2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）第二次月考数学试卷（11月份）（五四学制）(解析版)

2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）第二次月考数学试卷（11月份）（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 当锐角时，的值(    )

A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于

2. 的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是(    )

A. 点在内 B. 点在上
C. 点在外 D. 点在上或外

3. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是(    )

A. 开口向下
B. 对称轴是轴
C. 顶点坐标为
D. 在对称轴右侧部分，随的增大而减小

4. 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为：，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是(    )

A. 当时，
B. 当时，有最大值
C. 图象经过点
D. 当时，

8. 如图，在半径为的中有长为的弦，则弦所对的圆心角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知二次函数为常数，如果，且则它的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点；对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：；；；，其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 抛物线与的开口大小、形状一样、开口方向相反，则______．
13. 已知的图象是不在第一、二象限的抛物线，则 ______ ．
14. 已知：为锐角，且，则的值为______．
15. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为______ ．

16. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是______ ．

17. 如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为______参考数据

18. 半径为的中，两条平行弦的长度分别为和则这两条弦的距离为______．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19. ．
    ．
20. 抛物线经过点，判断抛物线是否经过和两点？
21. 如图，点的坐标为，的半径为，且与轴交于点，，与轴交于点，，试求出点，，，的坐标．

22. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去灾区、两处抢险，飞机在距地面米上空的点，测得处的俯角为，处的俯角为如图求、两处间的距离．结果保留根号

23. 已知抛物线与轴交于点与轴的一个交点坐标是．
    求此抛物线的顶点的坐标；
    直接写出当时的取值范围．

24. 如图所示，是的直径，弦，垂足为若，，求的半径．

25. 如图，在中，，点、分别在、上，平分，，，．
    求
    、的长；
    的值．

26. 某商店购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件；若按每件元的价格销售时，每月能卖件．假定每月销售件数件是价格元件的一次函数．
    试求与之间的函数关系式；
    在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？总利润总收入总成本．
27. 如图，为弧的中点，于点，于，且为的直径，若，求长．

28. 如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．
    求抛物线的解析式；
    点是直线上方抛物线上的一个动点不与点、点重合，过点作直线轴于点，交直线于点，设点的横坐标为．
    求线段长的最大值，并求此时点坐标；
    是否存在点使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
锐角的正弦值随角度的增大而增大，
当锐角时，的值大于．
故选：．
根据角的正弦值，以及锐角的正弦值随角度的增大的变化情况即可作出判断．
本题考查了特殊角的三角函数值，以及正弦函数的增减性，正确理解增减性是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆心的坐标为，点的坐标为，
，因而点在上．
故选：．
根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内”来求解．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是直线，故选项B错误；
顶点坐标为，故选项C正确；
在对称轴右侧部分，随的增大而增大，故选项D错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：坡面的坡度为：，
，
．
故选：．
由坡面的坡度为：，可得，再根据勾股定理可得．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，理解坡度的定义是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，开口向下，
当时，随的增大而减小，
，
故选：．
先求出对称轴为直线，再由已知即可得．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，经过点，，
抛物线对称轴为直线，
当时，，选项正确，不符合题意．
当时，有最大值，选项正确，不符合题意．
图象经过，抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，选项正确，不符合题意．
当或时，，选项D错误，符合题意．
故选：．
由抛物线开口方向，经过，可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，作，由垂径定理知，点是的中点，
，
，
，
，
．
故选：．
作于根据垂径定理可得长，再解直角三角形可得．
本题利用了垂径定理和正弦的概念求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
即当时，
，
定，，
故C选项正确．
故选：．
由，且，确定，，与轴交点一个是，采取排除法即可选出所选答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为，
所以关于直线的对称点为，
，故正确；
由抛物线的图象可知：，故正确；
由图象可知：，，
，故正确；
当时，，故正确；
故选：．
根据二次函数的对称性，以及参数、、的意义即可求出答案．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：的二次项系数是，
抛物线与的开口大小、形状一样、开口方向相反，
．
故答案为：．
两个抛物线的形状由二次项系数的绝对值所确定，两个函数只要相同，形状就相同．开口方向由的符号确定，时开口向上，时，开口向下．
考查抛物线的开口方向，形状的确定与二次项系数有关．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，
解得．
故答案为：．
根据二次函数的图象不在第一、二象限，二次项系数小于列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，是基础题，需熟记．
 

14.【答案】 

【解析】解：由知，如果设，则，
结合得．
．
根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．
求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

15.【答案】 

【解析】解：作的延长线于点．
在中，，则．
故．
故答案为：．
的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点作垂直于的延长线于点．
在中根据三角函数的定义求解．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
 

16.【答案】 

【解析】解：设函数关系式为，
点坐标应该是，
那么，
即，
即．
根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为根据，涵洞顶点到水面的距离为，那么点坐标应该是，利用待定系数法即可求解．
根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：作于点，于点．
，
，
．
根据题意，得，．
在中，，
．
在中，，
．
矩形的周长．
故答案为．
求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长．
本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
 

18.【答案】或 

【解析】解：当弦和在圆心同侧时，如图，
，，
，，
，
，，
；
当弦和在圆心异侧时，如图，
，，
，，
，
，，
．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论：弦和在圆心同侧；弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
 

19.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入，
得，
抛物线的解析式为：，
当时，，
在抛物线上，
当时，，
不在抛物线上． 

【解析】用待定系数法求出抛物线的解析式，然后把、点横坐标代入解析式，若求出纵坐标的值与已知点的纵坐标相等，则点在抛物线上，否则不在抛物线上．
本题考查了待定系数法，二次函数图象上的点的特征，关键是用待定系数法求出抛物线的解析式．
 

21.【答案】解：连接，
，
为的中点，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
，即，
，即，
，即． 

【解析】连接，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出的长，进而求出与的坐标，由求出的长，由求出的长，进而求出与的坐标．
此题考查了垂径定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：，
所以，所以，
所以，
在中，，，米，
所以米，
所以米，
答：、两个村庄间的距离米． 

【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形、，应利用其公共边构造等量关系，借助且；构造方程关系式，进而可求出答案．
本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

23.【答案】解：将，代入得，
解得，
．
点坐标为
令，
解得或，
点坐标为，
时的取值范围是． 

【解析】根据待定系数法求出函数解析式，然后通过配方求解．
根据图象与轴交点横坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

24.【答案】解：连接，
是的直径，弦，
．
．
在中，由勾股定理得：，即．
解得：．
所以圆的半径为． 

【解析】连接，先由垂径定理求得，然后再在中，利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是垂径定理、勾股定理，利用勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：在中，由，，得：，
由勾股定理得
平分，，，角平分线性质得：．

方法一：由，，得：．
在与，，，
∽得：，即，，
得：
方法二：由得，又，得，
由勾股定理得得：． 

【解析】由，，，可求出的长，根据勾股定理可求出的长，由角平分线的性质可得；
由，，得由，，可知∽，由相似三角形边长的比可求出的长，根据三角函数的定义可求出．
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义，进行逻辑推理能力和运算能力．
 

26.【答案】解：依题意设，则有，
解得，
；
每月获得利润


，
在范围内，当时，有最大值，最大值为．
答：当价格为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】先根据题意设，分别把对应的，；，代入利用待定系数法求解即可；
根据“总利润总收入总成本”列出关于每月获得利润与之间的函数关系式，整理得出二次函数，求其最大值即可．
本题主要考查了根据实际问题列函数关系式的能力．读懂题意准确地列出式子是解题的关键，要熟练地运用待定系数法求函数关系式，并会利用二次函数的最值问题求实际问题的最大利润．
 

27.【答案】解：连接，如图，
，
，，
为弧的中点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】连接，如图，先根据垂径定理得到，，再利用得到，接着利用含度角的直角三角形三边的关系，在中求出，然后在中求出，从而得到的长．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和含度角的直角三角形三边的关系．
 

28.【答案】解：将点代入直线，
，
，
将，，代入，
，
解得，
；
由题意，，
点在点的上方，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时点的坐标为；
存在点使为等腰三角形，理由如下：
，，，
，，，
当，，
解得或舍去；
当时，，
解得或舍去；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
由题意可得，，则，当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为；
分别求出，，，根据等腰三角形边的关系，分三种情况建立方程求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．