第19讲 一次函数与几何图形面积考点分类探究（原卷版+解析）

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一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律
求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标；
求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；
类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积
解题步骤：
①求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长；
②利用三角形面积公式求出三角形的面积
【类题训练】
1．已知一次函数图象经过A（﹣4，﹣10）和B（3，4）两点，与x轴的交于点C，与y轴的交于点D．
（1）求该一次函数解析式；
（2）点C坐标为 ，点D坐标为 ；
（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．
2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．
（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．
（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．
变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
类型二 两条直线与坐标轴围成的三角形面积
解题标准：
在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离
【类题训练】
1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC的面积为 ．
2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为 ．
变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x﹣4B．y＝﹣2x﹣4C．y＝﹣3x+4D．y＝﹣3x﹣4
类型三 三条直线围成的三角形面积
解题标准：
在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离
【类题训练】
1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ADE的面积；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：
（1）b的值和点P的坐标；
（2）求△ADP的面积．
4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．
变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．
考点二 一次函数图象与几何图形动点面积
【知识点睛】
此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息
对函数图象的分析重点抓住以下两点：
①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义
②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点
动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
【类题训练】
1．如图，边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发沿路线A→B→C→D匀速运动至点D停止，已知点P的速度为1，运动时间为t，以P、A、B为顶点的三角形面积为S，则S与t之间的函数图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
4．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按A﹣B﹣C﹣D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P运动到BC中点时，△APD的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1.5单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则下列线段长度错误的是（ ）
A．AB＝6B．BC＝8C．AD＝2D．CD＝12
考点三 一次函数图象与网格图形的面积
【知识点睛】
解题步骤：
①确定题中所给正方形的个数，算成平分后一半图形的面积
②根据直线所过另一点，将图形的其中一半加上个别正方形，凑成直角三角形
③由凑成的直角三角形的面积求出直线另一点的坐标
④根据待定系数法求出直线解析式
【类题训练】
1．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝﹣xB．y＝﹣xC．y＝﹣xD．y＝﹣x
2．如图，在直角坐标系中有一个缺失了右上格的九宫格，每个小正方形的边长为1，点A的坐标为（2，3）．要过点A画一条直线AB，将此封闭图形分割成面积相等的两部分，则直线AB解析式是 ．
3．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ．
4．在平面直角坐标系中，点P在直线y＝x+b的图象上，且点P在第二象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形OAPB是面积为25的正方形，则直线y＝x+b的函数表达式是 ．
【综合题训练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
2．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；
（3）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝OA，求△ABP的面积．
3．如图，直线l：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，OM⊥AB于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ，线段OM的长为 ；
（2）当△BOP的面积是6时，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由．
4．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
对于直线
y=kx+b（k≠0）
与x轴交点坐标
（，0）
故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；
当k、b异号时，直线交于x轴正半轴
与y轴交点坐标
（0，b）
故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴；
当b＜0时，直线交于y轴负半轴