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第18讲 一次函数考点分类总复习（原卷版+解析）
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第18讲 一次函数考点分类总复习
考点一 待定系数法求一次函数表达式
【知识点睛】
v 一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数；
正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的一次函数叫做正比例函数；
☆从定义可知：1.一次函数y=kxm+b需满足的条件有两点：①m=1；②k≠0；
2.正比例函数是特殊的一次函数
v 待定系数法求一次函数表达式的方法：
步骤
普通一次函数具体操作
正比例函数具体操作
1.“设”
设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）
设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0）
2.“代入”
把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组
把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程
3.“解”
解这个关于k、b的二元一次方程组
解这个关于k的一元一次方程
4.“再代入”
把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式
把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式
v 一次函数y=kx+b的图象平移规律：
首先明确一次函数的图象是一条直线，具体图象的性质见下一个考点总结；
直线解析式的平移口诀：左加右减（x），上加下减（整体）
【类题训练】
1. 下列y关于x的函数关系式：①y＝x；②y＝；③y＝﹣1；④y＝﹣x+10；⑤y＝+1；⑥；⑦y＝2x﹣1
其中是一次函数的是 ，是正比例函数的是
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①y＝x是一次函数，也是正比例函数；
②y＝属于二次函数；
③y＝﹣1不属于一次函数；
④y＝﹣x+10是一次函数，不是正比例函数；
⑤y＝+1不是一次函数；
⑥是一次函数，也是正比例函数；
⑦y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数；
综上所述，是一次函数的有：①、④、⑥、⑦；是正比例函数的是：①、⑥
故答案为：①、④、⑥、⑦ ；①、⑥
2．若函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ）
A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝0 D．m＝2且n＝0
【分析】根据一次函数的定义列出方程组解答即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，
∴，解得，．
故选：A．
3．若函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，则k的值是（ ）
A．k≠2 B．k＝2 C．k＝﹣ D．k＝﹣2
【分析】根据正比例函数的定义得出k﹣2≠0且2k+1＝0，再求出k即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，
∴k﹣2≠0且2k+1＝0，
解得：k＝﹣，
故选：C．
4．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）．
因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0，
解得：t＝﹣3．
故正比例函数为y＝﹣3x，
故答案为：y＝﹣3x．
5．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，对应的y的值为2≤y≤8，则kb的值为（ ）
A．15 B．﹣15 C．﹣10或12 D．15或﹣15
【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，
解得k＝3，b＝5．即kb＝15；
当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，
解得k＝﹣3，b＝5．即kb＝﹣15．
故选：D．
6．若y+1与x﹣2成正比例，当x＝0时，y＝1；则当x＝1时，y的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据正比例的意义可设y+3＝k（x﹣2），然后把已知的对应值代入求出k即可得到y与x之间的函数关系式，进而求得当x＝1时，y的值．
【解答】解：设y+1＝k（x﹣2），
把x＝0，y＝1代入得k•（0﹣2）＝1+1，解得k＝﹣1，
所以y+1＝﹣（x﹣2），
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+1，
当x＝1时，y＝﹣1+1＝0，
故选：C．
7．若y与z成正比例，z+1与x成正比例，且当x＝1时y＝1，当x＝0时，y＝﹣3，则y与x的函数关系式为 ．
【分析】根据题意设y＝kz，z+1＝mx，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式．
【解答】解：设y＝kz，z+1＝mx，即y＝k （mx﹣1）＝kmx﹣k，
将x＝1，y＝l；x＝0，y＝﹣3代入得：，
解得：，
∴y＝4x﹣3．
故答案为：y＝4x﹣3．
8．将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4．
故选：A．
9．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 ．
【分析】先将A（0，1），B（3，0）两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出一次函数的解析式为y＝﹣x+1，再根据“左加右减”的原则得出新的直线表达式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1．
将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到y＝﹣（x+2）+1，即y＝﹣x+．
故答案是：y＝﹣x+．
10．将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 ．
【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
11．函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到．
【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：上，1．
12．将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点，则平移后的解析式为 ．
【分析】可设平移后的直线解析式为y＝2x+b，把原点的坐标代入可求得b的值，则可求得平移后的解析式；
【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b，
∵将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点，
∴b＝0，
∴平移后的直线解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
13．（2021•金华模拟）已知经过点（0，2）的直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，则a＝ ，b＝ ．
【分析】相互平行的两条直线的一次项系数相等，故此a＝，将a＝，x＝0，y＝2代入y＝ax+b可求得b的值．
【解答】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，
∴a＝．
∴直线y＝ax+b的解析式为y＝x+b．
将x＝0，y＝2代入得：b＝2．
故答案为：；2．
14．在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）逆时针旋转60°得到点Q，我们称点Q是点P的“正影射点”．若t＝，则点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是 ．若点P在一次函数y＝x﹣上，对于任意的t值，P的“正影射点”Q都在一条直线上，则这条直线的函数表达式为 ．
【分析】如图1，根据“正影射点“的定义，将点P1（0，3）绕点T（，0）逆时针旋转60°，根据旋转的性质即可求得“正影射点”Q1的坐标；如图2，求得直线y＝x﹣与x、y轴的交点P1（1，0），P2（0，﹣），根据“正影射点“的定义将点P1、P2绕点T（0，0）逆时针旋转60°，得到Q1（，），Q2（，﹣），根据题意求得直线Q1Q2的解析式即可．
【解答】解：如图1，∵点T（，0），点P1（0，3），
∴OT＝，OP1＝3，
∴tan∠P1TO＝＝，
∴∠P1TO＝60°，
∴P1T＝2，
∴点P1绕点T（，0）逆时针旋转60°得到点Q1在x轴上，且Q1T＝2，
∴点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是（﹣，0）；
如图2，∵点P在一次函数y＝x﹣上，
∴P1（1，0），P2（0，﹣），
∴OP1＝1，OP2＝，
根据题意设T（0，0），则Q1（，），Q2（，﹣），
设直线Q1Q2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线Q1Q2的解析式为y＝﹣x+，
∴P的“正影射点”Q所在直线的函数表达式为y＝﹣x+；
故答案为：（﹣，0）；y＝﹣x+．
考点二 一次函数图象与性质
【知识点睛】
v 图象的画法：（原理：两点确定一条直线）
步骤
一次函数
正比例函数
找点
找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点
找除原点外的任意一个点
描点
在平面直角坐标系中描出所找的点的位置
连线
过这两个点画一条直线
过原点和这个点画一条直线
v 图象的性质
对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上
k＞0
k＜0
性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
直线走势
从左往右看上升
从左往右看下降
增减应用
当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
必过象限
直线必过第一、三象限
直线必过第二、四象限
b＞0
直线过第一、二、三象限
直线过第一、二、四象限
b=0（正比例函数）
直线过第一、三象限
直线过第二、四象限
正比例函数必过原点（0,0）
b＜0
直线过第一、三、四象限
直线过第二、三、四象限
【类题训练】
1.下列函数中：①y=-2x； ②y=x-2； ③y=x； ④y=-2x+1； ⑤y=x-4；
（1）求出各函数经过的象限
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
（2）y随x的值的增大而增大的函数有：
（3）y随x的值的增大而减小的函数有：
【分析】（1）根据每个函数y=kx+b中k、b的正负可以确定所过象限；
（2） 根据函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，可以解决此题
（3） 根据函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，可以解决此题
【解答】解：（1）①y=-2x中，∵-2＜0，∴函数过第二、四象限
②y=x-2中，∵1＞0，-2＜0，∴函数过第一、三、四象限
③y=x中，∵＞0，∴函数过第一、三象限
④y=-2x+1中，∵-2＜0，1＞0，∴函数过第一、二、四象限
⑤y=x-4中，∵＜0，-4＜0，∴函数过第二、三、四象限
故答案为：①第二、四象限；②第一、三、四象限；③第一、三象限；④第一、二、四象限；⑤第二、三、四象限；
（2） 函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，所以，函数② ③符合题意
故答案为：② ③
（3） 函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，所以，函数① ④ ⑤符合题意
故答案为：① ④ ⑤
2．下列各点中在函数的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（，3） C．（﹣4，1） D．（5，）
【分析】将选项中的坐标代入已知函数的解析式中，能使左右两边相等的即为正确选项．
【解答】解：∵当x＝3时，y＝×3+3≠﹣2，
∴点（3，﹣2）不在函数的图象上；
∵当x＝时，y＝×+3≠3，
∴点（，3）不在函数的图象上；
∵当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+3＝1，
∴点（﹣4，1）在函数的图象上；
∵当x＝5时，y＝×5+3≠，
∴点（5，）不在函数的图象上．
综上，在函数的图象上的点是（﹣4，1）．
故选：C．
3．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限；
B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2．
【解答】解：A：∵一次函数y＝3x﹣1，
k＝3＞0，
∴一次函数经过一、三象限，
∵b＝﹣1，
∴一次函数交y轴的负半轴，
∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限，
故A错误；
B：令y＝0，x＝，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0），
故B错误；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x，
故C错误；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2，
∴图象经过（1，2），
故D正确．
故选：D．
4．若一次函数y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【分析】根据一次函数的性质得出k﹣3＜0即可求解．
【解答】解：y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3；
故选：D．
5．如图，直线y＝kx+b，与y轴交于点（0，3）与x轴交于点（a，0）当﹣2≤a＜0时，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥
【分析】把点的坐标代入直线方程得到a＝﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围．
【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得
b＝3．则a＝﹣．
∵﹣2≤a＜0，
∴﹣2≤﹣＜0，
解得：k≥．
故选：D．
6．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）若|k|＜|b|，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由|k|＜|b|可知﹣＞1或﹣＜﹣1，即可判断直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边，观察四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵|k|＜|b|，
∴||＞1，
∴﹣＞1或﹣＜﹣1，
∴直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边．
故选：D．
7．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能式（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、三象限，故不符合题意；
B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、四象限，故符合题意；
C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
故选：B．
8．如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】由一次函数图象经过第二象限及一次函数图象与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0．
【解答】解：依题意可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
故选：D．
9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0
【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，
∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；
B、k1+k2＞0，故B不符合题意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，故D符合题意；
故选：D．
10．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．
解法二：本题还可用矛盾分析法来解决 A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．
B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．
C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．
D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．
故选：C．
11．一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【分析】先根据一次函数的增减性判断出（m﹣6）的符号，再求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y的值随x值的增大而减小，
∴m﹣6＜0，
∴m＜6．
故答案为：m＜6．
12．直线y＝﹣2x+b上有三个点（，y1），（﹣1.5，y2），（1.3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】利用一次函数y＝﹣2x+b的性质，当﹣2＜0时，y随x的增大而减小，通过比较横坐标x的大小，即可得到对应y值的大小．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴一次函数y＝﹣2x+b中y随x的增大而减小，
∵﹣1.5＜﹣＜1.3，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
13．在下列叙述中：①正比例函数y＝2x的图象经过二、四象限；②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而减小；③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值y＝﹣2；④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用正比例函数的性质判断即可；
②利用一次函数的性质判断即可；
③将x＝﹣1代入y＝3x+1中，计算即可；
④利用一次函数的性质判断即可．
【解答】解：①正比例函数y＝2x的图象经过一、三象限，故①错误；
②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而增大，故②错误；
③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值为y＝﹣2，故③正确；
④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数，故④正确．
则正确的个数为2个．
故选：B．
14．无论m取任何实数，一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点，此定点坐标为
【分析】解析式变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0，令，解得即可．
【解答】解：由一次函数变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0，
令，
解得，
故一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
15．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质说明函数的递增情况，确定a的取值范围，再从选项中确定正确的结果．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴1＜a．
∴a的值可能是2，
故选：A．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
【知识点睛】
一次函数y=kx+b
作用
具体应用
与一元一次方程的关系
求与x轴交点坐标
方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点横坐标
与二元一次方程组的关系
求两直线交点坐标
方程组的解是直线与直线的交点坐标
与一元一次不等式（组）的关系
一元一次不等（如kx+b＞0）的解可以由函数图象观察得出
由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：
①根据图象找出交点横坐标，
②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。
【类题训练】
1．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（6，0） C．（﹣3，0） D．（0，6）
【分析】令y＝0，可求得与x轴交点横坐标，进而求出与x轴交点坐标．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+6得，x＝2，
∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
故选：A．
2．若直线y＝4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．4 C．11 D．5
【分析】利用函数的解析式求得点A，B的坐标，进而得出线段OA，OB的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：当y＝0时，4x+4＝0，
解得：x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∴OA＝1．
当x＝0时，y＝4x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∴S△AOB＝OA•OB＝×1×4＝2．
故选：A．
3．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（4，0）和（3，2）两点，则方程kx+b＝4的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5
【分析】先求出函数的解析式，再把y＝4代入，即可求出x．
【解答】解：把（4，0）和（3，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
即y＝﹣2x+8，
当y＝4时，﹣2x+8＝4，
解得：x＝2，
∴方程kx+b＝4的解为x＝2，
故选：B．
4．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．
故选：A．
5．已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3
【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y＝0时，x＝3，
∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3．
故选：D．
6．若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0，n＞0）的解，则一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（3，0） C．（0，2） D．（0，3）
【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n，即可求得一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：∵方程的解为x＝2，
∴当x＝2时mx+n＝0；
∴一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n，
∴一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
7．如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＜0；③x＝﹣2是方程3x+b＝ax﹣2的解，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＞0；直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2交点的横坐标为x＝﹣2，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，故①正确，②错误；
当x＝﹣2时，直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2相交，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2，故③正确；
故选：C．
8．下表是一次函数y＝kx+b（k≠0）的部分自变量和相应的函数值，方程kx+b＝0的解x0所在的范围是（ ）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣3
﹣1
1
3
5
A．﹣2＜x0＜﹣1 B．﹣1＜x0＜0 C．0＜x0＜1 D．1＜x0＜2
【分析】由表格知当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，即可得出y＝0时，对应的x的取值即可．
【解答】解：由题知，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，
∴方程kx+b＝0的解x0所在的范围是﹣1＜x＜0，
故选：B．
9．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，直线y1＝x+m都在直线y2＝kx﹣1下方，即x+m＜kx﹣1．
【解答】解：根据题意得当x＜﹣1时，y1＜y2，
所以不等式x+m＜kx﹣1的解集为x＜﹣1．
故选：D．
10．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．x＜5 B．1＜x＜5 C．﹣2＜x＜5 D．x＜﹣2
【分析】y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，即可求解．
【解答】解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，
y＝mx+n＞0，则x＜5，
关于x的不等式组的解集为：x＜﹣2，
故选：D．
11．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
故选：B．
12．一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4），则二元一次方程组的解和b的值分别是（ ）
A．，b＝﹣6 B．，b＝0
C．，b＝0 D．，b＝﹣6
【分析】直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4），
∴二元一次方程组的解是，
将点P（2，4）的坐标代y＝2x+b，得b＝0，
故选：C．
13．一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组的解是．其中信息正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线y＝ax+b在y＝mx+n下方的部分对应的x的取值范围就是不等式mx+n≥ax+b的解集，由此判断②；直线y＝ax+b在y＝mx+n的交点坐标就是方程组的解，由此判断③．
【解答】解：如图，∵直线y＝ax+b经过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0
∵直线y＝mx+n经过一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴mn＜0，
∴ab＞mn，故①错误；
∵当x≤1时，直线y＝ax+b在y＝mx+n下方，
∴不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1，故②正确；
∵直线y＝ax+b与y＝mx+n的交点坐标为（1，3），
∴方程组的解是，故③正确．
故选：B．
14．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x﹣y＝b（b＜﹣1）的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x＞0，解方程组求得x＝﹣＞0，由b＜﹣1，得出﹣（b﹣1）＞0，即可得出a﹣1＞0，解得a＞1．
【解答】解：∵点A在第一象限，
∴x＞0，
，
②﹣①得（a﹣1）x＝﹣（b﹣1），
∴x＝﹣＞0，
∵b＜﹣1，
∴﹣（b﹣1）＞0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：D．
15．直线y＝mx+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则方程组的解为 ，关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为 ．
【分析】根据图象可得，直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），所以当x＞﹣1时，直线y＝mx+b，落在直线y＝kx的下方，可得关于x的不等式mx+b＜kx．即可得结论．
【解答】解：根据图象可知：
直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），
则方程组的解为：；
则关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为﹣1＜x＜0，
故答案为：；﹣1＜x＜0．
16．如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝﹣x+5交于点（1，m），则关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系解决此题．
【解答】解：当y＝0，﹣x+5＝0．
∴x＝5．
由图可知，当0＜y2＜y1，则5＞x＞1．
∴关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有2、3、4，共3个．
故选：B．
17．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，（n+1）x＜m﹣4n，其中正确的有 （填所有正确的序号）．
【分析】①由直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确；
②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，求出y＝0，即可判断结论②正确；
③将x＝﹣2代入两解析式由纵坐标相等，即可判断结论③正确；
④观察函数图象，可知当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，即nx+4n＞﹣x+m，即可判断结论④错误．
【解答】解：①∵直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，
∴m＜0；
∵y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，
∴n＞0，
故结论①正确；
②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，得y＝﹣4n+4n＝0，
∴直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）．
故结论②正确；
③∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝2+m＝﹣2n+4n，
∴m＝2n﹣2．
故结论③正确；
④∵当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，
∴当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，即（n+1）x＞m﹣4n，
故结论④错误，
故答案为：①②③．
18．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，以下说法错误的是（ ）
A．△ABD的面积为 3
B．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，2）
C．△BCD为直角三角形
D．方程组的解为
【分析】求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）；利用勾股定理的逆定理进行判断；根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解．
【解答】解：A、把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，
可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2．
把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，
可得﹣×（﹣）+m＝，解得m＝1，
∴直线l2：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
∴S△ABD＝BD•AO＝×3×2＝3，
故本选项正确，不符合题意；
B、点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故本选项错误，符合题意；
C、∵B（0，4），C（﹣，），D（0，1），
∴BC2＝（0+）2+（4﹣）2＝，CD2＝（0+）2+（1﹣）2＝，BD2＝（1﹣4）2＝9，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
故本选项正确，不符合题意；
D、∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
19．已知一次函数y1＝mx﹣2m+4（m≠0）．
（1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数y2＝﹣x+6，当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小；
（3）函数y1随x的增大而减小，且与y轴交于点A，若点A到坐标原点的距离小于6，点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）把点（2，4）代入解析式即可判断；
（2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小；
（3）根据题意求得A的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝mx﹣2m+4得，y1＝2m﹣2m+4＝4，
∴点（2，4）在该一次函数的图象上；
（2）∵一次函数y2＝﹣x+6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y1＝mx﹣2m+4的图象上，
∴一次函数y2＝﹣x+6的图象与函数y1＝mx﹣2m+4的图象的交点为（2，4），
∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大，
∴当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2；
（3）由题意可知，﹣2m+4＝±6且m＜0，
∴m＝﹣1，
∴A（0，6），
∵点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．
∴AB＝8，
∵＝8，
∴6＜S△ABC＜8．
20．如图，过点B（1，0）的直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式．
（2）不等式y1≥y2的解集为 ；（直接写出答案）
（3）求四边形PAOC的面积．
【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
（2）不等式y1≥y2即y＝kx+b的函数值不小于2x+4的函数值，观察函数图象得到当x≤﹣1时满足条件；
（3）根据S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC可得结论．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y2＝2x+4上，
∴a＝2×（﹣1）+4＝2，
则P的坐标为（﹣1，2），
∵直线l1：y1＝kx+b过点B（1，0），P（﹣1，2），
∴，解得．
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）不等式y1≥y2的解集为x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1；
（3）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝3，
∴S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC
＝×3×2−×1×1
＝3﹣
＝．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及△ABO的面积；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式，可得C（﹣4，0），根据S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO即可求解；
（2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得m的值；
（3）找出直线y＝﹣x落在直线y＝kx+b上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（a，2），
∴2＝﹣a，解得，a＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），
∴，解得，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8，
∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，
则2x+8＝0，解得x＝﹣4，
∴C（﹣4，0），
∴S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO＝×4×4﹣×4×2＝4；
（2）∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x﹣m，
∴0＝﹣×（﹣4）﹣m，解得m＝；
（3）∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣3，2），
∴根据图象可知﹣x＞kx+b的解集为：x＜﹣3．
考点四 一次函数的实际应用
【知识点睛】
v 一次函数与行程问题方法总结：
1. 图象问题首先确定x轴、y轴的具体意义，其次找拐点；
2. 图象中的拐点一般指行程形式的改变，如从行进到停止、从停止再出发等；
3. 行程问题中，函数图象的表示式中的|k|通常等于速度；
4. 甲乙相距a㎞的问题中，甲在乙的前方a㎞，等价函数关系式为：y甲-y乙=a㎞；乙在甲的前方a㎞，等价函数关系式为：y乙-y甲=a㎞；
另外，注意题目中是否有谁晚出发几小时，因为早出发的人离出发地a㎞，使两人相距a㎞；
或者谁先到目的地后，因为另一个人离目的地a㎞，使两人相距a㎞；
v 一次函数与几何图形结合问题要点提示：
1.首先明确x轴、y轴的具体意义
2.其次注意拐点的意义
3.一次函数与谁结合，多注意所结合图形的特殊性质的应用。
【类题训练】
1．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米．
（2）小明在书店停留了 分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟．
（4）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分．
【分析】（1）因为y轴表示路程，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；（2）与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可．
（3）共行驶的路程＝小明家到学校的距离+折回书店的路程×2．（4）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可．
【解答】解：（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校，
∴小明家到学校的路程是1500米．
（2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟．
（3）1500+600×2＝2700（米）
即：本次上学途中，小明一共行驶了 2700米．一共用了 14分钟．
（4）折回之前的速度＝1200÷6＝200（米/分）
折回书店时的速度＝（1200﹣600）÷2＝300（米/分），
从书店到学校的速度＝（1500﹣600）÷2＝450（米/分）
经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快
即：在整个上学的途中 从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分
2．一条公路沿线有A，B，C三个站点，甲、乙两车分别从A，B站点同时出发，匀速驶达C站．设甲、乙两车行驶xh后，与B站的距离分别为y1km，y2km．y1，y2与x的函数关系如图，则两车相遇的时间是（ ）
A．20min B．30min C．60min D．80min
【分析】根据图象，理解甲、乙在行程问题中的路程、速度、时间，由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象过（0，20）（0.5，0）可知A、B两站距离为20km，从A站到B站所用时间位0.5h，可求出甲车的速度为20÷0.5＝40km/h；由乙的图象可知B、C两站的距离是100km，所用时间为4h，则可求乙车的速度；再根据追及问题的数量关系：追及时间＝追及路程÷速度差，即可求出追及时间，即相遇时间．主要考查函数中自变量、因变量的变化关系，图象中点的坐标所表示的实际意义，以及行程问题中速度、路程、时间的关系．
【解答】解：由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象可知：
A，B两个站点的距离为：AB＝20 km，甲车的速度为：20÷0.5＝40km/h；
由乙车行驶xh，与B站的距离分别为y2km的图象可知：
B，C两个站点的距离为：BC＝100 km，乙车的速度为：100÷4＝25km/h；
两车相遇的时间就是甲车追上乙车所用时间：20÷（40﹣25）＝h＝80min
故选：D．
3．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论：
①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．
②这次比赛全程是10千米．
③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．
正确的结论为 ．
【分析】设实线表示甲的函数图象，求得在第15到33分时甲的速度，让15分加上甲行1千米用的时间即为第一次相遇的时间；易得乙的速度，乘以48即为全程；设t分时，第2次相遇，易得BC段甲的速度，相遇时甲走的路程等于乙走的路程，把相关数值代入求解后可得正误．
【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min，
∴再行1千米用的时间为9分钟，
∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确；
②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min，
所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min，
所以全长为48×0.25＝12km，故错误；
③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t，
解得t＝38，正确，
故答案为：①③．
4．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．75 B．80 C．85 D．90
【分析】从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，则AH＝＝4a＝BC，当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90，即可求解．
【解答】解：从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，
过点A作AH⊥CD于点H，则DH＝CH＝CD，
在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，
则AH＝＝4a＝BC，
当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，
则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90，
故选：D．
5．如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③，即可求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，
∴DH＝＝，
∴当y＝时，＝﹣x+6，
∴x＝，
∴点D（，），故③正确；
故选：D．
6．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
【分析】求出B（0，3）、点C（﹣1，0），分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可．
【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1，
即点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，
点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3），
②当BD不平行x轴时，
则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，
则直线DD′∥AB，
设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入上式并解得：n＝7，
直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（n，7﹣n），
A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝＝，
解得：n＝3，
故点D′（3，4）；
故答案为：（4，3）或（3，4）．
7．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D，与直线y＝2x﹣4相交于点C．
（1）不等式kx+b＞4的解集是 ；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据图象即可确定不等式的解集；
（2）待定系数法求解析式即可；
（3）先求出E点坐标和D点坐标，再求出交点C的坐标，进一步可得△DEC的面积，根据S△DEC＝3S△DEP，可得S△DEP＝，设点P的坐标为（p，﹣p+5），根据△DEP的面积列方程，即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）根据图象，可知不等式kx+b＞4的解集是x＜1，
故答案为：x＜1；
（2）将点A（5，0），B（1，4）代入直线y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+5；
（3）存在满足条件的点P，理由如下：
∵直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，
∴点E坐标为（0，﹣4），
∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点D，
∴点D坐标为（0，5），
∴DE＝9，
联立，
解得，
∴点C坐标为（3，2），
∴S△DEC＝＝，
∵S△DEC＝3S△DEP，
∴S△DEP＝，
设点P的坐标为（p，﹣p+5），
∴S△DEP＝＝，
∴|p|＝1，
∴p＝1或p＝﹣1，
∴点P坐标为（1，4）或（﹣1，6）．
8．如图，甲乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．
（1）试用文字说明，交点P的实际意义．
（2）甲车、乙车的行驶速度分别是多少？
（3）求出图中m、a的值．
（4）甲车在休息前和休息后行驶距离y（km）与时间x（h）的函数图象的位置是什么关系？写出其各自的函数表达式，并标注相应的x的取值范围．
（5）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？
【分析】（1）根据图象以及点P的坐标即可得出交点P的实际意义；
（2）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以分别求出甲车、乙车的行驶速度；
（3）根据图象即可求出a的值和m的值；
（4）甲车在休息前0≤x≤1，甲车在休息前和休息后1.5＜x≤7，根据图象利用待定系数法分别求出各自的函数表达式；
（5）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）交点P的实际意义是：甲出发3.5小时时，甲车和乙车在距离B地120千米处相遇；
（2）由图象可知，甲车3.5﹣0.5＝3小时行驶120千米，
所以甲车的行驶速度是120÷（3.5﹣0.5）＝40（千米/时），
乙车的行驶速度是120÷（3.5﹣2）＝80（千米/时）；
（3）由题意，得
m＝1.5﹣0.5＝1．
∵甲车的行驶速度是40千米/时，
∴a＝40×1＝40．
故a＝40，m＝1；
（4）①甲车在休息前即当0≤x≤1时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x，
由题意，得40＝k1，则y＝40x；
②甲车在休息后即当1.5＜x≤7时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，
由题意，得，解得：，
则y＝40x﹣20；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3，
由题意，得，解得：，
则y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝．
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，解得：x＝．
﹣2＝，﹣2＝．
答：乙车行驶或小时，两车恰好相距50km．
第18讲 一次函数考点分类总复习
考点一 待定系数法求一次函数表达式
【知识点睛】
v 一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数；
正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的一次函数叫做正比例函数；
☆从定义可知：1.一次函数y=kxm+b需满足的条件有两点：①m=1；②k≠0；
2.正比例函数是特殊的一次函数
v 待定系数法求一次函数表达式的方法：
步骤
普通一次函数具体操作
正比例函数具体操作
1.“设”
设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）
设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0）
2.“代入”
把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组
把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程
3.“解”
解这个关于k、b的二元一次方程组
解这个关于k的一元一次方程
4.“再代入”
把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式
把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式
v 一次函数y=kx+b的图象平移规律：
首先明确一次函数的图象是一条直线，具体图象的性质见下一个考点总结；
直线解析式的平移口诀：左加右减（x），上加下减（整体）
【类题训练】
1. 下列y关于x的函数关系式：①y＝x；②y＝；③y＝﹣1；④y＝﹣x+10；⑤y＝+1；⑥；⑦y＝2x﹣1
其中是一次函数的是 ，是正比例函数的是
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①y＝x是一次函数，也是正比例函数；
②y＝属于二次函数；
③y＝﹣1不属于一次函数；
④y＝﹣x+10是一次函数，不是正比例函数；
⑤y＝+1不是一次函数；
⑥是一次函数，也是正比例函数；
⑦y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数；
综上所述，是一次函数的有：①、④、⑥、⑦；是正比例函数的是：①、⑥
故答案为：①、④、⑥、⑦ ；①、⑥
2．若函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ）
A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝0 D．m＝2且n＝0
【分析】根据一次函数的定义列出方程组解答即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，
∴，解得，．
故选：A．
3．若函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，则k的值是（ ）
A．k≠2 B．k＝2 C．k＝﹣ D．k＝﹣2
【分析】根据正比例函数的定义得出k﹣2≠0且2k+1＝0，再求出k即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，
∴k﹣2≠0且2k+1＝0，
解得：k＝﹣，
故选：C．
4．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）．
因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0，
解得：t＝﹣3．
故正比例函数为y＝﹣3x，
故答案为：y＝﹣3x．
5．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，对应的y的值为2≤y≤8，则kb的值为（ ）
A．15 B．﹣15 C．﹣10或12 D．15或﹣15
【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，
解得k＝3，b＝5．即kb＝15；
当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，
解得k＝﹣3，b＝5．即kb＝﹣15．
故选：D．
6．若y+1与x﹣2成正比例，当x＝0时，y＝1；则当x＝1时，y的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据正比例的意义可设y+3＝k（x﹣2），然后把已知的对应值代入求出k即可得到y与x之间的函数关系式，进而求得当x＝1时，y的值．
【解答】解：设y+1＝k（x﹣2），
把x＝0，y＝1代入得k•（0﹣2）＝1+1，解得k＝﹣1，
所以y+1＝﹣（x﹣2），
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+1，
当x＝1时，y＝﹣1+1＝0，
故选：C．
7．若y与z成正比例，z+1与x成正比例，且当x＝1时y＝1，当x＝0时，y＝﹣3，则y与x的函数关系式为 ．
【分析】根据题意设y＝kz，z+1＝mx，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式．
【解答】解：设y＝kz，z+1＝mx，即y＝k （mx﹣1）＝kmx﹣k，
将x＝1，y＝l；x＝0，y＝﹣3代入得：，
解得：，
∴y＝4x﹣3．
故答案为：y＝4x﹣3．
8．将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4．
故选：A．
9．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 ．
【分析】先将A（0，1），B（3，0）两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出一次函数的解析式为y＝﹣x+1，再根据“左加右减”的原则得出新的直线表达式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1．
将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到y＝﹣（x+2）+1，即y＝﹣x+．
故答案是：y＝﹣x+．
10．将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 ．
【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
11．函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到．
【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：上，1．
12．将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点，则平移后的解析式为 ．
【分析】可设平移后的直线解析式为y＝2x+b，把原点的坐标代入可求得b的值，则可求得平移后的解析式；
【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b，
∵将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点，
∴b＝0，
∴平移后的直线解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
13．（2021•金华模拟）已知经过点（0，2）的直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，则a＝ ，b＝ ．
【分析】相互平行的两条直线的一次项系数相等，故此a＝，将a＝，x＝0，y＝2代入y＝ax+b可求得b的值．
【解答】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，
∴a＝．
∴直线y＝ax+b的解析式为y＝x+b．
将x＝0，y＝2代入得：b＝2．
故答案为：；2．
14．在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）逆时针旋转60°得到点Q，我们称点Q是点P的“正影射点”．若t＝，则点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是 ．若点P在一次函数y＝x﹣上，对于任意的t值，P的“正影射点”Q都在一条直线上，则这条直线的函数表达式为 ．
【分析】如图1，根据“正影射点“的定义，将点P1（0，3）绕点T（，0）逆时针旋转60°，根据旋转的性质即可求得“正影射点”Q1的坐标；如图2，求得直线y＝x﹣与x、y轴的交点P1（1，0），P2（0，﹣），根据“正影射点“的定义将点P1、P2绕点T（0，0）逆时针旋转60°，得到Q1（，），Q2（，﹣），根据题意求得直线Q1Q2的解析式即可．
【解答】解：如图1，∵点T（，0），点P1（0，3），
∴OT＝，OP1＝3，
∴tan∠P1TO＝＝，
∴∠P1TO＝60°，
∴P1T＝2，
∴点P1绕点T（，0）逆时针旋转60°得到点Q1在x轴上，且Q1T＝2，
∴点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是（﹣，0）；
如图2，∵点P在一次函数y＝x﹣上，
∴P1（1，0），P2（0，﹣），
∴OP1＝1，OP2＝，
根据题意设T（0，0），则Q1（，），Q2（，﹣），
设直线Q1Q2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线Q1Q2的解析式为y＝﹣x+，
∴P的“正影射点”Q所在直线的函数表达式为y＝﹣x+；
故答案为：（﹣，0）；y＝﹣x+．
考点二 一次函数图象与性质
【知识点睛】
v 图象的画法：（原理：两点确定一条直线）
步骤
一次函数
正比例函数
找点
找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点
找除原点外的任意一个点
描点
在平面直角坐标系中描出所找的点的位置
连线
过这两个点画一条直线
过原点和这个点画一条直线
v 图象的性质
对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上
k＞0
k＜0
性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
直线走势
从左往右看上升
从左往右看下降
增减应用
当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
必过象限
直线必过第一、三象限
直线必过第二、四象限
b＞0
直线过第一、二、三象限
直线过第一、二、四象限
b=0（正比例函数）
直线过第一、三象限
直线过第二、四象限
正比例函数必过原点（0,0）
b＜0
直线过第一、三、四象限
直线过第二、三、四象限
【类题训练】
1.下列函数中：①y=-2x； ②y=x-2； ③y=x； ④y=-2x+1； ⑤y=x-4；
（1）求出各函数经过的象限
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
（2）y随x的值的增大而增大的函数有：
（3）y随x的值的增大而减小的函数有：
【分析】（1）根据每个函数y=kx+b中k、b的正负可以确定所过象限；
（2） 根据函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，可以解决此题
（3） 根据函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，可以解决此题
【解答】解：（1）①y=-2x中，∵-2＜0，∴函数过第二、四象限
②y=x-2中，∵1＞0，-2＜0，∴函数过第一、三、四象限
③y=x中，∵＞0，∴函数过第一、三象限
④y=-2x+1中，∵-2＜0，1＞0，∴函数过第一、二、四象限
⑤y=x-4中，∵＜0，-4＜0，∴函数过第二、三、四象限
故答案为：①第二、四象限；②第一、三、四象限；③第一、三象限；④第一、二、四象限；⑤第二、三、四象限；
（2） 函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，所以，函数② ③符合题意
故答案为：② ③
（3） 函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，所以，函数① ④ ⑤符合题意
故答案为：① ④ ⑤
2．下列各点中在函数的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（，3） C．（﹣4，1） D．（5，）
【分析】将选项中的坐标代入已知函数的解析式中，能使左右两边相等的即为正确选项．
【解答】解：∵当x＝3时，y＝×3+3≠﹣2，
∴点（3，﹣2）不在函数的图象上；
∵当x＝时，y＝×+3≠3，
∴点（，3）不在函数的图象上；
∵当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+3＝1，
∴点（﹣4，1）在函数的图象上；
∵当x＝5时，y＝×5+3≠，
∴点（5，）不在函数的图象上．
综上，在函数的图象上的点是（﹣4，1）．
故选：C．
3．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限；
B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2．
【解答】解：A：∵一次函数y＝3x﹣1，
k＝3＞0，
∴一次函数经过一、三象限，
∵b＝﹣1，
∴一次函数交y轴的负半轴，
∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限，
故A错误；
B：令y＝0，x＝，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0），
故B错误；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x，
故C错误；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2，
∴图象经过（1，2），
故D正确．
故选：D．
4．若一次函数y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【分析】根据一次函数的性质得出k﹣3＜0即可求解．
【解答】解：y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3；
故选：D．
5．如图，直线y＝kx+b，与y轴交于点（0，3）与x轴交于点（a，0）当﹣2≤a＜0时，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥
【分析】把点的坐标代入直线方程得到a＝﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围．
【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得
b＝3．则a＝﹣．
∵﹣2≤a＜0，
∴﹣2≤﹣＜0，
解得：k≥．
故选：D．
6．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）若|k|＜|b|，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由|k|＜|b|可知﹣＞1或﹣＜﹣1，即可判断直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边，观察四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵|k|＜|b|，
∴||＞1，
∴﹣＞1或﹣＜﹣1，
∴直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边．
故选：D．
7．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能式（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、三象限，故不符合题意；
B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、四象限，故符合题意；
C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0；
∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
故选：B．
8．如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】由一次函数图象经过第二象限及一次函数图象与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0．
【解答】解：依题意可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
故选：D．
9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0
【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，
∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；
B、k1+k2＞0，故B不符合题意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，故D符合题意；
故选：D．
10．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．
解法二：本题还可用矛盾分析法来解决 A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．
B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．
C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．
D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．
故选：C．
11．一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【分析】先根据一次函数的增减性判断出（m﹣6）的符号，再求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y的值随x值的增大而减小，
∴m﹣6＜0，
∴m＜6．
故答案为：m＜6．
12．直线y＝﹣2x+b上有三个点（，y1），（﹣1.5，y2），（1.3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】利用一次函数y＝﹣2x+b的性质，当﹣2＜0时，y随x的增大而减小，通过比较横坐标x的大小，即可得到对应y值的大小．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴一次函数y＝﹣2x+b中y随x的增大而减小，
∵﹣1.5＜﹣＜1.3，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
13．在下列叙述中：①正比例函数y＝2x的图象经过二、四象限；②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而减小；③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值y＝﹣2；④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用正比例函数的性质判断即可；
②利用一次函数的性质判断即可；
③将x＝﹣1代入y＝3x+1中，计算即可；
④利用一次函数的性质判断即可．
【解答】解：①正比例函数y＝2x的图象经过一、三象限，故①错误；
②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而增大，故②错误；
③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值为y＝﹣2，故③正确；
④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数，故④正确．
则正确的个数为2个．
故选：B．
14．无论m取任何实数，一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点，此定点坐标为
【分析】解析式变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0，令，解得即可．
【解答】解：由一次函数变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0，
令，
解得，
故一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
15．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质说明函数的递增情况，确定a的取值范围，再从选项中确定正确的结果．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴1＜a．
∴a的值可能是2，
故选：A．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
【知识点睛】
一次函数y=kx+b
作用
具体应用
与一元一次方程的关系
求与x轴交点坐标
方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点横坐标
与二元一次方程组的关系
求两直线交点坐标
方程组的解是直线与直线的交点坐标
与一元一次不等式（组）的关系
一元一次不等（如kx+b＞0）的解可以由函数图象观察得出
由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：
①根据图象找出交点横坐标，
②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。
【类题训练】
1．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（6，0） C．（﹣3，0） D．（0，6）
【分析】令y＝0，可求得与x轴交点横坐标，进而求出与x轴交点坐标．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+6得，x＝2，
∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
故选：A．
2．若直线y＝4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．4 C．11 D．5
【分析】利用函数的解析式求得点A，B的坐标，进而得出线段OA，OB的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：当y＝0时，4x+4＝0，
解得：x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∴OA＝1．
当x＝0时，y＝4x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∴S△AOB＝OA•OB＝×1×4＝2．
故选：A．
3．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（4，0）和（3，2）两点，则方程kx+b＝4的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5
【分析】先求出函数的解析式，再把y＝4代入，即可求出x．
【解答】解：把（4，0）和（3，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
即y＝﹣2x+8，
当y＝4时，﹣2x+8＝4，
解得：x＝2，
∴方程kx+b＝4的解为x＝2，
故选：B．
4．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．
故选：A．
5．已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3
【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y＝0时，x＝3，
∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3．
故选：D．
6．若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0，n＞0）的解，则一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（3，0） C．（0，2） D．（0，3）
【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n，即可求得一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：∵方程的解为x＝2，
∴当x＝2时mx+n＝0；
∴一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n，
∴一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
7．如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＜0；③x＝﹣2是方程3x+b＝ax﹣2的解，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＞0；直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2交点的横坐标为x＝﹣2，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，故①正确，②错误；
当x＝﹣2时，直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2相交，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2，故③正确；
故选：C．
8．下表是一次函数y＝kx+b（k≠0）的部分自变量和相应的函数值，方程kx+b＝0的解x0所在的范围是（ ）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣3
﹣1
1
3
5
A．﹣2＜x0＜﹣1 B．﹣1＜x0＜0 C．0＜x0＜1 D．1＜x0＜2
【分析】由表格知当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，即可得出y＝0时，对应的x的取值即可．
【解答】解：由题知，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，
∴方程kx+b＝0的解x0所在的范围是﹣1＜x＜0，
故选：B．
9．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，直线y1＝x+m都在直线y2＝kx﹣1下方，即x+m＜kx﹣1．
【解答】解：根据题意得当x＜﹣1时，y1＜y2，
所以不等式x+m＜kx﹣1的解集为x＜﹣1．
故选：D．
10．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．x＜5 B．1＜x＜5 C．﹣2＜x＜5 D．x＜﹣2
【分析】y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，即可求解．
【解答】解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，
y＝mx+n＞0，则x＜5，
关于x的不等式组的解集为：x＜﹣2，
故选：D．
11．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
故选：B．
12．一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4），则二元一次方程组的解和b的值分别是（ ）
A．，b＝﹣6 B．，b＝0
C．，b＝0 D．，b＝﹣6
【分析】直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4），
∴二元一次方程组的解是，
将点P（2，4）的坐标代y＝2x+b，得b＝0，
故选：C．
13．一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组的解是．其中信息正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线y＝ax+b在y＝mx+n下方的部分对应的x的取值范围就是不等式mx+n≥ax+b的解集，由此判断②；直线y＝ax+b在y＝mx+n的交点坐标就是方程组的解，由此判断③．
【解答】解：如图，∵直线y＝ax+b经过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0
∵直线y＝mx+n经过一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴mn＜0，
∴ab＞mn，故①错误；
∵当x≤1时，直线y＝ax+b在y＝mx+n下方，
∴不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1，故②正确；
∵直线y＝ax+b与y＝mx+n的交点坐标为（1，3），
∴方程组的解是，故③正确．
故选：B．
14．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x﹣y＝b（b＜﹣1）的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x＞0，解方程组求得x＝﹣＞0，由b＜﹣1，得出﹣（b﹣1）＞0，即可得出a﹣1＞0，解得a＞1．
【解答】解：∵点A在第一象限，
∴x＞0，
，
②﹣①得（a﹣1）x＝﹣（b﹣1），
∴x＝﹣＞0，
∵b＜﹣1，
∴﹣（b﹣1）＞0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：D．
15．直线y＝mx+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则方程组的解为 ，关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为 ．
【分析】根据图象可得，直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），所以当x＞﹣1时，直线y＝mx+b，落在直线y＝kx的下方，可得关于x的不等式mx+b＜kx．即可得结论．
【解答】解：根据图象可知：
直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），
则方程组的解为：；
则关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为﹣1＜x＜0，
故答案为：；﹣1＜x＜0．
16．如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝﹣x+5交于点（1，m），则关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系解决此题．
【解答】解：当y＝0，﹣x+5＝0．
∴x＝5．
由图可知，当0＜y2＜y1，则5＞x＞1．
∴关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有2、3、4，共3个．
故选：B．
17．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，（n+1）x＜m﹣4n，其中正确的有 （填所有正确的序号）．
【分析】①由直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确；
②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，求出y＝0，即可判断结论②正确；
③将x＝﹣2代入两解析式由纵坐标相等，即可判断结论③正确；
④观察函数图象，可知当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，即nx+4n＞﹣x+m，即可判断结论④错误．
【解答】解：①∵直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，
∴m＜0；
∵y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，
∴n＞0，
故结论①正确；
②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，得y＝﹣4n+4n＝0，
∴直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）．
故结论②正确；
③∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝2+m＝﹣2n+4n，
∴m＝2n﹣2．
故结论③正确；
④∵当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，
∴当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，即（n+1）x＞m﹣4n，
故结论④错误，
故答案为：①②③．
18．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，以下说法错误的是（ ）
A．△ABD的面积为 3
B．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，2）
C．△BCD为直角三角形
D．方程组的解为
【分析】求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）；利用勾股定理的逆定理进行判断；根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解．
【解答】解：A、把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，
可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2．
把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，
可得﹣×（﹣）+m＝，解得m＝1，
∴直线l2：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
∴S△ABD＝BD•AO＝×3×2＝3，
故本选项正确，不符合题意；
B、点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故本选项错误，符合题意；
C、∵B（0，4），C（﹣，），D（0，1），
∴BC2＝（0+）2+（4﹣）2＝，CD2＝（0+）2+（1﹣）2＝，BD2＝（1﹣4）2＝9，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
故本选项正确，不符合题意；
D、∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
19．已知一次函数y1＝mx﹣2m+4（m≠0）．
（1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数y2＝﹣x+6，当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小；
（3）函数y1随x的增大而减小，且与y轴交于点A，若点A到坐标原点的距离小于6，点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）把点（2，4）代入解析式即可判断；
（2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小；
（3）根据题意求得A的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝mx﹣2m+4得，y1＝2m﹣2m+4＝4，
∴点（2，4）在该一次函数的图象上；
（2）∵一次函数y2＝﹣x+6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y1＝mx﹣2m+4的图象上，
∴一次函数y2＝﹣x+6的图象与函数y1＝mx﹣2m+4的图象的交点为（2，4），
∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大，
∴当x＞2时，y1＞y2；
当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2；
（3）由题意可知，﹣2m+4＝±6且m＜0，
∴m＝﹣1，
∴A（0，6），
∵点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．
∴AB＝8，
∵＝8，
∴6＜S△ABC＜8．
20．如图，过点B（1，0）的直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式．
（2）不等式y1≥y2的解集为 ；（直接写出答案）
（3）求四边形PAOC的面积．
【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
（2）不等式y1≥y2即y＝kx+b的函数值不小于2x+4的函数值，观察函数图象得到当x≤﹣1时满足条件；
（3）根据S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC可得结论．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y2＝2x+4上，
∴a＝2×（﹣1）+4＝2，
则P的坐标为（﹣1，2），
∵直线l1：y1＝kx+b过点B（1，0），P（﹣1，2），
∴，解得．
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）不等式y1≥y2的解集为x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1；
（3）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝3，
∴S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC
＝×3×2−×1×1
＝3﹣
＝．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及△ABO的面积；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式，可得C（﹣4，0），根据S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO即可求解；
（2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得m的值；
（3）找出直线y＝﹣x落在直线y＝kx+b上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（a，2），
∴2＝﹣a，解得，a＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），
∴，解得，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8，
∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，
则2x+8＝0，解得x＝﹣4，
∴C（﹣4，0），
∴S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO＝×4×4﹣×4×2＝4；
（2）∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x﹣m，
∴0＝﹣×（﹣4）﹣m，解得m＝；
（3）∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣3，2），
∴根据图象可知﹣x＞kx+b的解集为：x＜﹣3．
考点四 一次函数的实际应用
【知识点睛】
v 一次函数与行程问题方法总结：
1. 图象问题首先确定x轴、y轴的具体意义，其次找拐点；
2. 图象中的拐点一般指行程形式的改变，如从行进到停止、从停止再出发等；
3. 行程问题中，函数图象的表示式中的|k|通常等于速度；
4. 甲乙相距a㎞的问题中，甲在乙的前方a㎞，等价函数关系式为：y甲-y乙=a㎞；乙在甲的前方a㎞，等价函数关系式为：y乙-y甲=a㎞；
另外，注意题目中是否有谁晚出发几小时，因为早出发的人离出发地a㎞，使两人相距a㎞；
或者谁先到目的地后，因为另一个人离目的地a㎞，使两人相距a㎞；
v 一次函数与几何图形结合问题要点提示：
1.首先明确x轴、y轴的具体意义
2.其次注意拐点的意义
3.一次函数与谁结合，多注意所结合图形的特殊性质的应用。
【类题训练】
1．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米．
（2）小明在书店停留了 分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟．
（4）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分．
【分析】（1）因为y轴表示路程，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；（2）与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可．
（3）共行驶的路程＝小明家到学校的距离+折回书店的路程×2．（4）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可．
【解答】解：（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校，
∴小明家到学校的路程是1500米．
（2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟．
（3）1500+600×2＝2700（米）
即：本次上学途中，小明一共行驶了 2700米．一共用了 14分钟．
（4）折回之前的速度＝1200÷6＝200（米/分）
折回书店时的速度＝（1200﹣600）÷2＝300（米/分），
从书店到学校的速度＝（1500﹣600）÷2＝450（米/分）
经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快
即：在整个上学的途中 从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分
2．一条公路沿线有A，B，C三个站点，甲、乙两车分别从A，B站点同时出发，匀速驶达C站．设甲、乙两车行驶xh后，与B站的距离分别为y1km，y2km．y1，y2与x的函数关系如图，则两车相遇的时间是（ ）
A．20min B．30min C．60min D．80min
【分析】根据图象，理解甲、乙在行程问题中的路程、速度、时间，由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象过（0，20）（0.5，0）可知A、B两站距离为20km，从A站到B站所用时间位0.5h，可求出甲车的速度为20÷0.5＝40km/h；由乙的图象可知B、C两站的距离是100km，所用时间为4h，则可求乙车的速度；再根据追及问题的数量关系：追及时间＝追及路程÷速度差，即可求出追及时间，即相遇时间．主要考查函数中自变量、因变量的变化关系，图象中点的坐标所表示的实际意义，以及行程问题中速度、路程、时间的关系．
【解答】解：由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象可知：
A，B两个站点的距离为：AB＝20 km，甲车的速度为：20÷0.5＝40km/h；
由乙车行驶xh，与B站的距离分别为y2km的图象可知：
B，C两个站点的距离为：BC＝100 km，乙车的速度为：100÷4＝25km/h；
两车相遇的时间就是甲车追上乙车所用时间：20÷（40﹣25）＝h＝80min
故选：D．
3．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论：
①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．
②这次比赛全程是10千米．
③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．
正确的结论为 ．
【分析】设实线表示甲的函数图象，求得在第15到33分时甲的速度，让15分加上甲行1千米用的时间即为第一次相遇的时间；易得乙的速度，乘以48即为全程；设t分时，第2次相遇，易得BC段甲的速度，相遇时甲走的路程等于乙走的路程，把相关数值代入求解后可得正误．
【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min，
∴再行1千米用的时间为9分钟，
∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确；
②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min，
所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min，
所以全长为48×0.25＝12km，故错误；
③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t，
解得t＝38，正确，
故答案为：①③．
4．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．75 B．80 C．85 D．90
【分析】从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，则AH＝＝4a＝BC，当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90，即可求解．
【解答】解：从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，
过点A作AH⊥CD于点H，则DH＝CH＝CD，
在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，
则AH＝＝4a＝BC，
当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，
则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90，
故选：D．
5．如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（，）；
正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③，即可求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，
∴DH＝＝，
∴当y＝时，＝﹣x+6，
∴x＝，
∴点D（，），故③正确；
故选：D．
6．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
【分析】求出B（0，3）、点C（﹣1，0），分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可．
【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1，
即点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，
点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3），
②当BD不平行x轴时，
则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，
则直线DD′∥AB，
设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入上式并解得：n＝7，
直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（n，7﹣n），
A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝＝，
解得：n＝3，
故点D′（3，4）；
故答案为：（4，3）或（3，4）．
7．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D，与直线y＝2x﹣4相交于点C．
（1）不等式kx+b＞4的解集是 ；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据图象即可确定不等式的解集；
（2）待定系数法求解析式即可；
（3）先求出E点坐标和D点坐标，再求出交点C的坐标，进一步可得△DEC的面积，根据S△DEC＝3S△DEP，可得S△DEP＝，设点P的坐标为（p，﹣p+5），根据△DEP的面积列方程，即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）根据图象，可知不等式kx+b＞4的解集是x＜1，
故答案为：x＜1；
（2）将点A（5，0），B（1，4）代入直线y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+5；
（3）存在满足条件的点P，理由如下：
∵直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，
∴点E坐标为（0，﹣4），
∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点D，
∴点D坐标为（0，5），
∴DE＝9，
联立，
解得，
∴点C坐标为（3，2），
∴S△DEC＝＝，
∵S△DEC＝3S△DEP，
∴S△DEP＝，
设点P的坐标为（p，﹣p+5），
∴S△DEP＝＝，
∴|p|＝1，
∴p＝1或p＝﹣1，
∴点P坐标为（1，4）或（﹣1，6）．
8．如图，甲乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．
（1）试用文字说明，交点P的实际意义．
（2）甲车、乙车的行驶速度分别是多少？
（3）求出图中m、a的值．
（4）甲车在休息前和休息后行驶距离y（km）与时间x（h）的函数图象的位置是什么关系？写出其各自的函数表达式，并标注相应的x的取值范围．
（5）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？
【分析】（1）根据图象以及点P的坐标即可得出交点P的实际意义；
（2）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以分别求出甲车、乙车的行驶速度；
（3）根据图象即可求出a的值和m的值；
（4）甲车在休息前0≤x≤1，甲车在休息前和休息后1.5＜x≤7，根据图象利用待定系数法分别求出各自的函数表达式；
（5）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）交点P的实际意义是：甲出发3.5小时时，甲车和乙车在距离B地120千米处相遇；
（2）由图象可知，甲车3.5﹣0.5＝3小时行驶120千米，
所以甲车的行驶速度是120÷（3.5﹣0.5）＝40（千米/时），
乙车的行驶速度是120÷（3.5﹣2）＝80（千米/时）；
（3）由题意，得
m＝1.5﹣0.5＝1．
∵甲车的行驶速度是40千米/时，
∴a＝40×1＝40．
故a＝40，m＝1；
（4）①甲车在休息前即当0≤x≤1时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x，
由题意，得40＝k1，则y＝40x；
②甲车在休息后即当1.5＜x≤7时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，
由题意，得，解得：，
则y＝40x﹣20；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3，
由题意，得，解得：，
则y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝．
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，解得：x＝．
﹣2＝，﹣2＝．
答：乙车行驶或小时，两车恰好相距50km．
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