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第14讲 平面直角坐标系与几何图形的综合（原卷版+解析）
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第14讲 平面直角坐标系与几何图形的综合
【知识点睛】
v 平面直角坐标系知识网络系统图
各问题归纳总结
若点、、
问题一：若点P在x轴上，则b=0； 若点P在y轴上，则a=0；
若点P在第一象限，则a＞0，b＞0； 若点P在第二象限，则a＜0，b＞0；
若点P在第三象限，则a＜0，b＜0； 若点P在第四象限，则a＞0，b＜0；
问题二：若点A、B在同一水平线上，则； 若点A、B在同一竖直线上，则；
若点P在第一、三象限角平分线上，则；若点P在第二、四象限角平分线上，则；
问题三：点关于x轴对称的点P1坐标为；
点关于y轴对称的点P2坐标为；
点关于原点对称的点P3坐标为；
问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”；
问题五：线段AB的中点公式：；
若点A、B在同一水平线上，则AB=；若点A、B在同一竖直线上，则AB=；
若点A、B所在直线是倾斜的，则AB=（两点间距离公式）
问题六：点到x轴的距离=|b|；点到y轴的距离=|a|；
问题七：割补法，优先分割，然后才是补全
问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；
②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）
注意横纵坐标的规律可能不同。
【类题训练】
1．如图，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点C的坐标为（ ）
A．（10，0） B．（0，10） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
【分析】根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：由题意得，OB＝6，OA＝8，
∴AB＝＝10，
则AC＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝2，
∴点C坐标为（﹣2，0），
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（ ）
A．（3，x）（﹣1≤x≤5） B．（x，3）（﹣1≤x≤5）
C．（3，x）（﹣5≤x≤1） D．（x，3）（﹣5≤x≤1）
【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，
∴AB∥x轴，
∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），
故选：B．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（ ）
A．点A与点D的纵坐标相同 B．点A与点B的横坐标相同
C．点A与点C的纵坐标相同 D．点B与点D的横坐标相同
【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，
∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．
故选：A．
4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B可表示为点B（2，30），则D点可表示为（ ）
A．D（0，90） B．D（90，0） C．D（90，5） D．D（5，90）
【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．
【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：∵直线AB∥x轴，
∴m﹣1＝3﹣m，
解得：m＝2，
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2022，﹣1） C．（2021，﹣1） D．（2022，0）
【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．
【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，
所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（3，1） C．（3，3） D．（1，3）
【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，
点P运动一周需要8秒，
2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．
【解答】解：∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵B（﹣1，b），C（2，c），
∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，
∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，
∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，
∴AB•CD＝12，
故答案为：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a≤0 B．﹣1≤a≤1 C．1≤a＜2 D．0＜a≤1
【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．
【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，
∴a＜3﹣a，
解得：a＜1.5，
若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），
∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，
∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的4个都在线段AB上，
∴3≤3﹣a＜4．
解得：﹣1＜a≤0，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．
【解答】解：过点B′作B′D⊥OC
∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4
∴∠B′CD＝30°，B′D＝2
根据勾股定理得DC＝2
∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）
故选：C．
11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为 ．
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；
当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 ．
【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．
【解答】解：根据题意得：G（，），
∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，
∴，
解得：4a+b＝4或0．
故答案为：4或0．
14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．
（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标 ；
（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值 ．
【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；
（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．
【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠4，
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；
（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；
∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．
（1）求AC，AB的长；
（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．
【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），
∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，
在Rt△OAB中，
AB＝，
在Rt△ACH中，
AC＝；
（2）∠CAB是直角，理由：
由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，
∵，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠CAB是直角．
16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
【结论提炼】
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 ，所以△ABC面积的大小为 ．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 ；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 ，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 ，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 ，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积 ．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是： ．
【分析】【结论应用】直接代入公式即可；
【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；
（2）（3）与（1）同理；
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．
【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，
故答案为：4，20；
【再探新知】
（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，
∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，
故答案为：36，37.5，不合适；
（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，
∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
故答案为：36，36，合适；
（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，
∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
故答案为：合适；
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，
故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA＝PB，
①求证：PA⊥PB；
②求OA+OB的值；
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA＝PB，
③求OA﹣OB的值；
④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．
【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；
②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；
（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；
④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．
【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∵P（2，2），
∴PE＝PF＝2，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，
∴PA⊥PB；
②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴BF＝AE，
∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，
∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；
（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF，
∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，
∴OA﹣2＝OB+2，
∴OA﹣OB＝4；
④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE＝OF＝2，
∵A（8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF＝6，
∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．
（1）点A的坐标为 ；点D的坐标为 ；
（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：
①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 ；
②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；
（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；
②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），
∴BC＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A（1，4），D（5，4），
故答案为：（1，4），（5，4）；
（2）①如图：共有3个，
故答案为：3；
②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），
∵区域W内恰好有3个整点，
∴2＜m≤3或6≤m＜7．
19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．
请完成下列各题．
（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为 ．
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．
（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．
【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；
（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；
（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．
【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，
∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，
∴P′的坐标为（﹣1，﹣），
故答案为（﹣1，﹣）；
（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），
∴PP'∥x轴，
∴PP'＝|kt|，
又∵OP＝t，PP'＝3OP，
∴|kt|＝3t，
∴k＝±3；
（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），
∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，
又∵xy＝﹣8，
∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，
∴m﹣2n＝±4，
∵点A在第四象限，
∴x＞0，
即m﹣2n＝4．
20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；
（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；
（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，
∴|a﹣3|＝0，＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，
∵AO＝3，
∴点P运动3秒时，点P在线段AB 上，且AP＝3，
∴点P的坐标是（3，3）；
如图，作PE∥AO．
∵CB∥AO，PE∥AO，
∴CB∥PE，
∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，
∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；
（3）存在．
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上．
①当点P运动到AB上时，2t≤7，
∵0＜t≤，PA＝2t﹣OA＝2t﹣3，
∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，
∴PA＝2×2﹣3＝1，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，
∵点P到x轴的距离为4，
∴t＝4，解得t＝8，
∵≤t≤5，
∴此种情况不符合题意；
③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，
∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，
∴14﹣2t＝t，解得：t＝，
∴PO＝﹣2×+14＝，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．
第14讲 平面直角坐标系与几何图形的综合
【知识点睛】
v 平面直角坐标系知识网络系统图
各问题归纳总结
若点、、
问题一：若点P在x轴上，则b=0； 若点P在y轴上，则a=0；
若点P在第一象限，则a＞0，b＞0； 若点P在第二象限，则a＜0，b＞0；
若点P在第三象限，则a＜0，b＜0； 若点P在第四象限，则a＞0，b＜0；
问题二：若点A、B在同一水平线上，则； 若点A、B在同一竖直线上，则；
若点P在第一、三象限角平分线上，则；若点P在第二、四象限角平分线上，则；
问题三：点关于x轴对称的点P1坐标为；
点关于y轴对称的点P2坐标为；
点关于原点对称的点P3坐标为；
问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”；
问题五：线段AB的中点公式：；
若点A、B在同一水平线上，则AB=；若点A、B在同一竖直线上，则AB=；
若点A、B所在直线是倾斜的，则AB=（两点间距离公式）
问题六：点到x轴的距离=|b|；点到y轴的距离=|a|；
问题七：割补法，优先分割，然后才是补全
问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；
②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）
注意横纵坐标的规律可能不同。
【类题训练】
1．如图，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点C的坐标为（ ）
A．（10，0） B．（0，10） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
【分析】根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：由题意得，OB＝6，OA＝8，
∴AB＝＝10，
则AC＝10，
∴OC＝AC﹣OA＝2，
∴点C坐标为（﹣2，0），
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（ ）
A．（3，x）（﹣1≤x≤5） B．（x，3）（﹣1≤x≤5）
C．（3，x）（﹣5≤x≤1） D．（x，3）（﹣5≤x≤1）
【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，
∴AB∥x轴，
∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），
故选：B．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（ ）
A．点A与点D的纵坐标相同 B．点A与点B的横坐标相同
C．点A与点C的纵坐标相同 D．点B与点D的横坐标相同
【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，
∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．
故选：A．
4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B可表示为点B（2，30），则D点可表示为（ ）
A．D（0，90） B．D（90，0） C．D（90，5） D．D（5，90）
【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．
【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：∵直线AB∥x轴，
∴m﹣1＝3﹣m，
解得：m＝2，
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2022，﹣1） C．（2021，﹣1） D．（2022，0）
【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．
【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，
所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（3，1） C．（3，3） D．（1，3）
【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，
点P运动一周需要8秒，
2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．
【解答】解：∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵B（﹣1，b），C（2，c），
∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，
∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，
∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，
∴AB•CD＝12，
故答案为：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a≤0 B．﹣1≤a≤1 C．1≤a＜2 D．0＜a≤1
【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．
【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，
∴a＜3﹣a，
解得：a＜1.5，
若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），
∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，
∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的4个都在线段AB上，
∴3≤3﹣a＜4．
解得：﹣1＜a≤0，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．
【解答】解：过点B′作B′D⊥OC
∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4
∴∠B′CD＝30°，B′D＝2
根据勾股定理得DC＝2
∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）
故选：C．
11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为 ．
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；
当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 ．
【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．
【解答】解：根据题意得：G（，），
∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，
∴，
解得：4a+b＝4或0．
故答案为：4或0．
14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．
（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标 ；
（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值 ．
【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；
（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．
【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠4，
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；
（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；
∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．
（1）求AC，AB的长；
（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．
【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），
∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，
在Rt△OAB中，
AB＝，
在Rt△ACH中，
AC＝；
（2）∠CAB是直角，理由：
由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，
∵，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠CAB是直角．
16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
【结论提炼】
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 ，所以△ABC面积的大小为 ．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 ；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 ，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是 ，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 ，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积 ．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是： ．
【分析】【结论应用】直接代入公式即可；
【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；
（2）（3）与（1）同理；
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．
【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，
故答案为：4，20；
【再探新知】
（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，
∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，
故答案为：36，37.5，不合适；
（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，
∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
故答案为：36，36，合适；
（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，
∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，
利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，
∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，
故答案为：合适；
【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，
故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA＝PB，
①求证：PA⊥PB；
②求OA+OB的值；
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA＝PB，
③求OA﹣OB的值；
④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．
【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；
②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；
（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；
④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．
【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∵P（2，2），
∴PE＝PF＝2，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，
∴PA⊥PB；
②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴BF＝AE，
∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，
∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；
（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF，
∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，
∴OA﹣2＝OB+2，
∴OA﹣OB＝4；
④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE＝OF＝2，
∵A（8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF＝6，
∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，
∴点B的坐标为（0，﹣4）．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．
（1）点A的坐标为 ；点D的坐标为 ；
（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：
①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 ；
②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；
（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；
②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），
∴BC＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A（1，4），D（5，4），
故答案为：（1，4），（5，4）；
（2）①如图：共有3个，
故答案为：3；
②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），
∵区域W内恰好有3个整点，
∴2＜m≤3或6≤m＜7．
19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．
请完成下列各题．
（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为 ．
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．
（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．
【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；
（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；
（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．
【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，
∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，
∴P′的坐标为（﹣1，﹣），
故答案为（﹣1，﹣）；
（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），
∴PP'∥x轴，
∴PP'＝|kt|，
又∵OP＝t，PP'＝3OP，
∴|kt|＝3t，
∴k＝±3；
（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），
∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，
又∵xy＝﹣8，
∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，
∴m﹣2n＝±4，
∵点A在第四象限，
∴x＞0，
即m﹣2n＝4．
20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；
（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；
（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，
∴|a﹣3|＝0，＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，
∵AO＝3，
∴点P运动3秒时，点P在线段AB 上，且AP＝3，
∴点P的坐标是（3，3）；
如图，作PE∥AO．
∵CB∥AO，PE∥AO，
∴CB∥PE，
∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，
∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；
（3）存在．
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上．
①当点P运动到AB上时，2t≤7，
∵0＜t≤，PA＝2t﹣OA＝2t﹣3，
∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，
∴PA＝2×2﹣3＝1，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，
∵点P到x轴的距离为4，
∴t＝4，解得t＝8，
∵≤t≤5，
∴此种情况不符合题意；
③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，
∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，
∴14﹣2t＝t，解得：t＝，
∴PO＝﹣2×+14＝，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．
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