2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了已知集合，则，已知复数满足，则的共轭复数，过点作圆的切线，则切线方程为，已知，则的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
  长沙市一中2023届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分得分__________.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（    ）A.    B.    C.    D.2.已知复数满足，则的共轭复数（    ）A.2    B.    C.    D.3.过点作圆的切线，则切线方程为（    ）A.    B.C.或    D.或4.设是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，则下列选项中错误的是（    ）A.当时，“”是“的充要条件B.当时，“”是“的充分不必要条件C.当时，“”是“”的必要不充分条件D.当时，“”是“”的充分不必要条件5.已知，则的大小关系是（    ）A.    B.C.    D.6.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且，若平面，则（    ）A.    B.    C.    D.7.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为（    ）A.    B.    C.2    D.38.已知函数，若存在，使，则的最大值为（    ）A.0    B.    C.    D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知数列满足，则下列结论正确的是（    ）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递减数列D.的前项和10.已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（    ）A.    B.    C.    D.11.在椭圆中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆，则下列说法正确的有（    ）A.椭圆外切矩形面积的最小值为48B.椭圆外切矩形面积的最大值为48C.点为蒙日圆上任意一点，点，当取最大值时，D.若椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线与蒙日圆相交于点，则12.是定义在上的函数，当，且为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，0.已知，则注：为互质的正整数，即为已约分的最简真分数（    ）A.    B.C.    D.三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为__________.14.如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.15.党的二十大是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在二十大即将胜利召开之际，某学校组织了《喜迎二十大，谱写新篇章》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图1.已知球的表面积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图2，则球心离底面的距离为__________.16.已知抛物线，点是抛物线上的四个动点，过点作分别作的垂线，垂足分别为，则点距离的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边上一点，且，求的值.18.（本小题满分12分）已知数列的首项为正数，其前项和满足.（1）求实数的值，使得是等比数列；（2）设，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面是边长为2的正三角形，若顶点在底面的射影落在底边上，在上且满足.（1）求证：；（2）求二面角的大小.20.（本小题满分12分）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的数量与连续用药天数具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：（1）求样本的相关系数（精确到；（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为，第2条生产线出现不合格药品的概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii）若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率.附：相关系数.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆的左､右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点.若，且点满足，求面积的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数有两个不同的零点.（1）求实数的取值范围；（2）若方程有两个不同的实数根，证明          长沙市一中2023届高三月考试卷（三）数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDDCAACB1.C  【解析】由已知有，所以，故选：C.2.D  【解析】由题意，得，所以.故选D.3.D  【解析】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即；斜率不存在时，，显然与圆相切，综上，切线方程为或.故选：D.4.C  【解析】对于A：当时，若，则，反之也对，所以当时，“”是“”的充要条件，A对；对于B：当时，若，则，反之不成立，所以当时，“是“”的充分不必要条件，B对；对于C：当时，若，则或和异面，若，则和平行或在内，所以当时，“”是“”的既不充分也不必要条件条件，C错；对于D：当时，若，则，反之不对，所以当时，“”是“”的充分不必要条件，D对.故选：C.5.A  【解析】因为，又，对任意恒成立.因此，故答案选.6.A  【解析】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，由，则，所以，平面即解之得，当为线段上靠近的四等分点时，平面，故选.7.C  【解析】设的外接圆半径为，由，有，故，所以直线过的内心，又点在直线上，所以点为的内心.由可知，记，则由得点在轴上，且，令，则，且，故.则双曲线的离心率，故选C.8.B  【解析】令，所以，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒成立，当时等号成立；所以，当时等号成立；当时，令，要使得存在，使即可，即对任意恒成立，所以，解得，所以的最大值为.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.题号9101112答案ABBCACDABC9.AB  【解析】因为，由题意显然，变形得，所以又因为，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以正确；因为，所以，所以为递增数列，所以B正确，C错误；因为，所以，所以的前项和，所以D错误.故选AB.10.BC  【解析】为第一象限角，，故可能为第二象限角，也可能为第一象限角，则，为第三象限角，，故只可能为第三象限角，则，，当时，，当时，.故答案选：BC.11.ACD  【解析】对于､：如图，设对于椭圆上任意点，过点作椭圆的切线交圆于两点，关于原点对称的点分别为，则椭圆的一个外切矩形为，则，由图象易知，圆心到直线的距离，所以.又，所以外切矩形为的面积，因此对，错.对于：当与圆相切且切点在圆下方时，最大，，对.对于，，①②得，，故D佂确.故选ACD.12.ABC  【解析】设（，且为互质的正整数），或或是上的无理数，对选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A正确；对于B选项：当时，；当或或为内的无理数时，，综上有，故选项B正确；对选项：①当，则；②当，则；③当或则，故选.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.  【解析】由，有，所以，所以，因此函数在处的切线的斜率为.14.6【解析】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），因为，所以，所以，所以，所以，所以当，即时，的最小值为6.15.5  【解析】因为球的表面积为，易知球的半径，设经过三个顶点的球的截面圆，球心为，易得截面圆半径为，则，又到平面的距离为，所以球心离底面的距离为.故答案为：5.16.  【解析】设直线的方程为，将代入中有，故.又，所以，解得.故直线过定点.因此点在以为直径的圆上.同理点在以为直径的圆上..故点距离的最大值为圆的直径.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1），所以；（2）由余弦定理，记，由得，解得（负值舍去），即，所以.18.【解析】（1）当时，，解得；当时，把代入题设条件得：，即，很显然是首项为，公比为9的等比数列，；（2）由（1）知是首项为，公比的等比数列，所以，.故数列的前项和为：.19.【解析】（1）取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，因为顶点在底面的射影落在底边上，所以平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以为中点，则，，则.（2）由（1）易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则取，则，所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角为..20.【解析】（1）样本的相关系数为.（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，“随机抽取一件药品为第1条生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”，则，又，于是.（ii）在抽查中发现的任一件不合格药品来自第1条生产线的概率为：故3件不合格药品中至少有2件药品来自第1条生产线的概率为.21.【解析】（1）由题意，得解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可得，若直线的斜率为0，则的方程为：与直线无交点，不满足条件.设直线，若，则，则不满足，所以.设，由得：，所以，因为即则，所以，解得.于是.直线的方程为：，联立解得，所以.所以，当且仅当时，.22.【解析】（1）令，得，即.设，则，则时，时，.故在时取最大值.又时，时，，从而，得.（2）由得，，从而，.又，即，设，易知，故当时，，所以当时，，即，所以.