2023届上海市金山中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市金山中学高三上学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市金山中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．已知某随机变量X的分布为 则等于（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】利用分布列的性质求得，再利用随机变量期望公式可求解.【详解】由分布列的性质得，所以根据随机变量期望公式，得故选：C2．已知函数的定义域为R，则“是奇函数”是“”的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由函数为奇函数，得到对于任意的，均有，充分性成立，再由当时，但不能保证对于其他值，均有，得到必要性不成立，从而选出正确答案.【详解】若是定义在R上的奇函数，则对于任意的，均有，因为，所以，故，充分性成立，当时，但不能保证对于其他值，均有，所以必要性不成立，综上：则“是奇函数”是“”的充分不必要条件.故选：A3．已知命题p:对于任意x∈[1，2]，都有；命题q:存在x∈R，使得 若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围是（    ）A．a≤-2 B．a≤1 C．a≤-2或a=1 D．且【答案】D【分析】根据题意，求出命题p和命题q为真命题时a的取值范围，求出它们都为真时的a的取值范围，再求补集即可．【详解】根据题意，命题p：任意x∈[1，2]，，若命题p为真，必有，即a≤1；对于命题q,存在x∈R，，若命题q为真，即方程有解，则有，解可得：a≥1或a≤−2，若命题p与q都是真命题，即，则有a≤−2或a＝1；若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围是且故选：D.4．已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.【详解】由，两边平方得又，且对任意实数恒成立，即恒成立，所以，即，所以，即由，知，所以故选：B【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力. 二、填空题5．已知集合与相等，则实数__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合与相等，则，解得．故答案为：2.6．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为________．【答案】1【分析】利用复数的除法求出后可得．【详解】因为，所以．故，填．【点睛】本题考查复数的除法及复数的概念，属于基础题．7．若等式恒成立，则的值为_________.【答案】【分析】令可得答案.【详解】令得故答案为：8．已知向量 与 的夹角为，，，则______.【答案】【分析】根据向量的数量积和模的公式，求向量的模.【详解】.故答案为：9．已知，，则 _________.【答案】##【分析】根据条件概率概率公式计算可得.【详解】解：因为，，所以.故答案为：10．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.【详解】解：由可得，曲线在点处的切线斜率为，所以所求切线方程为即，故答案为：11．已知，若关于的方程的一个根为，为虚数单位，则___________.【答案】60【分析】根据一元二次方程的虚数根为共轭复数，再结合韦达定理可求得，即可得解.【详解】解：因为关于的方程的一个根为，则另一个根为，所以，所以，所以.故答案为：.12．已知函数是上的增函数，则的取值范围是______．【答案】【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数、反比例函数的性质列不等式组求参数范围.【详解】函数是上的增函数，则，解得．故答案为：13．对于区间内的任意实数，函数均有意义，则实数的取值范围是___________．【答案】【分析】由题意可知任意，恒成立，令，则可等价于，恒成立，再由对勾函数的单调性即可求出，由此即可得出答案.【详解】由题意可知对于任意 ，恒成立，即恒成立，令，则恒成立，参变分离得：，，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，所以，所以，故答案为：.14．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为___________.【答案】【分析】由题意，为使两交点距离最小,只需两交点在同一个周期内,作出函数图象,结合图象,由勾股定理，列方程求解.【详解】根据题意，要使交点距离最小,只需两交点在同一个周期内.令，即，所以,解得：.如图示：当时，，，即.当时，，，即.由勾股定理得：，即，解得：.故答案为：.15．设a、b∈R，且a+b=4，则的最大值为__________【答案】##【分析】利用基本不等式，明确的最值范围，整理，利用换元法，化简，根据基本不等式，可得答案.【详解】由，当且仅当时，等号成立，则，令，则，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.16．定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是_________【答案】【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，由得到，对变形后得到，从而，由单调性得到，求出不等式的解集.【详解】因为，构造，则，所以在R上单调递减，由,令得：，故，由得：，因为，所以，故，因为在R上单调递减，所以，解得：.故不等式的解集是.故答案为：.【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，若，则构造，若，则构造，若，则构造. 三、解答题17．已知全集为实数集，集合，，(1)求A∩B;(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2). 【分析】（1）求出集合A、B，再求交集即可；（2）求出集合C和，再利用集合间的包含关系列不等式求解.【详解】（1），或，（2）或，则又或，，解得18．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，Q为的中点.(1)求四棱锥的体积；(2)求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)体积为1(2) 【分析】（1）根据已知条件因为平面，所以棱锥的高，直接利用棱锥的体积公式求值即可得解；（2）首先取边中点，连接､，则，所以为异面直线与所成角（或其补角），求得的各边长，利用余弦定理即可得解.【详解】（1）（1）因为平面，所以即四棱雉的体积为1；（2）取边中点，连接､，则，∴为异面直线与所成角（或其补角）.连接，在中可得，作于，连接，在中，，所以，在中，，，利用余弦定理可得，所以在中，，，，∴，故，即异面直线与所成角的大小为.19．已知向量，记．（1）若，求的值；（2）在锐角中，角的对边分别是，且满，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，由可得，根据二倍角公式可得的值；（2）根据正弦定理消去中的边可得，所以，又，则，得，根据三角函数值域的有界性即可求得的取值范围．【详解】（1）向量，，记，则，因为，所以，所以．（2）因为，由正弦定理得，所以，所以，，所以，又，所以，则，即，又，则，得，所以，又，所以的取值范围．【解析】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.20．中国共产党第二十次代表大会报告指出：教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑，某项人才选拔的测试，共有25道选择题构成，每道题均有4个选项，其中只有1个是正确的.该测试满分为150分，每题答对得6分，未作答得2分，答错得0分.考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为、、、、）均没有把握答对.两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在4个选项中随机地选择1个.已知甲只能排除、、中各1个错误选项，故甲决定只作答这三题，放弃、.(1)求甲的总分不低于130分的概率；(2)求甲的总分的概率分布；(3)已知乙能排除、、中各2个错误选项，能排除中1个错误选项，但无法排除中的任一错误选项.试问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的期望最大，并说明理由.【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析 【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；（2）设甲的总分为随机变量，依题意可得的可能值为，，，求出所对应的概率，即可求出分布列；（3）分别求出、、、、得分的期望值，即可判断.【详解】（1）解：设甲的总分不低于为事件，因为前道题所得分数为分，且放弃作答、的两题得分，要使甲的总分不低于分，则、、至少答对题，因为甲能排除、、中各1个错误选项，故甲答对、、的概率均为，所以；（2）解：设甲的总分为随机变量，则的可能值为，，，，所以，，，，∴乙总分的概率分布列为：X124130136142P （3）解：∵，，每道题作答的话，每题得分期望为，所以前三题应作答；道题作答的话，其得分期望为，所以道题作答或者放弃都可以；道题作答的话，其得分期望为，所以道题应放弃作答；故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答，，，作答或者放弃都可以，放弃作答．21．若函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点.(1)已知函数是区间的“平均值函数”，求该函数的平均值点；(2)当函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点时，求实数的取值范围；(3)是否存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”?若存在，求出所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据所给定义得到，求出即可判断；（2）依题意存在，使关于的方程，参变分离可得，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，再求出端点处函数值，即可求出参数的取值范围；（3）利用反证法，令，则在区间上有解，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得到，即，即可得到矛盾，从而得证.【详解】（1）解：函数是区间上的“平均值函数”，由题题意，，得，则或（舍去），所以函数是区间上的“平均值点”为；（2）解：因为函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点，所以存在，使关于的方程有两个不同的根和，即，即，令，其中，则，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因此；（3）假设存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”，令，所以在区间上有解，又，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，即，即，即，又因为，即，所以与相矛盾，所以不存在区间（），使得函数是区间上的“平均值函数”.