2023届山东省聊城市高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届山东省聊城市高三上学期期中数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023届山东省聊城市高三上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数以及对数函数的单调性，确定集合,求出，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得，，故，所以，故选：B.2．已知复数z满足，则（    ）．A． B． C． D．8【答案】A【分析】根据复数的除法求出z,再根据复数模的计算即可求得答案.【详解】因为，所以，故，故选：A.3．下列结论正确的是（    ）．A．若命题，，则，．B．若，则“”是“”的必要不充分条件．C．点在的终边上，则的一个充要条件是．D．，．【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、充要条件、存在量词命题的真假性的知识确定正确答案.【详解】A选项，命题，，则，，A选项错误.B选项，；，不能推出；不能推出，所以“”是“”的非充分非必要条件，B选项错误.C选项，设，所以，但此时为负数，所以C选项错误.D选项，当时，，所以D选项正确.故选：D4．已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】当时，有一个零点，只需当时，有一个根，利用“分离参数法”结合函数图像求解即可.【详解】因为函数,当时，令可得，解得，所以在上有一个零点，又函数在R上有两个零点，所以当时，方程有一个根，所以方程在上有一个根，即函数与函数的图象在时有且只有一个交点，作函数的图象如下：观察图象可得，所以，所以m的取值范围是.故选：D.5．已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化即可得到答案.【详解】故选:A6．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得，再计算前4项的和即可判断A；由即可判断C；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】因为，，，……，，以上个式子累加可得：，所以，故选项A错误；由递推关系可知：，所以B错误；由，可得，C正确；因为，所以，D错误；故选：C.7．若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，对，，即，结合的单调性求解即可.【详解】由题意，对，，即，即，对恒成立，由于在上单调递增，故，故.即.故选：B8．已知，，，下列说法正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用导数研究单调性可比较，，利用导数研究单调性可比较，即可求解【详解】设，则在上恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，即，所以，又在单调递增，所以，即，所以；设，则在上恒成立，所以在单调递减，所以，所以在单调递减，所以，即，所以，即所以；综上所述：，故选：C 二、多选题9．已知平面向量，，，则（    ）．A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为锐角，则 D．的最小值为4【答案】ABD【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可判断A,B;根据向量的夹角公式求出与的夹角为锐角时的n的范围，要考虑向量同向情况，判断C;根据向量的模的坐标计算可判断D.【详解】由题意平面向量，，，若，则 ，A正确；若，则，B正确；若与的夹角为锐角，则 ，即 ，但时，与同向，满足，但夹角为 ，不是锐角，故C错误； ，当时，取得最小值，故的最小值为4，D正确，故选：ABD.10．下列结论正确的是（    ）．A．若，且，则B．若，，，则的最小值为4C．函数的最小值为4D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，【答案】AB【分析】利用基本不等式可判断A;根据对数运算可得，再结合基本不等式可判断B;利用换元法将化为函数，，结合其性质判断C;求出数列的通项公式，可得的表达式，即可判断D.【详解】对于A，若，且，因为 ，即，A正确；对于B, 若，，,则，则，即，故，当且仅当是取得等号，故的最小值为4，B正确；对于C,当时，，令 ，则函数，单调递减，故，即函数的最小值为2，C错误；对于D, 各项均为正数的数列满足，，则 ，满足上式，所以, 所以，当时，，当时，，由于，故D错误，故选：AB.11．已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（    ）．A．B．C．是曲线的对称轴D．直线是曲线的一条切线【答案】ACD【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A;根据三角函数图象的平移变换可得到表达式，判断B;将代入验证，可判断C;利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断D.【详解】由图象知 ， 解得 ， 将代入中得，则 ，因为   ，A正确；由于将函数图象向右平移个单位后，得函数的图象，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故，B错误；将代入中，，是曲线的对称轴，C正确；，令 ，即，可得时满足，此时，则在点处的切线方程为 ，D正确，故选：ACD.12．在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（    ）A．为等比数列 B．为等差数列C．为递增数列 D．【答案】BD【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出，结合，推出，即，求出，，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出，可判断D.【详解】如图，连交于，则，即，所以，所以，所以，设，因为，所以，，所以，所以，即，又，所以，所以是首项为2，公差为的等差数列，所以，所以，因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；因为，所以为等差数列，故B正确；因为，所以为递减数列，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD 三、填空题13．已知，若，，则=     ．【答案】【详解】因为，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因为，所以，，14．在四边形ABCD中，，且，，则的值为______．【答案】5【分析】由条件可得，然后可得答案.【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以，因为，，所以，故答案为：15．设为数列的前n项和，且，，，则______．【答案】【分析】由得()，两式相减可化为()，由此即可得出答案．【详解】因为，①则当时，，②①－②得，所以，(），则数列从第二项起，是公比2的等比数列，又，(），当时，，不符合，故，故答案为：．16．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为______．【答案】【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，讨论a的取值范围，参变分离，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，即可求解.【详解】因为函数，故函数，由题意可知在上恒成立，（不恒等于0），当时，，不符合题意；当时， ，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，递增，当时，递减，故，故 ，当时，仅在时取等号，符合题意；当时， ，则在上恒成立，即在上恒成立，由上述分析可知无最小值，且当时，，比如取时，，即此时在上不恒成立，综合上述可得a的取值范围为，故答案为：.【点睛】方法点睛：本题是根据函数的单调性，求解参数范围，实质上是不等式恒成立问题，解决这类问题的一般方法是：利用导数列出不等式恒成立，然后参变分离，根据分离后的式子特征构造合适的函数，进而将恒成立问题转化为函数最值问题解决. 四、解答题17．已知函数．(1)当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1 【分析】（1）转化为时，恒成立，结合且，求解即可；（2）由复合函数单调性可得为减函数，即，又最大值为，求解即可.【详解】（1）因为且，设，则为减函数，时，的最小值为，当时，恒有意义，即时，恒成立．所以．所以．又且，所以．（2），因为，所以函数为减函数．因为在区间上为增函数，所以为减函数，所以．当时，最大值为，所以，即．故，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1．18．已知正项数列满足且．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项的和．【答案】(1).(2). 【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案；（2）由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差等比数列的前n项和公式求得答案.【详解】（1）由题意得：,∵，∴，即为常数，∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴．（2）由（1）得,∴.19．已知函数为奇函数，且，其中，．函数．(1)求a，的值；(2)求函数的单调递减区间．【答案】(1)，(2)， 【分析】（1）法一：根据函数的奇偶性求得，根据求得.法二：根据的奇偶性以及列方程组，由此解得.（2）化简的表达式，利用换元法求得的单调递减区间.【详解】（1）法一：因为是奇函数，而为偶函数，所以为奇函数，又，得．所以，由，得，即．法二：由题意可得，因为，所以，可解得，，此时为奇函数，符合题意，所以，．（2），令，则的单调递减区间为，，由解得，，所以的单调递减区间为，．20．已知中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且，．(1)若，求的面积；(2)若，求的周长．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由余弦定理与三角形面积公式求解即可；（2）由正弦定理把边化角，结合已知条件求得，，再讨论角B，结合三角恒等变换与正弦定理即可求解【详解】（1）因为，，，∴，解得，∴．（2）因为，由正弦定理可得，代入，解得，，因为，所以A为锐角，∴，当B为锐角时，，∴，因为，∴，，∴，当B为钝角时，，∴，因为，∴，，∴．综上：的周长为或．21．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）先求导函数，讨论的范围，求解和的解集，写出单调区间．（2）当时，根据(1)求出的最小值，由已知可得不等式有解，所以，利用导数求函数的最大值即可．【详解】（1）定义域为，，令，得或．当即时：，，函数在上单调递减；，，函数在单调递增；当，即时：，，函数在单调递增；，，函数在上单调递减；，，函数在上单调递增；当即时：，，函数在单调递增；当即时：，，函数在单调递增；，，函数在上单调递减；，，函数在上单调递增；综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；当时，单调递增区间有，无单调递减区间；当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．（2）当时，由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，从而函数在区间上的最小值为．即存在，使，即存在，使得，即，令，，则，由，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，所以．【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔.22．已知函数，，其中．(1)若在上有两个不同零点，求a的取值范围．(2)若在上单调递减，求a的取值范围．(3)证明：，．【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【分析】（1）求得，利用导数研究其单调性，最值，即可得出a的取值范围；（2）在区间上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，通过研究函数得出a的取值范围；（3）由（2）知时，，即，．令得，由此即可证得结论.【详解】（1），，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，取最小值．因为在有两个不同的零点，所以，所以．下面验证：当时，在有两个不同的零点.当时，，，令，则，当时，，单调递减，则，所以，又，，时，单调递减，时，单调递增，所以在，上各有一个零点，即在有两个不同的零点.综上，.（2）在区间上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立．令，，当时，，，所以，即在上单调递增，所以当时，，所以．（3）由（2）知时，，所以，即，．令得，所以，即，．