第01讲 三角形基础知识之三角形的边、角、“三线”专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

第1讲  三角形的边、角、三线专题探究

考点一  三角形的边角关系

【知识点睛】

        边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边

        角：三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和

        应用：

1.判断三条线段能否构成三角形的方法：

①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；

②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形

     若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形

    2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等

        飞镖模型：

【类题训练】

1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

2．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（　　）

A．6m B．18m C．26m D．20m

3．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（　　）

A．7 B．8 C．13 D．14

4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）

A．1，2，3     B．4，5，10     C．5，10，13      D．2a，3a，6a（a＞0）

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．50°

6．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（　　）

①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°

8．（2022春•秦淮区期中）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 　   　°．

9．（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°

10．（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．60°

11．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝　   　度．

12．（2020春•和平区校级期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，

化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝　   　．

13．（2020春•东湖区期末）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为　   　cm．

14．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　   　．

15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．

（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；

（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．

16．（2022春•建湖县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．

（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；

（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．

考点二  三角形的“三线”及其作用

【知识点睛】

        三角形角平分线夹角模型：

        角的“8”字模型：

变型：

        △高线与角平分线夹角模型：

【类题训练】

1．下列判断错误的是（　　）

A．三角形的三条高的交点在三角形内   B．三角形的三条中线交于三角形内一点

C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点  D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点

2．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（　　）

A．10 B．5 C．8 D．4

3．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝10cm2，则阴影部分的面积为 　   　cm2．

4．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，则∠A为（　　）

A．44° B．54° C．58° D．64°

5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，下列结论正确的有（　　）

①S△ABD＝S△DCA；②S△AEF＝S△BDF；③S四边形EFDC＝2S△AEF；④S△ABC＝3S△ABF

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（　　）

A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°

7．（2022春•碑林区校级期中）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（　　）

A．5 B．2.5 C．1.4 D．1.25

8．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．

（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；

（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．

9．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．

（1）【性质理解】

如图2，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求证：∠EAB＝∠B；

（2）【性质应用】

如图3，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度数．

10．在△ABC中，

（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．

若∠A＝60°，求∠BPC的度数．

若∠A＝n°，则∠BPC＝　   　．

（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．

（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：

∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？

（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，

△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

11．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，∠AEB＝　   　°；

（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；

（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．