2022-2023学年江西省吉安市吉安县浬田中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)

2022-2023学年江西省吉安市吉安县浬田中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列说法正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

3.    下列一元二次方程中，根是的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    如图，矩形的对角线，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    下列一元二次方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图：将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.    一元二次方程的一次项系数为______．
8.    若关于的方程的一个根是则的值为______．
9.    若一个含角的菱形的边长是，则其面积为______．
10. 将方程配方得到，则______．
11. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为的中点．若的周长为，则的长为______．

12. 如图，在矩形中，，，，点在边上运动不与点，重合当是等腰三角形时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）

13. 解方程：．

四、解答题（本大题共11小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    如图，在菱形中，对角线与交于点过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点求证：四边形是矩形．

15. 本小题分
    已知是方程的一个根，求代数式的值．
16. 本小题分
    某同学在解方程时的过程如下：
    解：方程两边同时除以，得，
    去括号、移项、合并同类项，得，
    系数化为，得
    上面的运算过程在第______步开始出现错误．
    请你写出正确的解答过程．
17. 本小题分
    在矩形中，已知是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
    在图中，作的中点．
    在图中，作的中点．
     
18. 本小题分
    试说明无论，为何值，代数式的值总是非负数，并求出当，取何值时，这个代数式的值最小．
19. 本小题分
    定义新运算“”如下：对于两个实数，，可得例如：．
    计算：______．
    若，求的值．
20. 本小题分
    如图，▱的对角线，交于点，，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，的长为______．

21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程
    证明：方程总有实数根．
    为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
22. 本小题分
    如图，在中，是上一点，过点作的平行线交的平分线于点，交的外角的平分线于点．
    求证：．
    连接，，点可在上移动，若四边形是矩形，则点在的什么位置？请说明理由．

23. 本小题分
    请阅读下列材料：
    问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
    解：设所求方程的根为，则，所以．
    把代入已知方程，得．
    化简，得，
    故所求方程为．
    这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
    请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式．
    已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______；
    已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
24. 本小题分
    综合与实践
    问题情境：
    如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
    猜想证明：
    试判断四边形的形状，并说明理由；
    如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
    解决问题：
    如图，若，，请直接写出的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是二元一次方程，此项不符合题意；
B、是一元一次方程，此项不符合题意；
C、是一元二次方程，此项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程逐项判断即可得．
本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
利用平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定依次判断可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：．
根据求根公式解答．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再根据邻角互补求出的度数，然后得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出是等边三角形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，，故没有实数根，符合题意；
选项，，，不符合题意；
选项，，，不符合题意；
选项，，，不符合题意．
故选：．
利用根的判别式和简单一元二次方程求解作答即可．
本题考查根的判别式，能够快速求出一元二次方程的解是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图：

四边形是正方形，
，
，，设则，
在中，，
，
，
，
故选：．
设，在中利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
找出一元二次方程的一次项系数即可．
【解答】

解：一元二次方程的一次项系数为．
故答案为．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的方程的一个根是，
，
，
故答案为：．
利用一元二次方程解的定义得到，变形后即可求得答案．
本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：移项，得，
方程的两边都加，得，
．
．
故答案为：．
利用配方法的步骤，把方程变形为的形式后确定的值．
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，的周长为，
．
为的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，为的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
先根据直角三角形的性质求出的长，再由勾股定理得出的长，进而可得出的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：是等腰三角形，
或或，
在矩形中，，
当时，如图，过点作于点，
得矩形，
，

，
，
；
当时，如图，

，
，
在中，，根据勾股定理得：
；
当时，如图，过点作于点，
得矩形，

，，
在中，，根据勾股定理得：
，
．
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
分三种情况画图，由是等腰三角形，可得或或，三种情况进行讨论．
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
 

13.【答案】解：，
，
或，
所以，． 

【解析】先移项得到，然后利用因式分解法求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
 

14.【答案】证明：四边形是菱形，
，
．
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形． 

【解析】欲证明四边形是矩形，只需推知四边形是平行四边形，且有一内角为度即可．
考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．
 

15.【答案】解：根据题意得：，
，
． 

【解析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解．
此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：方程两边同时除以，得，
去括号、移项、合并同类项，得，
系数化为，得
上面的运算过程在第步开始出现错误．
故答案为：．
正确解法：，
，
则，
或，
解得或．
根据等式的性质即可判断正误；
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
 

【解析】连接、交于点，作直线交于点，点即为所求；
在的基础上，连接交与，作直线交于点，点即为所求；
本题考查作图基本作图，矩形的性质，三角形的中线交于一点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：

；
，，
无论，为何值，代数式的值总是非负数；
当，时，代数式的值最小，
，． 

【解析】先用拆项法把化为的形式，再配成完全平方决定代数式的值，再根据，时，代数式的值最小，求出、．
本题考查了配方法的综合应用、偶次方具有非负性，掌握配方法的综合应用，其中偶次方具有非负性是解题关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；

，
，
则，
，
则或，
解得：，．
直接利用已知运算公式代入得出答案；
直接利用已知运算公式代入，解方程得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及一元二次方程的解法，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：连接，交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质与已知得出，易证四边形是平行四边形，即可得出结论；
连接，交于，由菱形的性质得，，，由菱形的面积求出，则，由勾股定理得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可知：时，




，
故时，方程总有实数根
由题意可知：，

，

或
方程有两个不相等的正整数根，
可满足题意． 

【解析】根据根与系数的关系即可求出答案
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

22.【答案】证明：是的角平分线，
；
，
，
为等腰三角形，
，
同理：，
；
解：若四边形是矩形，则为的中点时，理由如下：
四边形为矩形，
为直角，
为直角三角形；
四边形为矩形，
，
在中，，
为斜边的中点，
答：若四边形是矩形，则为的中点时． 

【解析】根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明，进而可以解决问题；
设定四边形为矩形，可求出中，点为斜边的中点．
考查了矩形的判定和等腰三角形的判定与性质，用等腰三角形腰长相等和直角三角形斜边中线是斜边的一半可解本题，熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质是解决本题的关键．
 

23.【答案】
设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．
化简得，
即所求方程为． 

【解析】

解：设所求方程的根为，则，所以
把代入已知方程，得．
化简得，
故所求方程为，
见答案
【分析】
利用题中解法，设所求方程的根为，则，所以，然后把代入已知方程得；
设所求方程的根为，则，所以然后把代入已知方程得再化成整式方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了阅读理解能力．  

24.【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
；
理由如下：如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
． 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由旋转的性质可得，，，进而可证四边形是正方形；
过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
如图，过点作于，

四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由可知：≌
，，
，
．