2023六安一中高三上学期第四次月考数学试题含答案

六安一中2023届高三年级第四次月考

数学试卷

时间：120分钟                满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（     ）

A．第一象限   B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限 

2．已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件 

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（        ）

A．                   B．        

C．8                     D．

4．如图，已知是正方体，以下结论错误的是（       ）

A．向量与向量的夹角为60°   

B．

C．

D．若，则点是的中心

5．若不等式的解集为区间，且，则（       ）

A．        B．           C．               D．2

6．过点作圆的切线，直线与切线平行，则切线与直线间的距离为（       ）

A．                 B．2                   C．4                 D．

7．如图，已知平面，，是直线上的两点，是平面内的两点，且．是平面上的一动点，且直线与平面所成角相等，则四棱锥体积的最大值为（       ）

A．              B． 

C．              D．

8．在正四棱台中，，当该正四棱台的体积最大时，则其外接球的表面积为（      ）

A．       B．        C．        D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．以下四个命题表述正确的是（       ）

A．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为

B．三棱锥中，分别为的中点，，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即

C．若直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为

D．在四面体中，若，则

10．在三棱锥中，已知底面ABC，分别是线段上的动点．则下列说法正确的是（　　）

A．当时， 

B．当时，一定为直角三角形 

C．当时，平面平面

D．当平面AEF时，平面与平面不可能垂直

11．已知正方体的棱长为2，为线段的中点，，其中

，，则下列选项正确的是（       ）

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当时，的最小值为

C．当时，直线与平面的交点轨迹长度为

D．当时，点到平面的距离为

12．若实数满足，则下列说法正确的是（     ）

A．的最小值是0      

B．的最大值是5

C．若关于的方程有一解，则的取值范围为

D．若关于的方程有两解，则的取值范围为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为

           .

14．在四面体中，，且异面直线与所成的角为60，分别是棱的中点，则线段MN的长为         ．

15．已知的一条内角平分线所在的直线方程为，两个顶点坐标分别为，则边所在的直线方程为          ．（结果用一般式表示）

16．已知数列满足：，若，则数列的前20项和           ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分10分）

如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

18、（本小题满分12分）

如图，为内的一点，记为，记为，且、在中的对边分别记为.

（1）求；

（2）若，求线段和的长．

19、（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点．

（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；

（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，且．

（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）设，求证：．

21、（本小题满分12分）

在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．如图，在五面体中，已知       ，，且．

（1）设平面与平面的交线为，证明：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

22、（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若与的图象有公共点．

（i）当时，求的取值范围；

（ii）求证：．

六安一中2023届高三年级第四次月考

数学参考答案

一．选择题

二．填空题

13、4             14、1或              15、              16、

17、证明：（1）由题意可知，解得      ............................1分

     在中，

所以，又因为是的中点，所以

因为是圆的直径，所以，由已知得，平面

所以，所以平面，                         ............................3分

从而平面，证得.                ............................5分

（2）过作，则面                            .............................6分

连接，则就是直线与平面所成的角           ............................7分

，                                     ............................9分

.                               .........................10分

18、解：（1）由题知

，              ...........................4分

，.          ............................6分

（2）在中，由余弦定理得知：

                ..........................8分

又，且                     ..........................9分

又，                                       ..........................10分

在中，

.         ..........................12分

19、解：（1）若的斜率不存在时，，此时符合要求.    ........................2分

当的斜率存在时，设的斜率为，则令

，                                      ............................4分

                                             ............................5分

所以直线的方程为或.                     ............................6分

（2）假设圆上存在点，设，则，

，      ............................8分

即，即，                    ............................9分

，                         ............................10分

与相交，则点有两个．      ............................12分

20、（1）证明：令，得.                   ............................. 1分

所以时，       ①

                ②

①-②得，

即                         ....................... 3分

所以，，因为，

所以数列是以1为首项为公差的等差数列．               ....................... 5分

所以，所以.      ........................ 6分

（2）由            ..................... 8分

所以

              ........................ 10分

因为，所以，得证.        ........................12分

21、证明:（1），平面                        ........................1分

又平面且平面平面，       .........................2分

又平面，平面，平面.      ........................3分

（2）若选①，取中点，中点中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，

，又，，，，

又，，又，，平面，

平面，平面，平面平面，

，，又平面，平面平面，

平面，又，，；        ........................ 5分

若选②，，，，平面，

平面，平面，平面平面，

取中点，中点，连接，

，，又平面，平面平面，

平面，又，，；         ........................ 5分

若选③，取中点，中点，连接，

，，又，；

分别为中点，，又，，

四边形为平行四边形，；

，，，，，

，，，

，又，，又，，平面，

平面，平面，平面平面，

又，平面，平面平面，

平面，又，，；         ........................ 5分

综上所述：两两互相垂直.

则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

平面，平面的一个法向量；           ........................ 6分

设平面的法向量，则，

令，解得：，，，                      ........................ 7分

，即，平面与平面.                ........................ 8分

（3）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于

，由（2）得：，，

设平面的法向量，则，令，

则，           ........................ 9分

∵面的法向量为

 ，

化简得，

∴方程无解                                                   ........................ 11分

线段以上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于.  .............12分

22、解：（1），故，                       ........................1分

而，曲线在点处的切线方程为，     .......................2分

即.                                                      .......................3分

（2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解，设，故，

故在上有解，设，故在上有零点，.......................4分

而，

若，则恒成立，此时在上无零点，             .......................5分

若，则在上恒成立，故在上为增函数，      .......................6分

而，，故在上无零点，

故，设，则，故在上为增函数，

而，，故在上存在唯一零点，

且时，；时，；故时，；时，；

所以在上为减函数，在上为增函数，故，    ......................7分

因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，

而，故.                                     ........................ 8分

另解：

令，所以，.

当时，，即在上是单调递减的；

当时，，即在上是单调递增的；

因为，所以有，解得.

（ii）因为曲线和有公共点，所以有解，其中，

若，则，该式不成立，故.故，考虑直线，表示原点与直线上的动点之间的距离，故，所以，                    ........................ 9分

下证：对任意，总有，

证明：当时，有，故成立.

当时，即证，

设，则（不恒为零），

故在上为减函数，故即成立.

综上，成立.                                                  ........................ 10分

下证：当时，恒成立，，则，

故在上为增函数，故即恒成立.          ........................11分

下证：在上恒成立，即证：，

即证：，即证：，而，故成立.

故，即成立.                                  ........................ 12分

第二问另证：方法一：柯西不等式：令交点横坐标为，则

由柯西不等式：.

即证：，因为，原命题得证.

方法二：基本不等式：令交点横坐标为，则，

则由基本不等式，

因此有：，原命题得证.

答案仅供参考，请各位老师按步骤给分！其它解法请酌情给分！