2023届河南省高三上学期期中考试数学（理）试题含解析

2023届河南省高三上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合和集合的含义求交集.

【详解】联立，解得，或，所以.

故选：C.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据举例说明判断AC；根据不等式的基本性质判断B；结合分式的意义判断D.

【详解】A：不妨取，，，则，故A错；

B：由得，又，所以，故B正确；

C：当时，，，故C错误；

D：当时，没有意义，故D错误.

故选：B.

3．已知等差数列的前项和为，且，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由等差数列的性质求解，

【详解】由题意得，

故选：B

4．已知为第三象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可.

【详解】，∵为第三象限角，∴.

故选：A.

5．已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】解：若为递增的等比数列，显然后面的项都比大，

即且，，充分性成立；

反过来，若且，，即（为公比），

因为，所以，所以，从而可得为递增数列，必要性成立，

所以“为递增数列”是“且，”的充分必要条件.

故选：C.

6．已知非零向量，的夹角正切值为，且，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【分析】由切弦互换可得，由及数量积运算可得，结合范围求解即可

【详解】由，

又由得，即，解得

故选：D

7．已知的角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理求出，根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据面积公式计算可得.

【详解】解：因为，令，，，

由余弦定理可得，

所以，所以.

故选：B

8．已知函数，不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】A

【分析】确定，为方程两根，利用韦达定理求出值，则得到原不等式，解出即可.

【详解】依题知的根为，，则两根之和为3，两根之积为，

∴即∴可化为，即，解得，或，∴不等式的解集为或.

故选：A.

9．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对等式，取10为底的对数，得，则得到的值，

再利用化简得到的值，即可得到答案.

【详解】，∴，

又，∴，，

∴，即.

故选：A.

10．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由周期性得，再由对称性与单调性判断，

【详解】因为的最小正周期为，所以，

令得，

即在上单调递增，同理得在上单调递减，

而，，，

由三角函数性质得

故选：D

11．对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.已知函数，则方程在上的实根个数为（    ）

A．290 B．292 C．294 D．296

【答案】C

【分析】依题意得到的解析式，即可得到的解析式，令，则问题转化为与的交点个数，数形结合即可得解.

【详解】解：设，当时，当时，

当时，当时，当时，

所以，

则，

令，解得，画出与的图象如下所示：

由图可知与在每个区间（且）内均有个交点，

所以交点总数为，所以方程在上的实根个数为.

故选：C

12．已知点在曲线上运动，过点作一条直线与曲线交于点，与直线交于点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率为的切线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】如下图所示，，当斜率为的直线与的图像相切时，为切点，此时的值最小.

设，，则有，解得，代入函数，求得，

即，则的最小值即点到直线的距离，则.

故选：C

二、填空题

13．在等比数列中，，，则________.

【答案】32

【分析】利用等比数列的性质得到，然后求即可.

【详解】设的公比为，则，.

故答案为：32.

14．在平行四边形中，，，，且，，三点共线，则的最小值为________.

【答案】

【分析】依题意可得，根据三点共线得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，又，，三点共线，

所以，

又，所以，，

所以，

当且仅当即时取等号；

故答案为：

15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，，且在内恒成立（为的导函数），若不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】根据为奇函数和得到，构造函数，根据在内恒成立，得到在上单调递增，根据和的对称性和周期性得到的周期性和对称性，再结合在上单调递增，得到，将不等式整理为，在结合即可得到的取值范围.

【详解】因为， 为奇函数，所以，，

令，则，又在内恒成立，所以在上单调递增，

因为，所以是的一个周期，

因为，所以是的一条对称轴，

又在上单调递增，所以在上单调递减，当时，，又在上单调递增，所以当时，，

可整理为，所以.

故答案为：.

16．设，其中，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，则d的最小值为______.

【答案】

【分析】由已知利用等差数列及等比数列的通项可知，进而得解.

【详解】，设，则

又，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，

即，

可得，只需即可，所以.

当m取最小值时，由不等式组得，故d的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．在直角坐标系中，角的顶点在原点，始边均与轴正半轴重合，角的终边经过点，角的终边经过点.

(1)求的值；

(2)若角的终边为（锐角）的平分线，求的值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）根据题意求出，再根据差的正切公式即可求出；

（2）由题可得，先求出，再根据二倍角公式即可求出.

【详解】（1）依题知，，

∴.

（2）由条件得，，，，

∵角的终边是（锐角）的平分线，∴，

∴，

∴.

18．已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.

(1)若为常数列，求这个常数；

(2)若，设，求数列的通项公式.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）当时代入，利用常数列即可求出常数值；

（2）由得出，两边同时取对数可得出的通项，即可求出的通项公式.

【详解】（1）已知，当时，有，

因为为常数列，所以

故这个常数为2.

（2）已知，

所以当时，，

两边同时取对数，则，

当时，，，

因此的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，所以

所以数列的通项公式为.

19．如图所示，在平面四边形中，，，，，.

(1)求的值；

(2)求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，，利用余弦定理得到，然后利用正弦定理得到，最后利用同角三角函数基本公式求即可；

（2）利用诱导公式得到，然后利用余弦定理解三角形即可.

【详解】（1）设，，则，所以，

利用正弦定理得，解得，

又，所以，.

（2）因为，所以，

根据余弦定理得，解得.

20．已知数列的前项和为，，.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据与的关系，得到是以2为首项，2为公比的等比数列，即可证明；

（2）由（1）中的结论可得，然后根据错位相减法即可得到.

【详解】（1）当时，,

当时，由得，

∴，又∵，

∴是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，

∴，

∵，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列

（2）由（1）知，∴

∵，

∴

∴

，

∴.

21．已知函数的最小值为1.

(1)求实数的值；

(2)若直线：与曲线没有公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)2

(2)

【分析】(1)根据题意，若则不符合题意；若，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，进而得出关于a的方程，解之即可；

(2)将原问题转化为关于的方程在上没有实数解，当时符合题意，当时，构造函数，利用导数研究函数的单调性求出最小值，即可求解.

【详解】（1）若，易知单调递增，没有最小值，不符合题意；

若，，

令，得，

在上，，在上，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

解得；

（2）直线：与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，

即关于的方程在上没有实数解，

①当时，该方程可化为，在上没有实数解；

②当时，该方程化为，

令，则，

由，得，

在上，，在上，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，又当时，，

故函数的值域为，所以当时，方程无实数解，

解得，

综合①②，可知的取值范围是.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若存在，且，使得，求证：.

【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求导，令，，得到的递增递减区间；

（2）由（1）得，构造函数，根据单调性得到，再结合的单调性得到①，构造函数，根据单调性得到，再结合的单调性得到②，①②结合即可证明.

【详解】（1），令，解得或，

令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可得，

当时，令，则，所以在上单调递增，，所以，即，

又，，在上单调递增，所以，即①，

当时，令，则，所以在上单调递增，

，所以，即，

又，，在上单调递增，所以，即②，

得：，即.

【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：

①构造，

②确定的单调性，

③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，

④利用的单调性即可得到或.