2023届贵州省部分学校高三上学期11月联考数学（理）试题含解析

2023届贵州省部分学校高三上学期11月联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由集合的定义先化简爱你，再结合选项直接判断即可.

【详解】因为，，所以，只有正确，其余选项错误.

故选：C

2．设，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】计算，再计算模长得到答案.

【详解】，则，故.

故选：D

3．已知点在焦点为F的抛物线上，若，则（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可.

【详解】抛物线的准线方程为，

由，点在物线上，

所以，

故选：B

4．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（    ）

A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍

【答案】C

【分析】由题可知，前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果.

【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，

则，，

，则，即，

从而，故传输距离变为原来的10倍.

故选：C

5．将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一条对称轴的方䄇可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由“左加右减”可得平移后的函数解析式，再由正弦函数的对称轴可列方程求得结果.

【详解】将函数的图象向左平移 个单位长度，

得到函数的图象.

令.解得.当时，.

故选：A.

6．函数的极小值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值.

【详解】因为，所以.

令得，

当时，，当时，.

故的单调递增区间为和，单调递减区间为.

则当时，取得极小值，且极小值为.

故选：C

7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据（单位：箱）.已知这两组数据的平均数分别为，，若这两组数据的中位数相等，则（    ）

A． B．

C． D．，的大小关系不确定

【答案】C

【分析】由中位数与平均数的概念求解，

【详解】由题意得两组数据的中位数为83，则，

则，，

故选：C

8．某正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．平面  B．平面 C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件及线面平面的判定定理，结合线面垂直的判定定理及异面直线所成角即可求解.

【详解】由题意可知，如图所示

对于A,由图可知，与平面不平行，故A 错误；

对于B，易知，，所以，同理，

，，所以平面，故B正确.

 对于C，在正方形中，，易知四边形为平行四边形，所以,所以，故C错误.

对于D ，在正方形中，,所以为异面直线与所成角，易知，所以与不垂直，故D错误.

故选：B.

9．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件及递推关系，结合数列的周期性即可求解.

【详解】由可知，得

因为,

所以，，，，，

所以是以3为周期的数列，则

故选：A.

10．已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三棱锥的体积公式，结合三角形面积公式、球的几何性质、勾股定理进行求解即可.

【详解】设三棱锥的高为，所以有，

在直角三角形中，，

，

当共线时，三棱锥体积的最大，显然，如图所示：

最大值为：，

故选：D

11．双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，若，，则双曲线C的离心率为（    ）

A．2或3 B．3 C．3或 D．2或

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义，结合同角的三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】设，则，因为点P在双曲线C的右支上，

所以，所以，则，由，

由正弦定理和余弦定理，可得：

或，

故选：A

【点睛】关键点睛：运用正弦定理和余弦定理是解题的关键.

12．已知等差数列的前项和为，且.若存在实数，，使得，且，当时，取得最大值，则的值为（    ）

A．12或13 B．11或12

C．10或11 D．9或10

【答案】B

【分析】根据变形为，令，则，由此可设函数，利用其导数推得，结合可得，即，从而推得，，结合等差数列的单调性即可求得答案.

【详解】由等差数列中， ，即 ,

而，即有,

令 ，则有 ，

令函数 ，则 ,

当 时， ， 单调递减；当 时，，单调递增,

故,从而有 ，则有 ,当且仅当时，等号成立;

同理 ，即 ，当且仅当时，等号成立，

则，当且仅当时，等号成立,

又，所以，故有，所以, ,

则 ,从而 ,得 ,

又，，所以，故等差数列是单调递减数列，

当或时，取得最大值，所以或 ，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得，，所以这里的关键是利用，构造函数，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.

二、填空题

13．设，满足约束条件则的最大值为__________.

【答案】20

【分析】作出不等式组的可行域，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，结合图像即可求解的最大值.

【详解】由题，画出可行域，如图所示：

联立，解得：，即，

将目标函数化为，

由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，

此时，取得最大值，即，

故答案为：20.

14．2名老师和3名学生站成一排照相，则3名学生中有且仅有2人相邻的站法有________种.

【答案】72

【分析】先将学生分成两组，两人的先捆绑，再两位老师全排列，剩下三个空将两组学生全排列即可.

【详解】第一步：先取两个学生捆绑，则有种；

第二步：两名老师全排列，则有种；

第三步：两名老师有3个空，将两组学生安排在3个空中的两个，则有种，

则一共有种.

故答案为：72

15．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF，拼成一个大的正六边形GHMNPQ，若，则__________.

【答案】1

【分析】由图可以知转化为等量关系，然后利用向量数量积计算即可

【详解】在正六边形ABCDEF中，，则，

所以

因为六边形GHMNPQ是正六边形，

所以，且G，F，E，P四点共线.

又，所以，

所以

故答案为：1.

16．已知O是坐标原点，A，B是圆O：上两点，且，若弦的中点为，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、平面向量数量积的定义进行求解即可.

【详解】设点，因此表示，

由，

因为，所以，因为是弦的中点，

所以，所以，

当点在线段上时，最小，

最小值为，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用两点间距离模型是解题的关键.

三、解答题

17．在中，内角的对边分别为，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理化角为边得到，从而得到，由此可得角A的值；

（2）利用余弦定理及配方法可得，再结合三角形面积公式即可得解.

【详解】（1）因为，

所以由得，

则，即，

又，所以，则，

又，故.

（2）因为，

所以，

所以，

解得，

所以的面积.

18．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功.某校为了解本校学生对此新闻事件的关注程度，从本校学生中随机抽取了200名学生进行调查，调查样本中有80名女生.根据样本的调查结果绘制成如图所示的等高规程条形图.

(1)完成上面的列联表，并判断能否有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关.

(2)从这200名学生里对“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8名学生中随机选取3人参与该新闻事件的讨论.记参与该新闻事件讨论的男生人数为，求的分布列与期望.

附：，其中.

【答案】(1)答案见详解；有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关

(2)

【分析】（1）由条形图计算直接填写即可，结合公式求出，对比表格判断即可；

（2）先求出关注学生的男女比例，计算出8名学生中男女各抽几名，再结合超几何分布公式求出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.

【详解】（1）有80名女生，则有120名男生，结合条形图，男生中关注的占60人，不关注的占60人，女生中关注的占20人，不关注的占60人，则二联表如下：

则，12.5>10.828，则有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关；

（2）由（1）可知，关注的学生中，男女比例为3:1，则抽出的8人中，男生占6人，女生占2人，则对应值有1，2，3，，，

，则的分布列为：

.

19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，分别是的中点.

(1)证明：平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合勾股定理、线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可求解；

（2）根据（1）中结论及已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关的的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式与二面角的关系即可求解.

【详解】（1）取的中点，连接，

因为是等边三角形，

所以

又平面平面，平面平面，平面PAD，

所以平面，

因为底面是正方形，是等边三角形，

所以，

又因为是的中点，，

所以，

因为底面是正方形，不妨令，连接，

因为平面，平面，

,

在中，,

同理可得，，

所以

又因为是的中点，

所以

因为，平面，

所以平面

（2）由（1）知，因为平面，底面 是正方形，

所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则由（1）可得，，，，，，，所以，，

设平面的法向量，则

,即，令，则，，

所以

由（1）知，平面

所以是平面的一个法向量，

设二面角所成的角为，则

所以

所以二面角的余弦值为

20．已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，且的面积为.

(1)求椭圆的方程.

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点.若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】(1)；

(2)是定值，定值为4.

【分析】（1）根据的面积为得到，然后根据点在椭圆上得到，再结合解方程得到，，即可得到椭圆方程；

（2）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到，，由当直线与椭圆相切时切点横坐标为1得到，，然后根据直线的方程得到 ，同理得，然后利用韦达定理求即可.

【详解】（1）因为，所以，解得，将代入椭圆方程得，又，所以，，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，，

联立直线和椭圆方程得①，

，解得，

当时，，此时直线与椭圆相切，代入①得，所以，，，，

直线：，将，代入得，所以，同理可得，

则，，

，

所以是定值，定值为4.

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

21．已知函数

(1)求的单调区间；

(2)证明：

【答案】(1)增区间为，减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）对函数求导，利用函数导数的性质求解出的单调区间；

（2）结合分析法证明，构造新函数，对函数求导，然后分类讨论，从而就可以证明不等式了.

【详解】（1）因为，且

所以

令函数，

则，

所以即在上单调递增.

又，所以当时，；

当时，

故的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）证明：要证，即证

令函数，，

则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

故

令函数，，则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

故

故，

则，

即

【点睛】本题作为压轴题出现常常有以下几种考法：

①函数（不含参）单调区间（或判断单调性）

②函数（含参）单调区间（或判断单调性）

③求函数的极值，最值

④求函数的切线方程

⑤证明不等式

解决问题的关键：对函数求导；分类讨论；构造新函数

22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；

（2）利用代入法，结合直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.

【详解】（1）；

（2）当时，得，所以在该直线l上，

把代入中，得，

这个方程的两个实数根分别为，，则，

由参数t的几何意义可知，．

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据绝对值的性质，分类讨论进行求解即可；

（2）利用绝对值的性质进行求解即可.

【详解】（1）当时，，

当时，；

当时，，而，所以此时无解；

当时，，

综上所述：不等式的解集为；

（2），

因为，

所以有，或，

因此a的取值范围为.