2023届浙江省绍兴市第一中学高三上学期11月期中数学试题含解析

 2023届浙江省绍兴市第一中学高三上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接解出集合，再求交集即可.

【详解】，，则.

故选：D.

2．已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）

A．5 B． C． D．1

【答案】B

【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解.

【详解】由得：，即，

解得，从而.

故选：B

3．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（    ）

A．1倍 B．10倍

C．100倍 D．1 000倍

【答案】B

【分析】利用对数运算即可求解.

【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，

根据题意得＝，解得，，解得，所以

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.

故选: B.

4．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高．

【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，

∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，

∴，

又，解得，

因此，此圆锥的高．

故选：C．

5．已知sin，则（　　）

A． B． C． D．±

【答案】C

【分析】利用诱导公式即得.

【详解】∵sin，

∴ .

故选：C.

6．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比大，一个比小的概率为，已知为上述数据中的分位数，则的取值可能为（    ）

A．50 B．60 C．70 D．80

【答案】C

【分析】利用分步乘法计数原理及组合求出事件种数，结合古典概率求出m值，再利用第p百分位数的意义计算作答.

【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有种，一个数比大，一个数比小的不同结果有，

于是得，整理得：，解得或，

当时，数据中的分位数是第3个数，则，解得，所有选项都不满足；

当时，数据中的分位数是第6个数，则，解得，选项A，B，D不满足，C满足.

故选：C

7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得，由，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由圆的方程知：圆心；

直线过圆的圆心，；

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故选：A.

8．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，过作直线轴交双曲线于，两点，将双曲线所在的平面沿轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后，两点的对应点分别为，，记，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．3 D．2

【答案】A

【分析】求出，且，在中分别使用余弦定理得到，利用题干条件化简求出，从而求出离心率.

【详解】翻折后，两点的对应点分别为，，记，若，则

将代入中，解得：，

所以，且，

则在中分别由余弦定理得，

，

所以

又由得：，

所以，即，所以，即离心率为.

故选：A.

二、多选题

9．已知函数，若，则的值可能为（    ）

A．1 B． C．10 D．

【答案】AD

【分析】首先求得，再讨论的取值，解方程即可求解.

【详解】，因为，所以，

当时，，解得：，

当时，，解得：，

故选：AD

10． 下列说法正确的有（    ）

A． 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8

B． 已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2

C． 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则

D． 若随机变量服从正态分布，，则

【答案】BD

【分析】对于A，根据中位数的定义作答；对于B，根据方差的计算公式作答；

对于C，根据回归直线的性质作答；对于D，根据正态分布的对称性作答.

【详解】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A错；

，，…，方差为2，设，则，

所以，则，

即，，…，方差为2，B正确；

将代入得，则，C错；

，为分布曲线的对称轴，则，

由，则，

因此，，D正确.

故选：BD.

11．下列说法错误有（    ）

A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件

B．过，两点的所有直线的方程为

C．直线的倾斜角的取值范围是

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ABD

【分析】A. 由两直线互相垂直求解判断；， B.根据直线的两点式方程判断； C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断； D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.

【详解】A. 当与直线互相垂直时，，解得 或 ，故错误；

B.过，（且） 两点的所有直线的方程为，故错误；

 C.直线的倾斜角，则，所以倾斜角的取值范围是，故正确；

D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为，当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得，则直线方程为，故错误；

故选：ABD

12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】因为，可得，故设，然后求导，判断单调性，分别求解每一个选项即可.

【详解】令

所以

因为，

所以

故在单调递减

所以，得，即，故A错误；

，得，即，故B正确；

，得，即，故C正确；

得，即，故D正确.

故选：BCD

【点睛】当一个不等式中出现了与时，我们一般要构造新的函数，让新函数求导的导函数可以利用已知不等式判断正负即可；一般与在不等号同一边时，两者的系数符号相同时，一般构造两部分相乘求导，两者的系数符号相反时，一般构造两部分相除求导（尽量让出现在分子）.

三、填空题

13．的展开式中，所有项的二项式系数之和为________.

【答案】

【分析】在二项展开式中，所有项的二项式系数和始终为，其中为次数.

【详解】在展开式中，所有项的二项式系数和为.

故答案为：.

14．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为_______.

【答案】

【分析】由题意，结合概率的乘法公示可得两次都抽到A的概率.

【详解】由题意，设第一次抽到A为事件，第二次抽到为事件，则.

故答案为：

15．在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，，交于，则___________．

【答案】##

【分析】由已知可得，，根据平面向量的线性运算，推出，由三点共线求得，再将表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则即可求解.

【详解】如图，

由，得，设，

则

因为三点共线，所以，解得：.

所以，则

故答案为：.

16．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为___________．

【答案】.

【分析】先证明平面，求出三角形外接圆半径，进而求出球体的半径，在求出球的体积.

【详解】如图所示，

由，，得,由是的中点，，解得，又，所以，得，又，平面，所以平面.设球心为，点到底面的距离为，由正弦定理得的外接圆半径，在三角形中，球的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.

故答案为：

四、解答题

17．已知数列各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求.

【答案】(1)

(2)20

【分析】（1）由得到，结合得到，所以数列是等差数列，求出通项公式；

（2）在第一问的基础上得到，从而分组求和得到答案.

【详解】（1）因为，所以，

因为是各项均为正数的数列，所以，故

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

则.

（2），则，

所以.

18．已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.

(1)求的解析式；

(2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的单调递增区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据三角函数的性质，建立方程组，解得答案；

（2）根据三角函数的图象变换，求得三角函数的解析式，利用整体思想，结合三角函数的单调性，可得答案.

【详解】（1）依题意可得，解得，，则.

因为的图象关于直线对称，所以，

又，所以，故.

（2）依题意可得，

令，得，

故曲线的单调递增区间为

19．2021年11月7日，在《英雄联盟》S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了人作出调查，所得数据统计如下表所示：

(1)判断是否有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？

(2)若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取人，再从这人中任取人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列以及数学期望．

附：，其中．

【答案】(1)有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）完成联表，计算，进而可判断；

（2）根据分层抽样判断人数，再根据超几何分布计算概率及分布列，进而得期望.

【详解】（1）（1）完善表格如下所示：

则，

有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关；

（2）依题意，这人中男生有人，女生有人，则的可能取值为，，，，

故，

，

，

，

故X的分布列为：

则．

20．如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.

(1)证明：AE⊥平面PCD；

(2)若，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用平行四边形可证，可得，再由，即可求证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）取的中点，连接，，

因为是等边的中线，所以

因为是棱的中点，为的中点，

所以，且

因为，，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以.

因为，为的中点，所以，从而.

又，且平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知，又，，且､平面，

所以面，从而平面.

以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，

所以，，

设平面的法向量为，

由得

令，则，，所以.

又平面的一个法向量为，

所以，

即平面与平面夹角的余弦值为.

21．在平面直角坐标系中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)已知轨迹E上的不同三点，，满足，过点A作，D为垂足，问：是否存在点Q，使得为定值，若存在求出Q点的坐标及的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，.

【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程.

（2）先假设点Q存在且满足条件，把直线的方程及，的坐标设出来，再联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，再用两个向量数量积为0处理，同时通过直线方程消元，利用韦达定理化简式子，得到所设直线方程中的参数的关系，再代入直线方程，得到直线所过的定点，进而找到点D的轨迹，判断假设是否成立..

【详解】（1）圆，即，得圆心.

圆，即，得圆心.

因为，所以圆内含于圆.

设动圆的半径为，则由已知得，

所以，则动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中.

故：轨迹E的方程为.

（2）假设存在，易得，且直线斜率存在且不为0，则设直线，，.

联立，得.

则有 ，

，，

，  .即，

则

，

代入韦达定理，得，

即.

当时，，即直线MN过定点，舍去.

当时，直线，则直线MN过定点，

因为，所以D在以AT为直径的圆上.

故：存在AT的中点，使得.

【点睛】直线与椭圆问题点睛：

（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

（3）定点定值问题是圆锥曲线里比较典型的一类试题，其中往往隐藏着一些规律.这类问题在求解时通常有两类方法，一是“特殊”探求，即将满足题设的条件特殊化，寻找定点定值；二是问题一般化，从通性通法角度进行论证“特殊”探求的结果.

22．设函数.

(1)设有两个不同的零点，求实数的取值范围；

(2)若函数有两个极值点，，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用换元法，将问题转化为一元二次方程必存在两个正根的问题，建立不等式组，可得答案；

（2）根据极值点的必要条件，求导，可得极值点为方程，可得解，并写出韦达定理，化简不等式，代入韦达定理，整理构造函数，利用导数，可得答案.

【详解】（1）令，则有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的正根.

所以，得，

所以使得有两个不同的零点的实数a的取值范围是.

（2）

因为，，且有两个极值点，，所以，是方程的两个根.

结合（1）可知，且，，不妨设，

则

.

要证明，只需证，

因为，所以，所以只需证，

注意到，所以只需证，两边同除以，得，

因为，所以只需证，

设，则只需证，

令，则只需证即可.

易得，令，则，所以在上单调递增，

所以，即，所以在上单调递增，

所以，得证.

【点睛】利用导数研究函数问题时，对于导数的处理，一般采用分解因式或者构造函数后再次求导，利用导函数的单调性，研究其最值与零大小关系，可得原函数的单调性.