2023届黑龙江省哈尔滨市尚志市尚志中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

这是一份2023届黑龙江省哈尔滨市尚志市尚志中学高三上学期第二次月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省哈尔滨市尚志市尚志中学高三上学期第二次月考数学试题 一、单选题1．设复数满足，则的共轭复数（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数得乘除法运算求得复数z，然后根据共轭复数得概念即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以.故选：A.2．已知全集，集合，集合，则阴影部分表示的集合为A． B． C． D．【答案】B【分析】根据Venn图可知，阴影部分表示的集合为．求得集合A与集合B，即可表示出阴影部分的集合．【详解】由图可知，阴影部分表示为因为全集，集合，集合所以，则即所以选B【点睛】本题考查了集合交集、补集的运算，Venn图表示的意义，属于基础题．3．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对命题进行求解，可得，再通过充分条件和必要条件进行判断即可.【详解】因为命题是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B．4．已知为第一象限角，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可.【详解】由为第一象限角，，得，故，故.故选：A.5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在着陆场预定区域成功着陆，三名航天员安全出舱.神舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为，下底面圆的直径为，上底面圆的直径为，则可估算其体积约为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆公的体积公式可求得结果.【详解】因为圆台的上底面圆的半径是，高是，下底面圆的半径是，所以故选：B.6．已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案【详解】∵数列 满足， 时， 时， ，可得 . ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 ..∵对任意 都有，则 的取值范围为 故选：D.【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题7．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论：①与是异面直线；②，，相交于一点；③；④平面．其中所有正确结论的编号是（    ） A．①④ B．②④ C．①④ D．②③④【答案】B【分析】本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解．【详解】解：因为，，所以与是相交直线，又面面，所以，，相交于一点，则①不正确，②正确．③令，因为，分别是，的中点，所以，，则为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，③不正确，④正确．综上所述，②④正确，故选：．【点睛】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，逻辑分析能力，属于中档题．8．若实数（），则的最小值为（    ）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根据题意化简得到，且，进而得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，且，所以，且，所以，当且仅当且，即，时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A．9．鳖臑（biē nào）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（    ）A． B． C．49π D．【答案】D【解析】将三棱锥A-BCD可放在长方体中确定直径AD，计算即得结果.【详解】依题意，三棱锥A-BCD可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则，故三棱锥A-BCD的外接球的半径，所以．故选：D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10．函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（     ）A．在区间单调递增.B．在区间有5个零点.C．直线是曲线的对称轴.D．图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.【答案】C【分析】根据给定条件，求出的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.【详解】因函数的图象关于点中心对称，则，即，当时，，依题意，，解得，因此，，对于A，当时，，而正弦函数在上不单调，A不正确；对于B，当时，，则时，即函数在区间内有6个零点，B不正确；对于C，因，即直线是曲线的对称轴，C正确；对于D，图象向左平移个单位，所得图象对应的函数不是奇函数，D不正确.故选：C11．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且 （其中为的前项和），则 （    ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】由是奇函数且满足可知为周期函数，再由求出的通项公式，利用函数周期性进行求解.【详解】∵，可得，即又∵是奇函数，∴∴即∴将代入上式，有∴是周期为3的周期函数.又∵，∴，①当时，有②①②，得，即（）∴（）∴（）∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，，∴∵定义在R上的奇函数是周期为3的周期函数，∴∴.故选：A.12．已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为解集中恰有两个正整数，利用数形结合建立不等式求解即可.【详解】因为的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，所以的解集中恰有两个正整数，由可得， ，令，则，，单调递增，，单调递减，作出函数与的图象如图，当恰有两个正整数解时，即为1和2，所以，故选： C【点睛】本题以解不等式为载体,要求考生抓住函数图象和性质的本质,建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于难题. 二、填空题13．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为________.【答案】【分析】将自变量转化到上，然后利用函数在上单调递增，可比较出a，b，c的大小关系.【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，因为，所以，因为，所以，即，因为在在上单调递增，所以，即，故答案为：14．已知函数，且对任意都有，则__________.【答案】【分析】由可知函数图像关于直线对称，所以，代入函数化简可得结果【详解】解：因为对任意都有，所以的图像关于直线对称，所以有，所以，，所以，所以，故答案为：15．设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的取值范围是__________.【答案】【分析】方程的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，可画出函数图象，结合二次函数的对称性和对数函数的性质求解.【详解】函数图象如图所示：∵关于的方程有四个实数解，∴函数的图象与直线有四个交点，交点的横坐标分别为，，，，且，当时，与关于的对称轴对称，∴.当时，，且，∴，，，∴∴，∴，，，∴，又∵，∴，∴.令，当时，函数单调递减，∴，即，∴.故答案为：.16．已知函数，数列为等比数列，，，则______．【答案】【分析】可证明，由是等比数列，可得，即，设，倒序相加即得解【详解】∵，∴．∵数列是等比数列，∴，∴．设，①则，②①＋②，得，∴．故答案为： 三、解答题17．如图已知四棱锥A-BCC1B1底面为矩形，侧面ABC为等边三角形，且矩形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直，BC=4，BB1=2，D为AC的中点.（1）求证：平面；（2）求点D到平面ABC1的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，交于，连接，利用已知条件可得，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直得面，再利用求距离即可.【详解】（1）证明：连接，交于，连接，由矩形可知为的中点，又D为AC的中点，则，平面，平面，所以平面；（2）由题意得：面面，又面，面面，所以面，则，又，所以，又，则的高为，所以，又，则，设点D到平面ABC1的距离为，则，故，所以点D到平面ABC1的距离为.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及利用等体积法求点到面的距离.属于中档题.18．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.(1)已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由；(2)若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围；【答案】(1)不是，理由见解析(2) 【分析】（1）根据题意分析是否有解即可；（2）根据题意可得在上有解，化简可得在上有解，令，再根据函数的单调性分析值域即可.【详解】(1)假设为“准奇函数”，存在满足，有解，化为，无解，不是“准奇函数”；(2)为定义在的“准奇函数”，在上有解，在上有解，令，在上有解，又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，；时，，，的值域为，，19．已知数列满足(1)求an.(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将当时，和两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立；（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.【详解】(1)当时，；当时，又，上述两式作差可得，即，不满足，所以；(2)当时，，即，所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.①若为正奇数，则，，则，可得；②若为正偶数，则，可得.综上所述，.20．在中，内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用正弦定理化简求得=，设a2=12k（k>0），则b2=7k，利用余弦定理求得c2=25k，然后利用余弦定理即可求解.（2）利用三角形面积公式求得ac=10，然后利用余弦定理即可求解.【详解】(1)因为，所以==.设a2=12k（k>0），则b2=7k，由cosC=-，得==-，解得c2=25k，所以cosB===0<B<π，所以B=.(2)因为△ABC的面积S=acsinB=ac=，所以ac=10.又=，所以a=2，c=5.由（1）知=，所以b=，CD=.所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC=，故BD=.21．已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且，若数列满足，求的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据已知条件解得与，再化为基本量求解；（2）先根据与的关系，得出数列为等差数列，求得其通项公式，再利用错位相减法求解.【详解】(1)由已知，，∴又∵，，成等差数列，∴，∴，设递增等比数列的公比为()，则解得，，∴数列的通项公式为.(2)∵，∴，平方得，①∴，有②①②得（），∴（），∴（）∵数列各项均为正数，∴，∴（），∴数列是首项，公差的等差数列，，∴，∴③③得，④③④得，∴.22．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线的点斜式方程，可得答案；（2）由极值点的必要条件，得到参数与极值点之间的等量关系，化简整理并整体还原，可得一元不等式，利用导数证明不等式恒成立，可得答案.【详解】(1)若，则，，则切线的斜率为，又，所以曲线在点处的切线方程是，即.(2)，由条件知，是方程的两个根，所以则.所以.设，可知的取值范围是，则，不等式恒成立，等价于恒成立.设，则恒成立，.（i）若，则，所以，在上单调递增，所以恒成立，所以符合题意；（ii）若，令，得，令，得则在上单调递增，在上单调递减，所以当的取值范围是时，，不满足恒成立.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键在于第二问，注意利用等量关系进行等量代还，转化不等式，再利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论和数形结合思想的应用，