2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学试卷含解析

  雅礼中学2023届高三月考试卷（三）.

数学

得分：__________.

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.

第I卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（    ）

A.2    B.    C.    D.

3.已知是四条直线，是两个不重合的平面，若，，则与的位置关系是（    ）

A.平行    B.相交

 C.平行或相交    D.以上都不对

4.设向量满足，则（    ）

A.1    B.2    C.3    D.5

5.已知圆的弦过点，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.已知，且，则的最大值为（    ）

A.36    B.25    C.16    D.9

7.已知都是定义在上的函数，且，，则的值为（    ）

A.5    B.2    C.    D.

8.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（    ）

A.8    B.7    C.6    D.5

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列圆中与圆相切的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ）

A.若，则

B.以为直径的圆与准线相切

C.设，则

D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条

11.已知函数，且的最小正周期为.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列选项正确的是（    ）

A.的值为1

B.的单调递增区间为

C.时，的最大值为3

D.时，的最小值为

12.某公司有10名股东.其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项正确的有（    ）

A.公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于

B.公司持股较多的5位股东所持股份均不少于

C.公司最大的股东所持股份不超过

D.公司最大的股东所持股份可以超过但不超过

第II卷

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为__________.

14.在我国古代书籍《九章算术》第六章“均输”中有一问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”意思是：今有五个人分五钱，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分别分得多少钱？"均输”的意思是各人所得依次相差一样多，问：末两人共得几何？答曰：__________钱.

15.在中，，沿折成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为__________.

16.已知椭圆过点，焦点，平行的直线与椭圆交于，两点则的最大值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分，10分）

已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

18.（本小题满分12分）

如图在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

19.（本小题满分12分）

某城市为了了解高中生的身高情况，从某次全市高中生体检中抽取了一所学校的n名学生的身高数据，整理分组成区间，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如右，已知从左到右前三个小组频率之比为2：3：4，其中第二小组有15人.

（1）求样本频数n的值；

（2）以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生（人数很多）中任选三人，设表示身高超过160厘米的学生人数，求的分布列及期望；

（3）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表：

试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.

附：

20.（本小题满分12分）

设，定义，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求.

21（本小题满分12分）

如图平面直角坐标系中，一直角三角形在轴上且关于原点对称，在边上，的周长为12.若一双曲线以为焦点，且经过两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.

雅礼中学

2023届高三月考试卷（三）

数学参考答案

一､单项选择题

二､多项选择题

三､填空题

13.    14.1.5    15.    16.

四､解答题

17.【解析】（1）.

（2），

.

，

.

.

18.【解析】（1）以为原点，分别以为轴建系，

则，

，

，

平面.

（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，

，

，

二面角的大小为

19.【解析】（1）设前三个小组的频率分别为，

由条件得

解得：，

由.

（2）由（1）知一个高中生身高超过160厘米的概率为

由于高中生人数很多，所以服从二项分布，

（3）将表中的数据代入公式，

得到，

查表知，即说明在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.

20.【解析】（1），

，

，

数列是首项为，公比为的等比数列，.

（2），

两式相减得：，

21.【解析】（1）设双曲线的方程为，

则.

由，得，即.

解得，

双曲线的方程为.

（2）设在轴上存在定点，使.

设直线的方程为.

由，得，

即.①

，

.

即.②

把①代入②，得

③

把代入，并整理得.

其中且，

即，且.

.

代入③，得，

化简得，当时，上式恒成立.

因此，在轴上存在定点，使.

22.【解析】（1），

时，取得极值，

，故，

解得.

经检验符合题意.

（2）由知，

由，

得，

令，

则在区间上恰有两个不同的实数根等价于，在区间上恰有两个不同的实数根.

或，

当时，，于是在上单调递增；

当时，，于是在上单调递减.

依题意有

解得，.

（3）的定义域为，

由（1）知.

令得，或（舍去），

当时，单调递增；

当时，单调递减.

为在上的最大值.

，

故（当且仅当时，等号成立），

对任意正整数，取，得，

.

故.