专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练试题及答案

这是一份专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练试题及答案，共41页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆，已知双曲线，已知圆M，已知F1在C上等内容，欢迎下载使用。
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
微点4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练
（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测）
1．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
（2022·山东青岛·二模）
2．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
（2022·全国·模拟预测）
3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
（2022·河南安阳·模拟预测）
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．
（2022·重庆南开中学模拟预测）
5．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①为定值；
②．
（2022·上海闵行·二模）
6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.

(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
（2022·上海黄浦·二模）
7．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；
(3)证明：存在常数、，使得．
（2022·广东·华南师大附中三模）
8．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测）
9．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
（2022·江苏南通·模拟预测）
10．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
11．设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得，证明：点M落在某一定直线上；
(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.
（2022·云南师大附中高三月考）
12．已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
（2023·全国·高三月考）
13．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
14．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．
（2022江苏·星海实验中学高二月考）
15．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.

(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
16．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.
（1）求的值；
（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.
18．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.
（1）求的值；
（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.
19．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
20．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求，的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
22．如图，已知点，、为抛物线上不同的两点（在的右上方，在直线的下方），满足.

（1）证明：的中点位于某定直线上；
（2）记内切圆、外接圆的半径分别为、，求的最小值.




参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.
【详解】（1）因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以；
又因为离心率，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为；
代入椭圆方程，可得，
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，
所以整理解得,
设点，由于点P与点E关于原点对称，故,
；
因为，所以



故，结论得证.
2．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.
(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.
（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.
【详解】（1）解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
（2）（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
3．(1)；
(2).

【分析】（1）由求出b，再结合离心率列式计算a即可作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，再求出点P，Q的坐标，利用斜率坐标公式计算作答.
（1）
设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
4．(1)
(2)证明过程见解析

【分析】（1）利用椭圆定义求轨迹方程；
（2）设出直线l为：，，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出AB中点，进而表达出AB的垂直平分线，求出P点坐标，得到的长，得到为定值.
（1）
由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，
所以C的方程为
（2）
设直线l为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
AB中点坐标为，
所以AB的垂直平分线为，
令得：，
所以，，

【点睛】直线与椭圆结合问题，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，表达出弦长或面积，进而求解定值或取值范围等.
5．(1)
(2)条件选择见解析，证明见解析

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等式，化简后可得出曲线的方程；
（2）设、、，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证；在第二种情况下，设直线的方程为，由直线与圆相切结合韦达定理可得出.
选①，分析出，利用三角形相似可求得的值；
选②，分析可知，结合勾股定理可证得结论成立.
（1）
解：由题意知，两边平方整即得，
所以，曲线的方程为.
（2）
证明：设、、，
当时，，则不妨设点，则点或，
此时，则；           
当时，设直线，
由直线与圆相切可得，即，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则
，
所以，，同理可得.
选①，由及可得，
则，所以，；
选②，出及可得：、、三点共线，则，
又，因此，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析，定值为1
(3)4

【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到直线距离公式得到，，结合∥，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到
，利用基本不等式求出最值.
【详解】（1）联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1；
（3），
由题意得：点在直线的同侧，
所以，
，（其中为的夹角），
由此可知：，
当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.
【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.
7．(1)5
(2)，
(3)证明见解析

【分析】（1）首先求出点的坐标，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，即可得解；
（2）设点的坐标为，由，即可得到、，代入椭圆方程整理可得；
（3）当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴的交点为，点的坐标为．依题意可得又，再由距离公式求出，即可得到，从而求出、的值，再计算点在轴上时的情形，即可得证；
【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，将代入双曲线中，可得，所以，
不妨取的坐标为，
于是直线的方程为．
将代入直线的方程，得点的坐标为．
因此．
（2）解：由题意，点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，由，，又、，
即，
所以，代入双曲线方程，得，整理得．
由，即，结合，解得或．
又，即，结合，解得．
因此，．
（3）证明：点的坐标为．
当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为．
设直线与轴的交点为，点的坐标为．
，即．
．
由为线段与的交点，得点的坐标满足方程，即．
于是，又，故．
于是．
故存在常数、，使得．
当点在轴上时，，，，
所以，，即，
所以，即上述结论亦成立．

8．(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；

【分析】（1）利用几何知识可得，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求，，，利用韦达定理证明；②根据①结合题意求的坐标，代入双曲线方程运算求解．
【详解】（1）∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，
∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），
，，则，
∴E的方程是．
（2）①证明：由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，
，
同理，
∴
对，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，
直线QK的方程为，
令，
得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．

9．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）数形结合，由双曲线定义可得；
（2）设直线方程分别解得E、F的坐标，然后可得直线EF方程，化简可证.
（1）
由题知，所以
由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程

（2）
设点由，
设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F
（其中，，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交点．）
由直线DA：代入曲线C：得
得
由即
直线DB：代入曲线C：中将
，得
由
即
∴
∴EF：
即
故直线恒过一定点
10．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴

∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
11．(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）由题意可得22b，e，又c2=a2﹣b2，解得b2=2，a2，即可求出双曲线的方程，
（2）设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1