第06讲 应用二次函数求解几何最值专题探究-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

第6讲  应用二次函数解决几何图形最值问题专题探究

考点一  求线段的最值

【知识点睛】

        如图，在第一象限内抛物线上有一动点P.过点P作PD⊥x轴交AB于点D，当PD（或PH）最大时，求点P的坐标；

方法：

依抛物线解析式设点P坐标，因为PD∥y轴表示点D坐标，PD=yP-yD，得PD表达式为一新二次函数，根据顶点式求其最大值。（求PH最大值则可由△PHD∽△AOB，将PH的长转化为PD长，再参照上法求解PH最大值）

【类题训练】

1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．

（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；

（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点二  求三角形面积的最值

【知识点睛】

        如图，在第一象限内，抛物线上有一动点P.当S△ABP最大时，求点P的坐标；

方法：

①设动点P的坐标;

②过点P作y轴平行线交对边AB与一点，并表示出该交点坐标；

③利用水平宽×铅垂高÷2，将S△ABP表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。

【类题训练】

 3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；

【总结反思 二次函数中斜三角形面积最大值求法】

        如图，利用（a为水平宽，h为铅垂高）列出函数关系式，根据函数的性质求出最大值.

        如图2，可将三角形的面积转化为求在第一象限内抛物线上的点到直线 AB距离的最大值.根据直线与抛物线只有一个交点，通过根的判别式来求出最大值。

考点三  求周长的最值

【知识点睛】

        如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，定点C、D在抛物线上，当矩形ABCD周长最大时，求点A的坐标；

方法：

①设点A坐标，表示点B、C、D坐标；

②表示AB、CD的长；

③将C矩形ABCD表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。

        如图，顶点A，B，C在抛物线上，在对称轴上找点P，使△PBC周长最小时，点P的坐标；

方法：将军饮马→对称连接

【类题训练】

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D．

（1）①求出抛物线的解析式；

②顶点D的坐标为 　      　；

③直线BD的解析式为 　       　；

（2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？

（3）若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线m与抛物线交于点C，其中点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及点E的坐标．

【课后练习】

1．如图，直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0），B（3，﹣2）两点，AB与y轴交于点C，P为直线AB上方抛物线上的动点，PD⊥x轴交直线AB于D，PE⊥y轴交直线AB于E．

（1）求直线AB与抛物线的解析式；

（2）求PE+PD的最大值；

3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（点B在点A的右边），且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值．