2023届四川省内江市第六中学高三上学期第三次月考数学（文）试题含解析

2023届四川省内江市第六中学高三上学期第三次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，，，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出与中函数的值域确定出与，求出两集合的交集即可．

【详解】解：由中的函数，，得到，即，

由中的函数，，得到，即，，

则．

故选：．

2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】，

因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.

3．等差数列的前项和为，且，，则公差

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】由题意得，，解得，故选B．

4．在中，若，则一定是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】利用化简可得，即可判断.

【详解】，

，即，

，，即，

所以一定是等腰三角形.

故选：B.

5．函数在处的切线如图所示，则（    ）

A．0 B． C． D．-

【答案】A

【分析】根据切线过和，利用斜率公式求得，写出切线方程，再令，求得即可.

【详解】因为切线过和，所以，

所以切线方程为，

令，则，

所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

6．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

7．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为，

所以，半径为的圆的内接正十二边形的面积为，

因此，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

8．设函数，=（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式、对数运算求得正确答案.

【详解】，

，

，

所以.

故选：C

9．已知 ，则 的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式推出，再利用两角和与差的正弦公式结合同角的三角函数关系化简即可求得答案．

【详解】 ，，

则

,

故选：．

10．已知函数，若.且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出的图象，数形结合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案

【详解】的图象如下：

因为.且

所以且

所以，所以

所以

当且仅当，即时等号成立

故选：B

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题.

11．如图，是圆的一条直径，且.、是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（　　）

A．           B．          C．        D．

【答案】A

【分析】设为圆心,根据数量积的运算律得到,根据点在线段上, 即可求出的取值范围, 即可得解.

【详解】为圆心,则

因为点在线段上且,则圆心到直线的距离,

所以,

所以,则,

即的取值范围是.

故选：A

12．已知为定义在上的奇函数，且满足，已知时，，若，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．

【详解】为定义在R上的奇函数，且满足，

，

则，

即，则函数的周期是4，

时，，为增函数，则在上为增函数，

，

，

，

，

即，

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．

二、填空题

13．设，向量，且，则_______________________．

【答案】

【分析】先根据求出的值，再求得解.

【详解】因为，

所以,

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

14．设满足约束条件，则的最大值为_______.

【答案】；

【详解】 画出约束条件所表示的可行域，如图所示，

 由 ，解得，

当目标函数经过点时，此时目标函数取得最大值，

此时最大值为．

15．知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____________.

【答案】

【分析】根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m的范围.

【详解】由解析式知：在上为增函数且，

在上，时为单调函数，时无零点，

故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，

所以在上必递减且，则，可得.

故答案为：

16．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点

③在单调递增④的取值范围是

其中所有正确结论的编号是______.

【答案】①③④

【分析】对①②可以通过作图判别，对于④令，根据题意得到不等式，解出范围即可，对于③证明出当时,即可.

【详解】已知在有且仅有5个零点，如图，

其图象的右端点的横坐标在上,此时在有且仅有3个极大值点,但在可能有2或3个极小值点,所以①正确, ②不正确;

令,

且,

在上有且仅有5个零点,

在上有且仅有5个零点,

,故④正确.

当时,,

又,

,

在上单调递增.

在上单调递增,故③正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点睛：令,利用整体思想将原函数转化为来研究.

(2)当时,的图象可由的图象经过平移、伸缩变换得到,的增、减区间可通过讨论的增、减区间得到.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求曲线的斜率为1的切线方程；

(2)当时，求证：．

【答案】(1)与

(2)证明见解析

【分析】（1）求出的导数，列式，求出x的值，由此求出值，利用点斜式即可求出切线方程；

（2）列出函数，通过判断的单调性从而找出定义域内的最大值，由此证明命题.

【详解】（1）由得．

令，即，得或，又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与．

（2）令，．则，，，

令得或．当变化时，，的变化情况如下：

所以的最大值为0，故，即．

18．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨．为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券，为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的．

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？

(2)现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取6人做进一步访谈，然后再从这6人中随机抽取2人填写调查问卷，求这2人中至少有1人来自没使用过政府消费券的概率．

附：，其中．

【答案】(1)表格见解析，没有

(2)

【分析】（1）根据题意即可补充完整表格，计算出与附表比较即可；

（2）采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民4人，没使用过政府消费券的市民2人，将所有情况一一列举出来即可得出答案.

【详解】（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，

没使用过政府消费券的人数为人，

完成表格如下：

由列联表可，

所以没有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关．

（2）由题意可知，从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民4人，

记为A，B，C，D，没使用过政府消费券的市民2人，记为a，b，

从这6人中随机抽取2人的方法有：

AB，AC，AD，Aa，Ab，AB，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，ab，，共15种，

其中这2人中至少有1人来自没使用过政府消费券的方法有：

Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，共9种，

故所求的概率为．

19．已知函数．

(1)求的最小正周期和单调增区间；

(2)在中，角的对边分别为．若，，求的面积的最大值．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】(1)利用三角恒等变换求出函数的解析式，根据函数的性质求解；(2)利用边化角转化为三角函数求面积的最大值或者用余弦定理和基本不等式求面积的最大值.

【详解】（1）

．

∴的周期，

由，，得，

所以的单调递增区间是，．

（2）∵，即，又，∴，

由正弦定理有，

∴

∵，∴，∴,

当 即时取得最大值.

另解：∵，即，又，∴，

由余弦定理知：，

即，当且仅当时，等号成立．

∴，∴当时，．

20．已知数列满足，

(1)设，证明：是等比数列，并求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析，

(2)证明见解析

【分析】（1）先利用等比数列的定义来证明，再根据等比数列的其通项公式运算求解；（2）可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，结合数列单调性证明不等式.

【详解】（1）∵，则，即，

又∵，所以是首项为，公比为3的等比数列，

∴，故的通项公式为.

（2）由（1）知，即是首项为，公比为的等比数列，

∴，

又∵数列单调递增，

∴，故.

21．已知函数.

(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）在定义域内单调递增，在定义域内恒成立，.转化为求最小值问题.

（2）恒成立问题转化为求最值，利用导数研究单调性，找最值求范围.

【详解】（1），函数定义域为

，

∵在上单调递增，∴在上恒成立，

，记，

，解得，，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴，

a的取值范围为

（2）由可知，，

∴，记，

∵，

令，，

，解得，，解得

在上单调递减，在上单调递增，

，，

∴，，

，，∴，∴单调递减，

，，，∴单调递增，

，

∵，，

∴，

∴整数k的最大值为6．

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.

（1）求C的普通方程和l的倾斜角；

（2）设点，l和C交于A，B两点，求.

【答案】(1) ..  (2) .

【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.

（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.

【详解】（1）消去参数α得，

即C的普通方程为.

由，得，（*）

将，代入（*），化简得，

所以直线l的倾斜角为.

（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数），

代入并化简，得，

，

设A，B两点对应的参数分别为，，

则，，

所以，，所以.

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.

23．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．

（1）求证：

（2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，m∈[－2，2].

【分析】（1）利用“”的代换的方法化简，利用基本不等式证得不等式成立.

（2）首先利用基本不等式求得的最小值，然后根据一元二次不等式恒成立列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】(1)因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，

所以＋＋

＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

＝

≥(3＋2＋2＋2)＝，

当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，

所以＋＋≥得证．

(2)因为a＋b＋c＝3，

所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，

因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，

所以(a2＋b2＋c2)min＝3，

由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，

即得x2－mx＋1≥0恒成立，

因此＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.

故存在实数m∈[－2，2]使不等式成立．

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式，考查利用基本不等式求最值，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.