第07讲 等腰三角形中的分类讨论-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

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第7讲 等腰三角形中的分类讨论
【知识点睛】
v 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；
v 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论
设等腰三角形中有一个角为α时
对应结论
当α为顶角时
底角=
当α为直角或钝角时
不需要分类讨论，该角必为顶角
当α为锐角时
α可以为顶角；也可以为底角
当等腰三角形的一个外角为α时
对应结论
若α为锐角、直角
α必为顶角的外角
若α为钝角
α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角
v 动态环境下的等腰三角形存在性问题


【类题训练】
1．△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是 　8cm或6cm　．
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm，哪个是12cm，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为12，则2x+x＝12，解得x＝4cm，
则x+y＝9，即4+y＝9，解得y＝5cm；

若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，解得x＝3cm，
则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；
所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．
故答案为：8cm或6cm．
2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是　70°或40°　．
（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是　40°，40°　．
（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为　35°或20°　．
【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．
（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．

（2）∵等腰三角形的两底角相等
∴两底角的和为180°﹣100°＝80°
∴两个底角分别为40°，40°．

（3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；
②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°
故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°．

3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 　9cm或cm　．
【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．
【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，
当△ABD的周长大于△BCD的周长时，
AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，
底边长为35﹣13×2＝9（cm）；
当△BCD的周长大于△ABD的周长时，
则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，
底边长为35﹣×2＝（cm）．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm．
故答案为：9cm或cm．

4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，则∠B＝　70°或20°　．
【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B．
【解答】解：若△ACB是锐角三角形，如图1．
∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝70°，
若△ACB是钝角三角形，如图2．
∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，
∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB
∴∠B＝20°
故答案为：70°或20°．
5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选：B．
6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y＝21﹣2x，根据三角形三边关系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，
则x+x+y＝21，
即①y＝21﹣2x＞0，
所以②x+x＞21﹣2x，
解①②得：5＜x＜10.5，
所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，
故选：A．
7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　．

【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
8．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　4或12　s时，△POQ是等腰三角形．

【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4s；

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12s
故答案为4s或12s．
9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．
【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；

B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；

C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；

D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；

故选：B．
10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 　75°或120°或15°　．

【分析】分三种情形分别求解即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．
②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，
故答案为：75°或120°或15°．
12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为　3或9　．

【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：如图，连接CP，BQ，
∵△ABC，△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，
∴△ACP≌△ABQ（SAS）
∴BQ＝CP，
∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，
∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴PQ＝PB，
∴AP＝PB＝3＝AQ，
∴点Q运动路线的长为3，
当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴BQ＝PB，
∴BP＝BQ＝3，
∴点Q运动路线的长为3+6＝9，
故答案为：3或9．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　45°或36°或或　．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，
①如图1，∵∠ACB＝2∠A，
∴AD＝DC＝BD，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°；
②如图2，AD＝DC＝BC，
∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，
∴∠BDC＝2∠A，
∴∠A＝36°，
③AD＝DC，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，
∴∠BCD＝2∠A，
∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．
④如图3，AD＝AC，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
设∠B＝∠BCD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝2α，
∴∠ACB＝3α，
∴∠A＝α，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+α+3α＝180°，
∴α＝，
∴∠A＝，
⑤如图4，AC＝CD＝DB，
∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，
∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，
∴∠B＝∠DCB＝＝，
∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，
∵∠ACB＝2∠A，
∴180°﹣＝2∠A，
∴
综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．
故答案为：45°或36°或或．
14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为　3或9　．
【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．
【解答】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：
①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE＝，
∴CF＝+3＝，
∵ED＝EC，
∴CF＝DF，
∴CD＝×2＝9；
②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝AE＝，
∴CF＝﹣3＝，
∵ED＝EC，
∴CF＝DF，
∴CD＝×2＝3；
即C＝9或3，
故答案为：3或9．
15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．
【分析】分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根据一对直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC＝135°．
【解答】解：分两种情况考虑：
当∠ABC为锐角时，如图1所示，
∵AD⊥DB，BE⊥AC，
∴∠MDB＝∠AEM＝90°，
∵∠AME＝∠BMD，
∴∠CAD＝∠MBD，
在△BMD和△ACD中，
，
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°；
当∠ABC为钝角时，如图2所示，
∵BD⊥AM，BE⊥AC，
∴∠BDM＝∠BEC＝90°，
∵∠DBM＝∠EBC，
∴∠M＝∠C，
在△BMD和△ACD中，
，
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45゜，
则∠ABC＝135゜．

16．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的长．
【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．
【解答】解：此题分以下两种情况：
①如图1，过P作PN⊥CA于N，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵∠NPM＝90°，
∴∠NPA＝∠BPM，
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA，
∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，
∴BC＝7；
②如图2，过P作PN⊥CA于N，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵∠NPM＝90°，
∴∠NPA＝∠BPM，
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA，
∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，
可得BC＝9．
综合上述CB＝7或9．

17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．

18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数　 　．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为　 　．
【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；
（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．
【解答】解：
（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．
每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．
故答案为：90°、135°、45°．
（3）如下图作△ABC，

①如图1：当AD＝AE时，
∵2x+x＝30+30，
∴x＝20．
②如图2：当AD＝DE时，
∵2x+x+30+30＝180．
∴x＝40．
所以x的所有可能的值为20°或40°．
故答案为20°或40°．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．
（1）求证：点P也是BC的中点；
（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．

【分析】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝PA，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；
（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；
（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；
②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；
③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，
∵点P为AE的中点，
∴PE＝PA，
在△CEP和△BAP中，，
∴△CEP≌△BAP（AAS），
∴PC＝PB，
∴点P也是BC的中点；
（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠ABP＝90°，
在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，
由（1）得：CP＝PB＝3，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；
（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；
②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：
则AN＝NQ，
S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，
即4×3＝5BN，
∴BN＝，
在Rt△ABN中，AN＝＝＝，
∴AQ＝2AN＝；
③当AQ＝QB时，如图2所示：
∵AQ＝QB，
∴∠QAB＝∠QBA，
∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，
∴∠QPB＝∠QBP，
∴QB＝QP，
∴QB＝AQ＝QP，
∴AQ＝AP＝；
综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．