答题17.(1)已知椭圆的焦点坐标分别为,,;求椭圆的标准方程.(2)已知双曲线经过、两点,求此双曲线的标准方程.18.已知是等差数列的前n项和.(1)证明是等差数列;(2)设为数列的前n项和,若,,求.19.如图,在四棱雉中,底面满足,,底面,且,.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面的夹角余弦值.20.已知直线与椭圆相交于,两点,且线段的中点.(1)求直线的方程;(2)求的面积.21.新能源汽车的发展有着诸多的作用,不仅能够帮助国家减少对石油的依赖,同时还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数;(2)若该市计划7年内完成全部更换,求a的最小值.22.已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①M在上;②;③.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
参考答案:1.A【分析】应用空间向量减法运算律计算即可.【详解】解析:故选:.2.D【分析】由空间向量坐标的加减运算,和模长公式计算即可.【详解】解析:由题意,得,.故选:D.3.D【分析】依据双曲线性质,即可求出.【详解】由双曲线得, ,即 ,所以双曲线的渐近线方程是,故选:D.【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程,一般地双曲线的渐近线方程是;双曲线的渐近线方程是.4.D【分析】利用椭圆的方程得到左顶点和右焦点的坐标,即可得到答案【详解】由可得,所以椭圆的左顶点到右焦点的距离为,故选:D.5.C【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可.【详解】因为,所以,所以.故选:C6.B【分析】由 及等差数列通项公式得a1+5d=12,又a2=4=a1+d,解得a1,d,可得Sn.再利用裂项求和方法即可得出.【详解】由及等差数列通项公式得a1+5d=12,又a2=4=a1+d,∴a1=2=d, ∴ ,∴数列{}的前20项的和为 ,故选B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.D【详解】分析:设,则根据平面几何知识可求,再结合椭圆定义可求离心率.详解:在中,设,则,又由椭圆定义可知则离心率,故选D.点睛:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义.8.A【分析】首先根据题意可得到点在抛物线的准线上,又在直线上,从而可求出点的坐标;根据,即可求出直线的斜率,从而可求出直线的方程.【详解】根据题意,可知点在抛物线的准线上,又点在直线上,所以,又,所以,因为,所以,所以直线的方程为,即.故选:A.9.BD【分析】根据抛物线的焦点、抛物线的定义等知识确定正确选项.【详解】抛物线的焦点在x轴上,B正确,A错误;设是上的一点,则,所以C错误;由于抛物线的焦点为,过该焦点的直线方程为,若由原点向该直线作垂线,垂足为时,则,此时存在符合题意的垂线,所以D正确.故选:BD10.AD【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程,然后逐一分析,即可求解.【详解】因为曲线,若,,则:和,即表示两条直线,所以A选项正确;若,则,即是以为圆心,半径为的圆,所以B选项错误;若,即,则,即是焦点在轴上的椭圆,所以C选项错误;若,则,即是渐近线方程为的双曲线,所以D选项正确.故选:AD.11.AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可.【详解】解:圆心到直线的距离,若点在圆上,则,所以,则直线与圆相切,故A正确;若点在圆内,则,所以,则直线与圆相离,故B错误;若点在圆外,则,所以,则直线与圆相交,故C错误;若点在直线上,则,即,所以,直线与圆相切,故D正确.故选:AD.12.ACD【分析】根据所给,可得当时,,利用作差的方法求出判断A,再由等差数列求和公式求出判断B,由分析数列的项的符号变化情况判断C,求出判断D.【详解】由题意可知,,则①,当时,,当时,②,①-②得,,解得,当时也成立,,A正确;,B错误;,当时,即,且,故当或9时,的前项和取最小值,最小值为,CD正确.故选:ACD.13.【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.【详解】因为,所以.所以,,解得,所以.故答案为:14.【分析】首先根据题中所给的,类比着写出,两式相减,整理得到,从而确定出数列为等比数列,再令,结合的关系,求得,之后应用等比数列的求和公式求得的值.【详解】根据,可得,两式相减得,即,当时,,解得,所以数列是以-1为首项,以2为公比的等比数列,所以,故答案是.点睛:该题考查的是有关数列的求和问题,在求解的过程中,需要先利用题中的条件,类比着往后写一个式子,之后两式相减,得到相邻两项之间的关系,从而确定出该数列是等比数列,之后令,求得数列的首项,最后应用等比数列的求和公式求解即可,只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.15.【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出,设,,根据双曲线定义和余弦定理解焦点三角形,列出两个方程,解得,利用面积公式可求得答案。【详解】,是双曲线的两个焦点,,,设,,点是双曲线上一点,且,,解得的面积故答案为:.16.13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为,根据离心率得到直线的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率,写出直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,利用弦长公式求得,得,根据对称性将的周长转化为的周长,利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴椭圆的方程为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,∴直线的斜率为,斜率倒数为, 直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,判别式,∴,∴ , 得, ∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得到周长为.故答案为:13. 17.(1);(2)【分析】(1)根据椭圆的焦点位置及,求出,得椭圆方程;(2)设双曲线的方程为,代入点求出得解.【详解】(1)由焦点坐标分别为,,则椭圆焦点在轴上,且,因为,所以所以椭圆方程为:.(2)设双曲线的方程为,将点、的坐标代入双曲线方程可得,解得,因此,双曲线的标准方程为.18.(1)证明见解析;(2)【分析】(1)写出,求出,化简,最终得出结论;(2)求出,,求出公差,进一步求出,根据求和公式得出.【详解】(1)∵∴∴∴是等差数列; (2),公差又∵∴∴∴.19.(1)证明见解析(2) 【分析】(1)由线面垂直得,即可进一步证平面,最后证平面平面;(2)由线面垂直证,,即可以,,所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,由向量法求平面与平面的夹角余弦值.【详解】(1)底面,平面,.,,、平面,平面,平面,平面平面;(2)底面,平面,,,又,∴以点A为原点,分别以,,所在直线为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的法向量是,则,即,令,则,,于是,由(1)知平面,故可取平面的法向量为,设平面与平面的夹角为锐角,.平面与平面的夹角的余弦值为.20.(1)(2) 【分析】(1)由题意利用点差法确定直线的斜率,然后求解直线方程即可;(2)首先求得弦长,然后求得三角形的高,最后计算其面积即可.【详解】(1)由斜率公式可知,设 代入椭圆方程得到: 化简得到 所以直线方程为,所以直线的方程为.(2)将直线方程与椭圆方程联立,可得, 由弦长公式得到,再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线的距离,所以的面积.21.(1);(2)147. 【分析】(1)根据给定条件可得每年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依次排成一列分别构成等比数列、等差数列,求出它们的前n项和即可.(2)利用(1)的结论列出不等式,解此不等式并求出最小值即可作答.【详解】(1)设分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列是首项为128,公比为的等比数列,是首项为400,公差为a的等差数列,于是得的前n项和,的前n项和,所以经过n年,该市被更换的公交车总数为.(2)若计划7年内完成全部更换,则,于是得,即,解得,而,于是得a的最小值为147,所以a的最小值147.22.(1)(2)见解析 【分析】(1)利用焦点坐标求得的值,利用渐近线方程求得的关系,进而利用的平方关系求得的值,得到双曲线的方程;(2)先分析得到直线的斜率存在且不为零,设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到;由直线和的斜率得到直线方程,结合双曲线的方程,两点间距离公式得到直线PQ的斜率,由②等价转化为,由①在直线上等价于,然后选择两个作为已知条件一个作为结论,进行证明即可.【详解】(1)右焦点为,∴,∵渐近线方程为,∴,∴,∴,∴,∴.∴C的方程为:;(2)由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线的斜率存在且不为零;若选①③推②,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称,与从而,已知不符;总之,直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上,等价于;两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得:设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得:,,即,即;由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中,得:,解得的横坐标:,同理:,∴∴,∴条件②等价于,综上所述:条件①在上,等价于;条件②等价于;条件③等价于;选①②推③:由①②解得:,∴③成立;选①③推②:由①③解得:,,∴,∴②成立;选②③推①:由②③解得:,,∴,∴,∴①成立.
相关试卷
这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题,共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023-2024学年广东省茂名市电白区高二上学期期中数学试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题,未知等内容,欢迎下载使用。
这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期中数学试题,共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。