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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示图文ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示图文ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，元素与集合的关系，a∈A，a∉A，N或N+，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标，一一列举，有限个，无限个等内容，欢迎下载使用。
第1课时 集合的概念
1.元素与集合(1)集合(2)元素
【思考】(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?提示:集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛,可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2)根据集合的定义思考:集合中的元素具有哪些特性?提示:确定性、互异性和无序性.
【思考】元素与集合之间有第三种关系吗?提示:对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.
3.常见的数集及表示符号
【思考】N与N+(或N*)有何区别?提示:N+(或N*)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N*)多一个元素0.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( )(2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合.( )(3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素.( )提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.(2)×. “难题”没有严格的标准,所以不能构成集合.(3) ×.由于集合中的元素具有互异性,故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2.(教材二次开发:练习改编)下列关系中,正确的个数为( )① ∈R.② ∉Q.③|-3|∈N.④- ∈Z.A.1B.2C.3D.4【解析】选D. 是实数, 是无理数,|-3|=3是非负整数,- =-3是整数,故①②③④均正确.
3.已知集合A含有三个元素0,1,x-2,则实数x不能取的值是________. 【解析】根据集合中元素的互异性可知:x-2≠0且x-2≠1,所以实数x不能取的值是2,3.答案:2,3
类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象)【题组训练】1.下列每组对象,能构成集合的是( )①中国最美的乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④
2.下列研究对象组成的总体:①不超过50的正整数;②中国的大城市;③绝对值最小的实数;④sin 30°,sin 45°,cs 60°,1,其中为集合的是________.
【解析】1.选B.①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合.2.①不超过50的正整数的全体是确定的,能构成集合;②中国的大城市是不确定的,不能构成集合;③绝对值最小的实数是0,确定,能构成集合;④由于sin 30°=cs 60°,不满足互异性,所以不能构成集合.答案:①③
【解题策略】判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性.看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素,若具有此“标准”,就可以组成集合;否则,不能组成集合.(2)注意集合中元素的互异性、无序性.
【补偿训练】下列对象能构成集合的是 ( )A.高一年级较胖的学生 B.鲜艳的颜色C.很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点
【解析】选D.由于“较胖”“很大”和“鲜艳”没有一个确定的标准,因此A,B,C不能构成集合; D中平面内到△ABC三个顶点距离相等的点是确定的,能构成集合.
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)【题组训练】1.由形如x=3k+1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是 ( )A.-1∈AB.-11∈AC.15∈AD.32∈A2.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为( )A.2B.2或4C.4D.0
3.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则( )A.a>-4B.a≤-2C.-4
(2)推理法.①使用前提:对于某些不便直接表示的集合;②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【补偿训练】1.用符号“∈”或“∉”填空.- ________R;-3.14________Q; -1________N;3-2________Z. 【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知,- ∈R;-3.14∈Q;-1∉N;3-2∉Z.答案:∈ ∈ ∉ ∉
2.由不超过5的实数组成集合A,a= 则( )A.a∈A B.a2∈AC. ∉AD.a+1∉A
【解析】选A.a= =4<5,所以a∈A.a+1< +1=5,所以a+1∈A,a2=( )2+2 >5,所以a2∉A,所以 ∈A.
类型三 集合中元素的特性的应用(逻辑推理、数学运算)【典例】(2020·滁州高一检测)设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素.(2)集合A不可能是单元素集.
【思路导引】(1)依据a∈A,则 ∈A(a≠1),求集合A中的元素,同时注意集合中元素的互异性.(2)转化为判断a= 是否有实数解.
【证明】(1)若a∈A,则 ∈A.又因为2∈A,所以 =-1∈A.因为-1∈A,所以 ∈A.因为 ∈A,所以 =2∈A.根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为-1, ,结论得证.(2)若A为单元素集,则a= ,即a2-a+1=0,方程无实数解.所以a≠ ,所以集合A不可能是单元素集.
【变式探究】 本例前提条件不变,求证以下两个问题: (1)若3∈A,则A中必还有另外两个元素.(2)若a∈A,则1- ∈A.
【证明】(1)因为3∈A,所以 ∈A,所以 ∈A,所以 =3∈A,根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为- , ,结论得证.
(2)因为a∈A,所以 ∈A.因为
【解题策略】 根据集合中元素的特性求值的三个步骤
【跟踪训练】1.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数【解析】选D.因为2a∈A,a2-a∈A,所以2a≠a2-a.所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2和3,方程x2-x-2=0的解为-1和2,所以集合M是由-1,2,3这三个元素组成的集合.
【补偿训练】已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,(1)若-3∈A,试求实数a的值.(2)若a∈A,试求实数a的值.
【解析】(1)因为-3∈A, 所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.若2a-1=-3,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)因为a∈A,所以a-3=a或2a-1=a.当a-3=a时,有-3=0,不成立.当2a-1=a时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.
1.下列各组对象不能构成一个集合的是( )A.不超过20的非负实数B.方程x2-9=0在实数范围内的解C. 的近似值D.某校身高超过170厘米的同学
【解析】选C.A项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项, 的近似值,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.
2.设M是所有偶数组成的集合,则( )A.3∈M B.1∈MC.2∈M D.0∉M【解析】选C.因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2∈M.
3.英文短语“pen the dr t...”中的字母构成一个集合,该集合的元素个数是( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知,“pen the dr t...”中的不同字母共有“,p,e,n,t,h,d,r”8个,故该集合的元素个数为8.
4.(教材二次开发:习题改编)下列表述正确的是________.(填序号) (1)0∈N.(2) ∈Z.(3) ∈Z.(4)π∉Q.【解析】因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数, 不是整数, 不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π∉Q正确.答案:(1),(4)
5.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件.(2)若-2∈A,求实数x.【解析】(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3,且x≠x2-2x,x2-2x≠3.解之得x≠-1且x≠0,且x≠3.(2)因为-2∈A,所以x=-2或x2-2x=-2.由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.
第2课时 集合的表示
1.列举法(1)方法:将集合的元素_________出来,并置于花括号_________内. (2)注意事项:①元素之间要用_____分隔;②列举时与元素的_____无关.
【思考】一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
2.描述法(1)形式:{x|p(x)},其中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质.(2)本质:它是集合符号语言的具体体现,可将集合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
【思考】{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢?提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3.Venn图法(1)形式:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.(2)作用:直观地表示集合.4.集合相等(1)定义:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等.(2)本质:A与B相等,即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素.
5.集合的分类(1)含有_______元素的集合称为有限集;(2)含有_______元素的集合称为无限集;(3)_____________的集合称为空集,记作⌀.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合{x|x2=1}与集合{-1,1}相等.( )(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}相等.( )
提示:(1)×.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,2,3}.(2)×.集合{(1,2)}中的元素是(1,2).(3)√.由x2=1求得x=-1或x=1,所以{x|x2=1}与{-1,1}相等.(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的实数,两个集合相等.
2.给出下列集合,(1){0}.(2){x|x>7,且x<1}.(3){x|x>4}.(4){x|x2-2=0,x∈Z}.其中空集的个数为( ) A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.满足x>7且x<1的实数不存在,故{x|x>7,且x<1}=⌀.因为x2-2=0的解为±⌀,不是整数,所以{x|x2-2=0,x∈Z}=⌀.另外两个集合显然不是空集.故空集的个数为2.
3.(教材二次开发:习题改编)由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________,用描述法表示为________. 【解析】大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4},用描述法表示可用x表示代表元素,其满足的条件是-1
3.用列举法表示下列集合.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合.(2)不大于10的非负偶数组成的集合.(3)方程x3=x的实数解组成的集合.(4)一次函数y=x-2与y=-x的图象的交点组成的集合.
【解析】1.因为2∈{1,x2+x},所以2=x2+x,解得x=1或-2,经检验满足互异性,所以x=1或-2.答案:1或-22.因为M={m,2},N={m+2,2m},且M=N,所以 解得m=0,所以实数m的值为0.答案:0
3.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游记》,《水浒传》,《红楼梦》}.(2)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(3)方程x3=x的实数解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1,-1}.(4)解方程组 得 即交点是(1,-1),故两函数图象的交点组成的集合是{(1,-1)}.
【解题策略】1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素.(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.(3)用花括号括起来.
2.在用列举法表示集合时的关注点(1)明确集合中的元素是什么.如T3(4)是点集,而非数集,集合的所有元素用有序数对表示,并用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.(2)元素不重复,元素无顺序.如{1,1,2}为错误表示.又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合.
【补偿训练】用列举法表示下列集合: (1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.(2) “Welcme”中的所有字母构成的集合.(3) 2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}.(2)由于“Welcme”中包含的字母有W,e,l,c,,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,,m}.(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}.
类型二 描述法表示集合(数学抽象)【典例】1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.1B.2C.3D.42.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是( )A.x1·x2∈AB.x2·x3∈BC.x1+x2∈BD.x1+x2+x3∈A
3.用描述法表示下列集合:(1) .(2)被5除余1的正整数组成的集合.(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
【思路导引】1.首先确定x和y的取值范围,其次根据x∈Z,y∈Z逐一列举,确定A中元素的个数.2.首先确定集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,其次根据奇数、偶数之间相加和相乘的运算结果判断.3.首先确定集合中元素的共同特征,其次选择合适的等式和不等式表示.
【解析】1.选D.由题意得,-1≤x≤1,-1≤y≤1,x∈Z,y∈Z,A={(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)},所以A中元素的个数为4.2.选D.因为集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3为偶数,故D错误.
3.(1)集合 用描述法表示为 (2)根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}.(3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示为
【解题策略】1.描述法表示集合的两个步骤
2.用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1,x∈R}不能写成{x<1,x∈R}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x|x=2k,x∈Z},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x|x=2k,x∈Z,k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解组成的集合可表示为{x|x2-2x+1=0,x∈R},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
【跟踪训练】1.已知集合M={x|x=7n+2,n∈N},则2 018______M,2 019________M.(填“∈”或“∉”) 【解析】因为2 018=7×288+2,2 019=7×288+3,所以2 018∈M,2 019∉M.答案:∈ ∉
2.用描述法表示下列集合:(1)小于10的非负整数构成的集合;(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;(4)集合{1,3,5,7,…}.
【解析】(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.
类型三 集合表示方法的综合应用(数学抽象、数学运算) 角度1 用适当的方法表示集合 【典例】用适当的方法表示下列集合:(1)函数y=x2-2x的图象与x轴的公共点的集合;(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;(3)3和4的正的公倍数构成的集合;(4)大于4的奇数构成的集合.
【思路导引】根据集合中元素的个数和特征,选择恰当的方法表示集合.【解析】(1)列举法:{(0,0),(2,0)}.(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.(3)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}.(4)用描述法表示为D={x|x=2k+1,k≥2,k∈N}或D={x|x=2k+3,k∈N*}.
角度2 方程、不等式等知识与集合交汇 【典例】(2020·朔州高一检测)已知集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.【思路导引】将问题转化为方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,求实数k的值.应注意分k=0和k≠0两种情况讨论.
【解析】(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,A={2};(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4}.综上所述,k=0时,集合A={2};k=1时,集合A={4}.
【变式探究】本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变,求实数k的值组成的集合.【解析】由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.故 即k<1且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}.
【解题策略】1.解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.(2)若已知集合是用列举法给出的,整体把握元素的共同特征是解题的关键.2.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素,明确元素的特征性质.(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.
【题组训练】1.已知集合{b|b∈R}={x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R},其中a,b为常数,则a+b=( )
【解析】选D.因为集合{b|b∈R}为单元素集合,所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R}也只有一个元素b,所以方程ax2-4x+1=0只有一个解,①当a=0时,方程只有一个解x= ,即b= ,满足题意,此时a+b=0+ = ;②当a≠0时,则Δ=42-4a=0,解得a=4,方程只有一个解x= ,即b= ,满足题意,此时a+b=4+ = .综上所述,a+b= 或 .
2.集合{(x,y)| }可用列举法表示为________. 【解析】解方程组 可得 所以{(x,y)| ={(2,3)}.答案:{(2,3)}
3.用适当的方法表示下列集合.(1)36与60的公约数组成的集合.(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合.(3)不等式x-2>6的解的集合.(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合.
【解析】(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.(2){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.(3){x|x>8}.(4){1,2,3,4,5,6}.
1.已知集合A={x|-1≤x<4,x∈Z},则集合A中元素的个数为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为-1≤x<4,x∈Z,所以x=-1,0,1,2,3,所以集合A={-1,0,1,2,3}共有5个元素.
2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的点组成的集合【解析】选D.集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),满足的关系式为y=2x-1,因此集合表示的是函数y=2x-1图象上的点组成的集合.
3.已知a∈ ,则实数a的值为________. 【解析】由题意得,a=1或a= ,当a=1时, =1不满足集合中元素的互异性;当a= 时,a=0或a=1,经检验,a=0符合题意,综上可知,a=0.答案:0
4.函数y= 的自变量的值组成的集合为________. 【解析】函数y= 的自变量应满足x≠1,组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1}.答案:{x∈R|x≠1}
5.(教材二次开发:习题改编)设x,y为实数,已知A={x,y},B={0,x2},且A=B,求x,y的值.【解析】因为集合A,B相等,则x=0或y=0.(1)当x=0时,x2=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去.(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去.综上知:x=1,y=0.
第1课时 集合的概念
1.元素与集合(1)集合(2)元素
【思考】(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?提示:集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛,可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2)根据集合的定义思考:集合中的元素具有哪些特性?提示:确定性、互异性和无序性.
【思考】元素与集合之间有第三种关系吗?提示:对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果.
3.常见的数集及表示符号
【思考】N与N+(或N*)有何区别?提示:N+(或N*)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N*)多一个元素0.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( )(2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合.( )(3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素.( )提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.(2)×. “难题”没有严格的标准,所以不能构成集合.(3) ×.由于集合中的元素具有互异性,故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2.(教材二次开发:练习改编)下列关系中,正确的个数为( )① ∈R.② ∉Q.③|-3|∈N.④- ∈Z.A.1B.2C.3D.4【解析】选D. 是实数, 是无理数,|-3|=3是非负整数,- =-3是整数,故①②③④均正确.
3.已知集合A含有三个元素0,1,x-2,则实数x不能取的值是________. 【解析】根据集合中元素的互异性可知:x-2≠0且x-2≠1,所以实数x不能取的值是2,3.答案:2,3
类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象)【题组训练】1.下列每组对象,能构成集合的是( )①中国最美的乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④
2.下列研究对象组成的总体:①不超过50的正整数;②中国的大城市;③绝对值最小的实数;④sin 30°,sin 45°,cs 60°,1,其中为集合的是________.
【解析】1.选B.①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合.2.①不超过50的正整数的全体是确定的,能构成集合;②中国的大城市是不确定的,不能构成集合;③绝对值最小的实数是0,确定,能构成集合;④由于sin 30°=cs 60°,不满足互异性,所以不能构成集合.答案:①③
【解题策略】判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性.看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素,若具有此“标准”,就可以组成集合;否则,不能组成集合.(2)注意集合中元素的互异性、无序性.
【补偿训练】下列对象能构成集合的是 ( )A.高一年级较胖的学生 B.鲜艳的颜色C.很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点
【解析】选D.由于“较胖”“很大”和“鲜艳”没有一个确定的标准,因此A,B,C不能构成集合; D中平面内到△ABC三个顶点距离相等的点是确定的,能构成集合.
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)【题组训练】1.由形如x=3k+1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是 ( )A.-1∈AB.-11∈AC.15∈AD.32∈A2.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为( )A.2B.2或4C.4D.0
3.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则( )A.a>-4B.a≤-2C.-4
(2)推理法.①使用前提:对于某些不便直接表示的集合;②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【补偿训练】1.用符号“∈”或“∉”填空.- ________R;-3.14________Q; -1________N;3-2________Z. 【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知,- ∈R;-3.14∈Q;-1∉N;3-2∉Z.答案:∈ ∈ ∉ ∉
2.由不超过5的实数组成集合A,a= 则( )A.a∈A B.a2∈AC. ∉AD.a+1∉A
【解析】选A.a= =4<5,所以a∈A.a+1< +1=5,所以a+1∈A,a2=( )2+2 >5,所以a2∉A,所以 ∈A.
类型三 集合中元素的特性的应用(逻辑推理、数学运算)【典例】(2020·滁州高一检测)设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素.(2)集合A不可能是单元素集.
【思路导引】(1)依据a∈A,则 ∈A(a≠1),求集合A中的元素,同时注意集合中元素的互异性.(2)转化为判断a= 是否有实数解.
【证明】(1)若a∈A,则 ∈A.又因为2∈A,所以 =-1∈A.因为-1∈A,所以 ∈A.因为 ∈A,所以 =2∈A.根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为-1, ,结论得证.(2)若A为单元素集,则a= ,即a2-a+1=0,方程无实数解.所以a≠ ,所以集合A不可能是单元素集.
【变式探究】 本例前提条件不变,求证以下两个问题: (1)若3∈A,则A中必还有另外两个元素.(2)若a∈A,则1- ∈A.
【证明】(1)因为3∈A,所以 ∈A,所以 ∈A,所以 =3∈A,根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为- , ,结论得证.
(2)因为a∈A,所以 ∈A.因为
【解题策略】 根据集合中元素的特性求值的三个步骤
【跟踪训练】1.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数【解析】选D.因为2a∈A,a2-a∈A,所以2a≠a2-a.所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2和3,方程x2-x-2=0的解为-1和2,所以集合M是由-1,2,3这三个元素组成的集合.
【补偿训练】已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,(1)若-3∈A,试求实数a的值.(2)若a∈A,试求实数a的值.
【解析】(1)因为-3∈A, 所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.若2a-1=-3,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)因为a∈A,所以a-3=a或2a-1=a.当a-3=a时,有-3=0,不成立.当2a-1=a时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.
1.下列各组对象不能构成一个集合的是( )A.不超过20的非负实数B.方程x2-9=0在实数范围内的解C. 的近似值D.某校身高超过170厘米的同学
【解析】选C.A项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项, 的近似值,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.
2.设M是所有偶数组成的集合,则( )A.3∈M B.1∈MC.2∈M D.0∉M【解析】选C.因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2∈M.
3.英文短语“pen the dr t...”中的字母构成一个集合,该集合的元素个数是( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知,“pen the dr t...”中的不同字母共有“,p,e,n,t,h,d,r”8个,故该集合的元素个数为8.
4.(教材二次开发:习题改编)下列表述正确的是________.(填序号) (1)0∈N.(2) ∈Z.(3) ∈Z.(4)π∉Q.【解析】因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数, 不是整数, 不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π∉Q正确.答案:(1),(4)
5.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件.(2)若-2∈A,求实数x.【解析】(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3,且x≠x2-2x,x2-2x≠3.解之得x≠-1且x≠0,且x≠3.(2)因为-2∈A,所以x=-2或x2-2x=-2.由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.
第2课时 集合的表示
1.列举法(1)方法:将集合的元素_________出来,并置于花括号_________内. (2)注意事项:①元素之间要用_____分隔;②列举时与元素的_____无关.
【思考】一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
2.描述法(1)形式:{x|p(x)},其中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质.(2)本质:它是集合符号语言的具体体现,可将集合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
【思考】{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢?提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3.Venn图法(1)形式:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.(2)作用:直观地表示集合.4.集合相等(1)定义:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等.(2)本质:A与B相等,即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素.
5.集合的分类(1)含有_______元素的集合称为有限集;(2)含有_______元素的集合称为无限集;(3)_____________的集合称为空集,记作⌀.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合{x|x2=1}与集合{-1,1}相等.( )(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}相等.( )
提示:(1)×.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,2,3}.(2)×.集合{(1,2)}中的元素是(1,2).(3)√.由x2=1求得x=-1或x=1,所以{x|x2=1}与{-1,1}相等.(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的实数,两个集合相等.
2.给出下列集合,(1){0}.(2){x|x>7,且x<1}.(3){x|x>4}.(4){x|x2-2=0,x∈Z}.其中空集的个数为( ) A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.满足x>7且x<1的实数不存在,故{x|x>7,且x<1}=⌀.因为x2-2=0的解为±⌀,不是整数,所以{x|x2-2=0,x∈Z}=⌀.另外两个集合显然不是空集.故空集的个数为2.
3.(教材二次开发:习题改编)由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________,用描述法表示为________. 【解析】大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4},用描述法表示可用x表示代表元素,其满足的条件是-1
3.用列举法表示下列集合.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合.(2)不大于10的非负偶数组成的集合.(3)方程x3=x的实数解组成的集合.(4)一次函数y=x-2与y=-x的图象的交点组成的集合.
【解析】1.因为2∈{1,x2+x},所以2=x2+x,解得x=1或-2,经检验满足互异性,所以x=1或-2.答案:1或-22.因为M={m,2},N={m+2,2m},且M=N,所以 解得m=0,所以实数m的值为0.答案:0
3.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游记》,《水浒传》,《红楼梦》}.(2)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(3)方程x3=x的实数解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1,-1}.(4)解方程组 得 即交点是(1,-1),故两函数图象的交点组成的集合是{(1,-1)}.
【解题策略】1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素.(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.(3)用花括号括起来.
2.在用列举法表示集合时的关注点(1)明确集合中的元素是什么.如T3(4)是点集,而非数集,集合的所有元素用有序数对表示,并用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.(2)元素不重复,元素无顺序.如{1,1,2}为错误表示.又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合.
【补偿训练】用列举法表示下列集合: (1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.(2) “Welcme”中的所有字母构成的集合.(3) 2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}.(2)由于“Welcme”中包含的字母有W,e,l,c,,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,,m}.(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}.
类型二 描述法表示集合(数学抽象)【典例】1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( ) A.1B.2C.3D.42.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是( )A.x1·x2∈AB.x2·x3∈BC.x1+x2∈BD.x1+x2+x3∈A
3.用描述法表示下列集合:(1) .(2)被5除余1的正整数组成的集合.(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
【思路导引】1.首先确定x和y的取值范围,其次根据x∈Z,y∈Z逐一列举,确定A中元素的个数.2.首先确定集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,其次根据奇数、偶数之间相加和相乘的运算结果判断.3.首先确定集合中元素的共同特征,其次选择合适的等式和不等式表示.
【解析】1.选D.由题意得,-1≤x≤1,-1≤y≤1,x∈Z,y∈Z,A={(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)},所以A中元素的个数为4.2.选D.因为集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3为偶数,故D错误.
3.(1)集合 用描述法表示为 (2)根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}.(3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示为
【解题策略】1.描述法表示集合的两个步骤
2.用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1,x∈R}不能写成{x<1,x∈R}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x|x=2k,x∈Z},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x|x=2k,x∈Z,k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解组成的集合可表示为{x|x2-2x+1=0,x∈R},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
【跟踪训练】1.已知集合M={x|x=7n+2,n∈N},则2 018______M,2 019________M.(填“∈”或“∉”) 【解析】因为2 018=7×288+2,2 019=7×288+3,所以2 018∈M,2 019∉M.答案:∈ ∉
2.用描述法表示下列集合:(1)小于10的非负整数构成的集合;(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;(4)集合{1,3,5,7,…}.
【解析】(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.
类型三 集合表示方法的综合应用(数学抽象、数学运算) 角度1 用适当的方法表示集合 【典例】用适当的方法表示下列集合:(1)函数y=x2-2x的图象与x轴的公共点的集合;(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;(3)3和4的正的公倍数构成的集合;(4)大于4的奇数构成的集合.
【思路导引】根据集合中元素的个数和特征,选择恰当的方法表示集合.【解析】(1)列举法:{(0,0),(2,0)}.(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.(3)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}.(4)用描述法表示为D={x|x=2k+1,k≥2,k∈N}或D={x|x=2k+3,k∈N*}.
角度2 方程、不等式等知识与集合交汇 【典例】(2020·朔州高一检测)已知集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.【思路导引】将问题转化为方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,求实数k的值.应注意分k=0和k≠0两种情况讨论.
【解析】(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,A={2};(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4}.综上所述,k=0时,集合A={2};k=1时,集合A={4}.
【变式探究】本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变,求实数k的值组成的集合.【解析】由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.故 即k<1且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}.
【解题策略】1.解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.(2)若已知集合是用列举法给出的,整体把握元素的共同特征是解题的关键.2.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素,明确元素的特征性质.(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.
【题组训练】1.已知集合{b|b∈R}={x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R},其中a,b为常数,则a+b=( )
【解析】选D.因为集合{b|b∈R}为单元素集合,所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R}也只有一个元素b,所以方程ax2-4x+1=0只有一个解,①当a=0时,方程只有一个解x= ,即b= ,满足题意,此时a+b=0+ = ;②当a≠0时,则Δ=42-4a=0,解得a=4,方程只有一个解x= ,即b= ,满足题意,此时a+b=4+ = .综上所述,a+b= 或 .
2.集合{(x,y)| }可用列举法表示为________. 【解析】解方程组 可得 所以{(x,y)| ={(2,3)}.答案:{(2,3)}
3.用适当的方法表示下列集合.(1)36与60的公约数组成的集合.(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合.(3)不等式x-2>6的解的集合.(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合.
【解析】(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.(2){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.(3){x|x>8}.(4){1,2,3,4,5,6}.
1.已知集合A={x|-1≤x<4,x∈Z},则集合A中元素的个数为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为-1≤x<4,x∈Z,所以x=-1,0,1,2,3,所以集合A={-1,0,1,2,3}共有5个元素.
2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的点组成的集合【解析】选D.集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),满足的关系式为y=2x-1,因此集合表示的是函数y=2x-1图象上的点组成的集合.
3.已知a∈ ,则实数a的值为________. 【解析】由题意得,a=1或a= ,当a=1时, =1不满足集合中元素的互异性;当a= 时,a=0或a=1,经检验,a=0符合题意,综上可知,a=0.答案:0
4.函数y= 的自变量的值组成的集合为________. 【解析】函数y= 的自变量应满足x≠1,组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1}.答案:{x∈R|x≠1}
5.(教材二次开发:习题改编)设x,y为实数,已知A={x,y},B={0,x2},且A=B,求x,y的值.【解析】因为集合A,B相等,则x=0或y=0.(1)当x=0时,x2=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去.(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去.综上知:x=1,y=0.
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