第03讲 全等三角形常见模型专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

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K型图模型总结
K型全等模型变形——三垂定理：
如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS)
总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系
【类题训练】
1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
2．（2021秋•惠民县月考）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S＝ ．
3．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
4．（2020秋•永年区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在边BC上运动（点D不与BC点重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交边AC于点E．
（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．
5．（2022春•锦江区校级期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
6．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
模型二 手拉手模型
【知识点睛】
手拉手模型总结
手拉手模型在第一章只是表面应用，后续深层次应用需要在等腰三角形学完之后探究
【类题训练】
1．（2021秋•诸暨市月考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）线段BD与线段CE的关系为 ，请说明理由．
2．（2021秋•宣化区期末）已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠ABD＝45°；③∠BAE+∠DAC＝180°；④BD⊥CE．其中正确的是 ．（只填序号）
3．（2021秋•长沙期末）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．
（1）求证：CD＝BE；
（2）求∠CFB的度数．
4．（2021秋•大连期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数，得到线段AE，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D在线段CB延长线上时，补全图形，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明．
模型三 对称全等模型
【知识点睛】
对称全等模型总结
常见基本图形：
模型提取：1.对称变换基本特征：必有对称轴
2.对称型全等模型常隐含的条件：
具有公共边、公共角、有时全等三角形不止一对、对称轴会平分公共角
3.全等证明常用解决手段：
多想角度间的等量代换方法—角平分线的定义、内角和公式、外角定理等
4.其特殊应用环境：角平分线的常见辅助线
角平分线基本性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
（对称类全等经常和角平分线结合，可以考察角平分线的定义，也可以考察角平分线的性质定理）
【类题训练】
1．（2022•梧州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）
A．14B．8C．16D．6
2．（2021秋•泗水县期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．4cm2B．5cm2
C．6cm2D．7cm2
3．（2020秋•江岸区校级月考）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD与BE交于O点，则∠EOC的度数为（ ）
A．80°B．85°C．90°D．100°
4．（2022•永嘉县模拟）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点F，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）当∠A＝40°时，求∠BFC的度数．
5．（2022•嘉兴一模）在①OA＝OD，②∠ABC＝∠DCB，③∠ABO＝∠DCO这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2．
若 ，求证：AB＝DC．
6．（2021秋•台安县月考）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN．
7．（2021春•西安期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？
（2）求∠FAE的度数；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．
图形
条件与结论
辅助线
注意事项
条件：AC=BC,AC⊥BC
结论：
△ADC≌△CEB(AAS)
分别过点A、B作AD⊥l,
BE⊥l
K型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方形结合
图形
条件与结论
辅助线
条件：
AD=AE、AB=AC
∠BAC=∠DAE
结论：
△ABD≌△ACE(SAS) BD=CE
分别连接BD、CE