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2023届广东省佛山市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析
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这是一份2023届广东省佛山市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届广东省佛山市第一中学高三上学期第三次月考数学试题 一、单选题1.设全集,集合,则 =( )A. B. C. D.【答案】C【分析】先求出A所表达的自然数,再根据补集的定义求出 .【详解】由题意A所表达的集合为大于等于3的 自然数,U集合是大于等于2的自然数,所以 ;故选:C.2.下列条件中,是的必要不充分条件的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】求出不等式的取值范围,再利用必要不充分条件即可求解.【详解】由得,必要不充分条件的的范围包含,故选:A.【点睛】本题考查了必要不充分条件,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.3.已知向量,,则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据投影向量的定义计算可得结果.【详解】因为向量在向量上的投影为,所以向量在向量上的投影向量为.故选:A4.已知,则( )A. B.C. D.【答案】B【分析】根据利用二倍角公式计算可得;【详解】解:故选:B5.已知,且,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用基本不等式及其应用,结合特例,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,实数,且满足,对于A中,由,可得,当且仅当等号成立,所以A错误;对于B中,由,可得,所以,所以,当且仅当等号成立,所以B正确;对于C中,由,当且仅当时,即时,等号成立,又由,所以C错误;对于D中,例如:时,可得,所以D错误.故选:B.6.如图,棱长都相等的平行六面体中,,则二面角的余弦值为( ).A. B. C. D.【答案】A【分析】判断四面体为正四面体,取的中点,连接,,由等腰三角形“三线合一”的性质,易得即为二面角的平面角,再由余弦定理计算可得.【详解】解:棱长都相等的平行六面体中,,则四面体为正四面体.连接、,,连接,,设四面体的棱长为,则,且,,则为二面角的平面角,在中,,故二面角的余弦值为.故选:A.7.在锐角三角形中,已知,,分别是角,,的对边,且,,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由正弦定理边化角可得,再根据正弦定理将化为,根据恒等变换公式,结合三角函数图像即可求得其范围.【详解】,又为锐角三角形,,,且,即,,即,,.故选:C.8.已知函数,若函数只有两个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先求解为0时的值,可得只有两个零点,再根据分析可得无解,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,即或.因为,易得无解.故只有两个零点.当时,或,解得或有两个零点.故无解. 因为,,故,解得故选:D 二、多选题9.给出下列命题,其中正确的命题是( )A.,; B.,; C.,; D., 【答案】CD【解析】求出、的值域后可得正确的选项.【详解】因为,故A,B错误.因为,故CD正确.故选:CD.【点睛】本题考查二倍角的正弦、辅助角公式,注意利用三角变换公式把三角函数式整合成正弦型函数(或余弦型函数)的形式,从而可利用复合函数的方法来研究它们的性质,本题属于基础题.10.已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )A. B.C. D.【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、,即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列,即可判断A、B、D,再根据递推公式表示出,即可得到,从而判断C.【详解】解:因为,,所以,故A错误;,,所以数列是以为周期的周期数列,所以,故B错误;因为,,所以,故C正确;,故D正确;故选:CD11.如图,平面四边形中,是等边三角形,且,是的中点.沿将翻折,折成三棱锥,在翻折过程中,下列结论正确的是( )A.存在某个位置,使得与所成角为锐角B.棱上总会有一点,使得平面C.当三棱锥的体积最大时,D.当平面平面时,三棱锥的外接球的表面积是【答案】BC【分析】取中点,连接,,可证明即可判断A;取中点,连接,可证明平面判断B;三棱锥的体积最大, 的投影在棱上时,此时平面,进而可证明平面得判断C;过作,过点作交于,设为三棱锥的外接球的球心,外接球的半径为,进而根据几何关系求解得可判断D.【详解】解:对于A选项,取中点,连接,,因为是等边三角形,所以,又因为是的中点,所以,因为,所以,因为,平面,所以平面,因为平面,所以,故错误;对于B选项,取中点,连接,因为是的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,故正确;对于C选项,设到平面的距离为,因为且,所以,所以,故要使三棱锥的体积最大,则最大,所以当的投影在棱上时,最大,且,此时平面,平面,所以,因为,,平面,所以平面,平面,所以,故正确;对于D选项,因为为直角三角形,所以过作,设为三棱锥的外接球的球心,外接球的半径为,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面,所以,过点作交于,如图所示,所以四边形为矩形,所以,所以在中,,即,在中,,即,进而解得,所以三棱锥的外接球的表面积为,故错误.故选:BC12.已知函数,下列命题正确的是( )A.若是函数的极值点,则B.若是函数的极值点,则在上的最小值为C.若在上单调递减,则D.若在上恒成立,则【答案】ABC【分析】对于A,由可求出的值,对于B,由选项A,可求得,然后利用导数可求出在上的最小值,对于C,由题意可得,可求出的范围,对于D,将问题转化为在上恒成立,构造函数,再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A,由,得,因为是函数的极值点,所以,得,经检验是函数的极小值点,所以A正确,对于B,由选项A,可知,则,由,得或,由,得,所以在和递增,在上递减,所以当时,时,取得最小值,所以B正确,对于C,因为在上单调递减,所以,即,得在上恒成立,令,则,所以在单调递增,所以,即,所以,所以C正确,对于D,由在上恒成立,得 在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,所以上单调递增,所以,所以,所以D错误,故选:ABC 三、填空题13.当时,幂函数为减函数,则_________.【答案】2【分析】利用幂函数定义即可得到结果.【详解】函数为幂函数,则,解得或,又因为函数在上单调递减,可得,可得,故答案为:214.数列的通项公式为,对于任意自然数,数列都是递增数列,则实数的取值范围为_______.【答案】【分析】根据数列为递增数列,则当时,,结合的取值范围,解不等式即可.【详解】解:因为,当时,,因为是递增数列,所以,即,也即,因为,所以.所以实数的取值范围为.故答案为:.15.在四面体中,已知点E,F分别为棱,中点,且,,若,,则该四面体外接球半径为__________.【答案】【分析】根据四面体的对棱性质,结合长方体面对角线的性质,即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题,即可得半径.【详解】解:根据长方体的面对角线特点,由对棱,且对棱中点E,F分别满足,,则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合,由长方体的外接球即为四面体的外接球如下图所示:设长方体的长、宽、高分别为则,所以外接球的半径,即四面体的外接球半径为.故答案为:.16.已知函数,,若,使得,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】“若,使得”转换为集合交集非空,分别根据导数求,的值域,进一步求出答案.【详解】因为所以当,,所以单调递减,因为,所以, 当,,所以单调递增,因为,使得,所以所以.故答案为:.【点睛】本题考查的是导数综合的问题,涉及到函数单调性以及恒成立的问题,属中档题.本题主要是转换的思想,“若,使得”可以转换为集合交集非空. 四、解答题17.已知函数.(1)若,求函数在区间上的值域;(2)求函数的极值.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】(1)求出函数的导函数,即可得到函数的单调性,从而求出函数的最小值,再求出区间端点的函数值,即可求出函数的值域.(2)求出函数的导函数,分、、三种情况讨论,分别得到函数的单调性,从而求出函数的极值.【详解】(1)解:当时,则,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,,,,所以,即函数在区间上的值域.(2)解:因为,,则,当时,所以在定义域上单调递增,不存在极值;当时令,解得或,又,所以当或时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极大值,,在处取得极小值,,当时令,解得或,又,所以当或时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极大值,,在处取得极小值,,综上可得:当时无极值,当时,,,当时,,.18.已知,.(1)若,的夹角为锐角,求的取值范围;(2)已知的三边长分别为,,,且,若,求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)依题意可得,根据数量积的坐标表示得到不等式,求出不等式的解,还需检验向量共线的情况;(2)根据向量垂直的坐标表示求出,再由余弦定理得到,由面积公式得到,即可表示出结合二次函数的性质计算可得.【详解】(1)解:因为,,且,的夹角为锐角,所以,解得,当,即时,,此时与同向,所以,综上可得.(2)解:因为,且,所以,解得或(舍去),在中由余弦定理,即,所以,因为,所以,所以当即时,即,此时,,,满足,符合题意.19.如图,是圆的直径,圆所在的平面,为圆周上一点,为线段的中点,,.(1)证明:平面平面.(2)若为的中点,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)先证明平面得,再根据几何关系得,进而得平面,最后结合判定定理即可证明;(2)根据题意,以为原点,分别以,的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.【详解】(1)证明:因为圆所在的平面,即平面,而平面,所以.因为是圆的直径,为圆周上一点,所以.又,所以平面,而平面,则,因为,,所以.又,所以,而为线段的中点,所以.又,所以平面,而平面,故平面平面.(2)解:以为原点,分别以,的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则,,,,,.设平面的法向量为,则令,得.由(1)知平面的一个法向量为,设二面角为,易知为锐角,则,即二面角的余弦值为.20.已知四面体中,,,,G为底面的重心,且.(1)求线段的长;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)取的中点、的中点,连接、,则与的交点即为的重心,连接、,以、、作为一组基底,表示出,再根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得;(2)在上取,使,在上取,使,连接、、,即可得到四面体为正四面体,过作平面,垂足为,连接并延长,交于,根据正三棱锥的性质求出,再求出,最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】(1)取的中点、的中点,连接、,则与的交点即为的重心,连接、,则,,所以,又,,且,所以,,,所以,所以.(2)在上取,使,在上取,使,连接、、,则,即四面体为正四面体,过作平面,垂足为,连接并延长,交于,则,,...21.已知等差数列满足,,等比数列满足,.(1)求数列,的通项公式;(2)令,求证:,其中.【答案】(1),(2)证明见解析. 【分析】(1)利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式(2)通过(1)求出的,的通项公式,表达数列,然后利用公式法和放缩法,分类讨论n为奇数或偶数时前n项的和,进而证明不等式.【详解】(1)由题意,,在等差数列中,设解得:∴等比数列中,设,,解得:∴(2)由题意及(1)得,,,,在中,设,当n为奇数时,在中,∵∴∴在中,解得:∴∴当n为偶数时,同理可得,综上,.22.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)是否存在a,使得有两个不同的极值点,且恒成立?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)答案见解析;(2)不成立,理由见解析. 【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可;(2)根据(1)的结论,结合构造函数法、二次求导法、配方法进行求解即可.【详解】(1),设的判别式,当时,即当时,,函数在上单调递增;当时,即当时,设方程的两根为:,当时,,当时,单调递减,当时,单调递增;当时,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,单调递增,综上所述:当时,函数在上单调递增;当时,函数在单调递减,在单调递增;当时,函数在,单调递增,在单调递减;(2)假设存在a,使得有两个不同的极值点,且恒成立,由(1)可知:当时,函数在,单调递增,在单调递减,所以是函数的两个极值,不妨设,且,由恒成立,即恒成立,把代入上述不等式,得,令,则有,设,,,因为,所以,单调递减,,当时,,所以存在,使得,即所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,函数有最大值,最大值为,由,,因此,所以不成立,因此不成立,所以假设不成立,所以不存在a,使得有两个不同的极值点,且恒成立.【点睛】关键点睛:构造新函数,利用二次求导数、分类讨论思想是解题的关键.
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