河北省武强中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题及答案

河北省武强中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是 (　 　)

A．(－∞，1] B．(－1,1) C．(2,5) D．(1，＋∞)

4．如果， ，那么直线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．如果双曲线的渐近线方程为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知条件，条件表示焦点在轴上的椭圆，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

7．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知集合，集合，且，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

9．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ）

A．2 B． C． D．0

10．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（    ）

A．5 B．4 C． D．

11．已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（    ）

A．a2=25，b2=16 B．a2=9，b2=25

C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D．a2=25，b2=9

12．已知圆和圆交于P，Q两点，则（    ）

A．两圆有两条公切线

B．垂直平分线段

C．直线的方程为

D．线段的长为

三、填空题

13．椭圆的焦距长为__________．

14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15．已知是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为则的最小值为____________.

16．已知，，分别是椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的方程无实根，则椭圆的离心率的取值范围是_______________________.

四、解答题

17．已知直线，.

（1）当时，求实数的值；

（2）当时，求直线与之间的距离.

18．已知四边形是平行四边形，，， ，且为线段的中点.

（1）求线段的垂直平分线的一般方程；

（2）直线经过点，且，求在轴上的截距．

19．（1）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为，求此双曲线的标准方程；

（2）求以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程．

20．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．

21．已知双曲线是其两个焦点，点在双曲线上.

（1）若，求的面积；

（2）若的面积是多少？若的面积又是多少？

22．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.

（1）求E的方程：

（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.

参考答案：

1．B

【分析】原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，从而求得斜率.

【详解】原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.

故选：.

2．D

【解析】根据题意可得，再利用，即可求解.

【详解】由题意可得，

又，可得，

整理可得，

所以.

故选：D

【点睛】本题考查了椭圆的离心率，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.

3．B

【分析】点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1,选B.

4．D

【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.

【详解】由可得，，

因为，，故，.

故直线不经过第四象限.

故选：D

5．A

【分析】根据双曲线的渐近线方程，确定，的关系，再确定椭圆几何量之间的关系，即可求得结论．

【详解】解：由题意，，

椭圆中，，，，

，

故选：A．

【点睛】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

6．A

【分析】根据题意，由椭圆标准方程得形式可得：当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，反之不一定成立，由充分必要条件的定义即可得到答案.

【详解】根据题意，方程，

当时，则，其表示焦点在轴上的椭圆，

反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，但不一定成立，

故条件是条件表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，椭圆的标准方程与性质，属于基础题.

7．A

【分析】利用，转化，即得解

【详解】由，可得

可解的，

故双曲线的渐近线方程为，

故选：A.

8．C

【分析】由题意结合曲线的几何意义数形结合求解a的取值范围即可.

【详解】由题意可得，集合A表示单位圆的下半部分，集合B表示斜率为2的直线，

如图所示，考查临界情况：

当直线过点时：，解得；

联立直线方程：可得：，

令可得：，

很明显图中相切时，据此可得的取值范围是.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．AD

【解析】求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果.

【详解】因为圆的圆心为，

所以圆心到直线的距离为，所以或.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：掌握点到直线的距离公式是解题关键.

10．BC

【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.

【详解】由可得，，所以，

根据对称性只需考虑或，

当时，将代入可得，

如图：，，所以的面积为，

当时，由椭圆的定义可知：，

由勾股定理可得，

因为，

所以，解得：，

此时的面积为，

综上所述：的面积为或.

故选：BC.

11．ABC

【解析】由椭圆与椭圆有相同的长轴可确定椭圆的焦点位置且，然后再结合条件可得到，进而可得答案．

【详解】椭圆的长轴长为10，椭圆的短轴长为6，

由题意可知椭圆的焦点在x轴上，即有，.故只有D对

故选：ABC

【点睛】本题考查椭圆中基本量的判定，解题的关键是掌握椭圆标准方程的特征，特别是注意焦点在标准方程中大的分母对应的变量所在的轴上，属于基础题．

12．ACD

【解析】根据圆和圆的位置关系判断A；数形结合可知垂直线段但不平分线段，圆和圆的方程相减判断C；先求得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解判断D.

【详解】对于A：因为圆和圆交于P，Q两点，所以两圆有两条公切线，故正确；

对于B：数形结合可知垂直线段但不平分线段，故错误；

对于C：圆和圆的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；

对于D:圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故正确；

故选：ACD.

13．2

【分析】根据椭圆方程求出，进而可求出结果.

【详解】因为椭圆中，，所以，

所以焦距为.

故答案为2

【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型.

14．

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

15．

【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此确定出圆的半径，设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值.

【详解】圆的标准方程为，则圆的半径为，

设，则，

因为，

所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将表示为有关的形式，通过统一变量利用基本不等式简化求最值的方法，其中的计算需要借助圆的半径去完成.

16．

【分析】根据判别式为负可求的关系，从而可求离心率的取值范围.

【详解】由题有，即，

故，得或，而，∴.

故答案为：

17．（1）；（2）.

【分析】（1）由直线方程的一般式中两直线垂直的系数关系求解即可；

（2）由直线方程的一般式中两直线平行的系数关系与两平行线的距离公式求解即可

【详解】（1）因为，

所以，

解得.

（2）因为，

所以，

解得或1.

当时，直线与重合，不合题意，舍去；

当时，直线的方程为，

直线的方程为，

即，

所以所求距离.

18．（1）；（2）6.

【分析】（1）先由已知条件求出坐标，再求，从而得到的斜率，最后用点斜式求解并化简即可；

（2）先求出的斜率，再用点斜式求出方程，并化为斜截式即可求解

【详解】（1）设，因为，所以，解得即．

设，则，，即．

又因为，所以的方程为，化简得．

（2）由（1）知， ，，所以．

因为，所以的斜率为，所以的方程为，整理得，所以在轴上的截距为6．

19．（1）或；（2）．

【分析】（1）由焦距可求参数，讨论双曲线实轴的位置，结合渐近线方程求a、b，进而写出双曲线标准方程；

（2）由已知双曲线方程确定其焦点、顶点坐标，根据椭圆焦点、顶点与双曲线焦点、顶点的关系求椭圆参数，进而写出椭圆标准方程.

【详解】（1）由焦距为，知：，而双曲线的一条渐近线方程是，

若双曲线方程为，即渐近线方程为，

∴，又，得，；

若双曲线方程为，即渐近线方程为，

∴，又，得，；

综上，双曲线的标准方程为或.

（2）双曲线中，故其焦点、顶点分别为、，

∴对于以其焦点为顶点，其顶点为焦点的椭圆，方程可设为，

∴，则，故椭圆标准方程为.

20．（1）；（2）.

【解析】（1）根据离心率为和顶点求出，即可得出双曲线方程；

（2）可先求出直线方程为，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出.

【详解】（1）由题可得，解得，，所以双曲线的方程为；

（2）双曲线的右焦点为

所以经过双曲线右焦点且倾斜角为30°的直线的方程为.

联立得．

设，，则，．

所以.

【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.

21．（1）9；（2）；.

【分析】（1）设，（不妨设），，所以只需求即可.结合双曲线的定义和勾股定理求解；

（2）利用余弦定理和双曲线的定义求出即得解.

【详解】设，（不妨设），，

因为已知，

所以只需求即可.

（1）当时，.

由双曲线方程知，

由双曲线的定义，得，

两边平方，得，

又，

即，即，

求得.

（2）若，则在中，，所以，

求得.

同理，可求得时，.

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，考查双曲线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22．（1）；（2）.

【分析】（1）利用，再代入，联立即得解；

（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解

【详解】（1）由已知可得，

∴，解得①

又∵点在E上，

∴②

由① ②可得，.

∴双曲线E的方程为.

（2）过点的直线l斜率显然存在，

设l的方程为：，，，

将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，

依题意，且，

所以且，

因此，可得，.

∴

.