黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题及答案

这是一份黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已如集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知函数，命题：，，则（    ）A．为幂函数 B．C．是真命题 D．的否定是，3．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（    ）A． B．5 C． D．4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（    ）A． B． C． D．5．已知函数，若，则（    ）A． B．2 C． D．106．已知函数，若在上有且仅有一个极值点，则整数的最大值为（    ）．A．1 B．2 C．3 D．47．已知，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．8．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（为非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ）A．2 B．1 C． D． 二、多选题9．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，，，则D．若，，，则10．已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足.则下列说法正确的是（    ）A．数列为等差数列B．数列与均为等比数列C．数列为单调递减数列D．数列中的任意三项均不能构成等比数列11．在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面积最小值是12．已知时，，则关于函数，下列说法正确的是（    ）A．方程的解只有一个 B．方程的解有五个C．方程的解有五个 D．方程的解有五个 三、填空题13．已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，，求______．14．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为___________.15．已知三次函数，且，，，则__________16．已知等边△ABC的内接于圆，点P是圆O上一点，则的最大值是______． 四、解答题17．如图，在四棱锥中，，AB⊥BC，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：平面PBC；(2)若PA＝CD＝2BC，求AE与面PBD所成角的正弦值．18．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值．19．设等差数列的前n项和为，已知，，各项均为正数的等比数列满足，．(1)求数列与的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求．20．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．(1)证明：；(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．21．在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前n项和．若对，不等式均成立．求实数k的取值范围．22．已知函数，.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；（2）当时，证明：.
参考答案：1．B【分析】解不等式得集合，由对数函数性质得集合，然后由集合的运算法则计算．【详解】，因为，所以，即，，，，所以．故选：B．2．C【分析】根据幂函数的形式可判断A；将代入解析式可判断B；当时可判断C；根据特称命题的否定变量词否结论可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为不满足幂函数的形式，所以不是幂函数，故选项A不正确；对于B：，故选项B不正确；对于C：当时，，所以是真命题，故选项C正确；对于D：的否定是，，故选项D不正确；故选：C.3．D【分析】利用平方的方法化简，从而求得.【详解】由两边平方得，，，解得.故选：D4．B【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.【详解】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以有，因为直角圆锥的侧面积为，所以有，即，因此，所以该直角圆锥的体积为，故选：B5．A【分析】利用正弦函数的性质,直接计算可得．【详解】由题意，，所以，，故选：A．6．B【分析】先利用辅助角公式化简得到，结合函数图象与在有且仅有一个极值点，利用整体法得到方程组，求出，求出整数的最大值.【详解】，，，结合函数图象，在有且仅有一个极值点，则，解得：，因为为整数，故整数的最大值为2.故选：B7．C【分析】构造函数，根据函数的单调性比较大小.【详解】令，则，令，解得，因此在上单调递减，又因为，，，因为，所以.故选：C.8．D【分析】在中求得，然后由得递推关系，再用替换后相减，结合 得是等差数列，从而得通项公式，由恒成立，分类讨论可得的范围，从而得结论．【详解】由，，又，所以，，又，所以，由得（），相减得，，，所以，所以，再相减得，则，而，所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以，，对任意，有恒成立，则恒成立，，，是奇数时，，，∴，为偶数时，，，∴，综上，．又是非零整数，所以．故选：D．【点睛】思路点睛：数列问题中已知项与和的关系时，一般利用得出数列的递推关系，从而再求解；在含有的不等式参数问题中，需要利用的奇偶进行分类讨论化简不等式得参数范围．9．ACD【分析】由线面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理判断各选项．【详解】选项A中，需要加条件才能得线面平行，A错；选项B，，，，则，，，则，所以，B正确；选项C，需要加条件相交，才能得出线面垂直，C错；选项D，三棱柱的三条侧棱两两平行，但它们所在的平面是相交的不平行，D错．故选：ACD．10．ABD【分析】由题意可得，，，进可得结果A、B正确，C不正确；用反证法可得D正确.【详解】由题意可得，，所以A、B正确；单调递增，故C不正确.假设中的三项成等比数列则，即可得①且②，由②可得，代入①可得所以D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：证明是否存在问题，反证法是常用的方法，本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.11．ABD【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断．【详解】解：由题意得：，由角平分线以及面积公式得，化简得，所以，故A正确；，当且仅当时取等号，，， 所以，当且仅当时取等号，故D正确；由余弦定理所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；对于选项：由得：，，当且仅当，即时取等号，故C错误；故选：ABD．12．ACD【分析】作出函数的图象，换元后从外到内研究，先求与图象交点的个数，转化为内层函数或的取值范围，据此再结合的图象即可判断的根的个数.【详解】作出图象，如图，A项，因为，显然与有唯一交点，故正确； B项，令，则或或或或个解，故错误；C项，令，则有3个解，有2个解，共有5个解，故正确；D项，令，则有3个解，有2个解，共有5个解，故正确. 故选择：ACD【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析，根据方程的根的个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.13．##0.6【分析】利用等差数列的性质把和的比值转化为项的比值求解．【详解】由题意，同理，所以，所以．故答案为：．14．##【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：15．2035【分析】构造函数，根据得到，然后代入求即可.【详解】设，则，所以，所以，所以.故答案为：2035.16．2【分析】设BC的中点为E，向量的夹角为，由向量的线性运算可得，然后结合数量积的运算性质即可得出答案.【详解】设BC的中点为E，连接AE，向量的夹角为，因为等边△ABC内接于圆，所以点O在AE上，且PO＝AO＝2OE＝1，所以，所以当，即点P为AE的延长线与圆的交点时，取最大值2，故答案为：2．17．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取CD的中点F，连接EF，AF，证明与平面平行，从而得面面平行后可得线面平行；（2）由已知和（1）可得AB，AF，PA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．用空间向量法求线面角．【详解】（1）取CD的中点F，连接EF，AF．因为E为PD的中点，所以．平面，平面，所以平面，因为CD＝2AB，所以AB＝CF．又，AB⊥BC，所以四边形ABCF是矩形，所以．同理平面，因为，EF，平面AEF，所以平面平面PBC．因为平面AEF，所以平面PBC．（2）由已知和（1）可得AB，AF，PA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．设CD＝2AB＝2，则PA＝CD＝2BC＝2，所以A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，1，0），D（1，－1，0），所以，，，设平面PBD的一个法向量为．则，即，令x＝2，有y＝1，，得．设AE与面PBD所成角为α，所以故AE与面PBD所成角的正弦值为．18．(1)(2) 【分析】（1）由两角差的正弦公式、二倍角公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）由对称性得，代入后再结合诱导公式求值．【详解】（1）∵；∴令，解得：，∴的单调递增区间为．（2）∵在区间（0，π）上恰有2个零点，∴，在（0，π）有两个根由（1）知，当时，函数图像的对称轴为，所以，则所以，又，故．19．(1)；(2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式及性质列出方程组求解即可；（2）利用错位相减法求出数列的和．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，∴；设等比数列的公比为，则，解得，，，∴，（2）由（1）可知∴，则，两式相减得：，∴．20．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）结合余弦定理得，然后由正弦定理化边为角后，利用两角和与差的正弦公式化简变形可证；（2）由三角形是锐角三角形得出的范围，由正弦定理用角表示出，从而求得的取值范围，再由（1）可用表示出，可把表示为的函数，利用函数的单调性得范围．【详解】（1）证明：∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴，∵为锐角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，则，且，设,，设，则，∴，， 所以,为减函数，∴．21．(1)当n为偶数时，；当n为奇数时，；(2). 【分析】（1）根据递推关系可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可求，根据可求，从而可求数列的通项公式；（2），根据裂项相消法可得，从而可求实数k的取值范围.【详解】（1）因为数列单调递增，，故，由己知条件得，，，化简可得，在等式左右两边同时除以，化简得，故数列为等差数列，，所以数列的首项为，公差为，故，即，因为，可得，故当n为偶数时，；当n为奇数时，.（2），∴，由，可知，若均成立，则.22．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出的导函数，利用导函数的几何意义列方程，解出的值；（2）要结合条件进行放缩，然后构造新函数，证明中利用隐零点的技巧和基本不等式.【详解】解：（1）因为，所以，因为曲线在点处的切线斜率为1，所以，解得.（2）证明：等价于.当时，.要证，只需证明.解法一：设，则.设，则，所以函数在上单调递增.因为，，所以函数在上有唯一零点，且.因为，所以，即.当时，，当时，，∴当时取得最小值，所以.综上可知，当时，.解法二：要证，只需证，设，单调递减，单调递增，所以，所以，即等号成立，所以成立.当时，.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．（5）证明不等式.